4.2 认识一次函数（第1课时 一次函数概念）（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

2.1 认识一次函数 第四章 一次函数 北师大版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点） 能根据条件求出一次函数的关系式． 复习旧知 星体位置随着时间的变化而变化. 1.一般地，如果在一个变化过程中有_____变量x 和y ，并且对于变量x 的______________，变量 y 都有________的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的_____.其中 x 是_______. 2.如果当x=a时，y=b，那么___称作当自变量的值为___时的函数值. 3.用关于____________表示_____之间的关系，这种关系叫做函数的解析式. 自变量的式子 变量 b a 函数 自变量 唯一确定 两个 每一个确定的值 新知探究 一个滴漏的水龙头一年的滴水量大约是多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，在设计一个方案具体估计一下，并与同伴进行交流。 新知探究 操作思考 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL … 填写下表： （1）将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔1min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。在坐标纸上描出（t,V）对应得点，你认为漏水量的变化有什么规律？请你估计，这个水龙头一天的滴水量是多少？ 新知探究 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 填写下表： （2）下表是小明通过实验得到的数据。请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t,V）对应得点，并据此估计，小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？ 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … 新知探究 (3)分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量V与时间t之间的关系式吗？ 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … (4)你的实验结果与小明的有何异同？ V＝5.5t 新知探究 分享各组实验结果，并交流以下问题： （1）比较各组实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？ （2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图像和表达式的影响体现在哪些方面？ （3）假如漏水严重一些，表格、图像和表达式会发生什么变化？为什么？ 新知探究 (2) 你能写出 y与 x之间的关系式吗？ 在弹性限度内，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系如下表所示. x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm (1) 随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是“均匀”的吗？ y＝0.5x＋3 3 3.5 4 4.5 5 5.5 是均匀的 新知探究 尝试思考 某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50km耗油4 L， 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 0 4 8 12 16 24 （1）完成下表： （2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ 或 y＝0.08x y＝ 新知探究 （3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km） 之间的关系式吗？ y＝40-x 或 y＝40-0.08x 新知探究 观察思考 上面情景中，表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特点？ （1）y ＝ 0.5x ＋ 3 （2）y ＝ 0.12x （3）y ＝ -0.12x ＋60 y ＝ kx ＋ b 这些函数解析式都包含常数与自变量的乘积的形式！ 新知探究 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数. 函数是一次函数 关系式为：y=kx+b (k为常数，k≠0) 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 函数是正比例函数 关系式为：y=kx (k为常数，k≠0) 典例分析 判断函数是否为一次函数的方法 : 先看函数关系式是否是整式的形式，再将函数关系式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数关系式 y=k x+b(k ，b 为常数， k ≠ 0)的结构特征 . 方法技巧 例1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？ (1)y＝－2x2； (2)y＝； (3)y＝3x2－x(3x－2) ；(4) y=－ . 典例分析 方法技巧 解（1）：因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数. （2）因为y＝＝x＋，k＝，b＝， 所以y＝是一次函数，但不是正比例函数. （3）解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0， 所以它是一次函数，也是正比例函数. （4）因为 y=－ 中，－ 不是整式，所以它不是一次函数 . 判断函数是否为一次函数的方法 : 先看函数关系式是否是整式的形式，再将函数关系式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数关系式 y=k x+b(k ，b 为常数， k ≠ 0)的结构特征 . 新知探究 归纳总结 1.判定一个函数是一次函数的条件： 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 一次函数 正比例函数 ① k 是常数，k≠ 0； ② x 的次数是 1. ① k 是常数，k≠0； ② x 的次数是 1. ③ b=0. 正比例函数是一种特殊的一次函数. 典例分析 紧扣一次函数的定义与结构特征进行识别. 方法技巧 例2.写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ (1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h) 之间的关系； 解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得 y=πx2，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数. (2) 圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系. 典例分析 把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值. 方法技巧 解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水，因而 y = 15 + 5x.y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数. (3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3. 典例分析 根据具体情景，找出函数表达式，把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值. 方法技巧 例3.如图，甲、乙两地相距500km. 现有一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶. 设x（h）表示列车行驶的时间，y（km）表示列车与甲地的距离. （1）写出 y 与 x之间的关系式，并判断 y 是否为x的一次函数； （2）当 x＝0.5 时，求 y 的值. （1）y＝500＋350x，y是x的一次函数； （2）y＝500＋350×0.5＝675（km） v ＝ 350km/h 课堂小结 与正比例函数 概念 关系 依据实际问题的意义 列出相应的表达式 一次函数 正比例函数 形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫作一次函数 当 b＝0时，y=kx 叫作正比例函数 变式训练 1.下列说法正确的是（ ） A. 一次函数是正比例函数 B. 正比例函数不是一次函数 C. 不是正比例函数就不是一次函数 D. 正比例函数是一次函数 D 变式训练 2.某种大米的单价是2.2 元/kg，当购买 x kg大米时，花费为 y 元. y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？ 解：由y=2.2x得，y是x的一次函数，也是 x 的正比例函数. 变式训练 3.已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8). (1)当m，n为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当x＝1 时的函数值. 变式训练 （2）由(1)得一次函数关系式为y＝－8x＋7. 当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1. 解：（1）由题意，得n2－4＝0，m－2＝1，2n－4 ≠ 0. 所以m＝3，n＝－2. 所以当m＝3，n＝－2 时，函数是一次函数. 感谢聆听! $