江苏省部分学校2026届高三上学期8月学情调研测试数学试题

绝密★启用前 2025年高三8月学情调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.样本数据12,5,8,3,7,9,18,10的上四分位数为 A.9 B.10 时 C.11 D.12 2.已知集合A={1,2,4},B={x2|x∈A},则A∩B= 超 A.{1,2 B.{1,4} C.{1,2,4} D.{4} 3.己知2=3+4i,则3 2+3 25 A. 6 c D. 4.已知向量a=(L,2),b=(x,x2),则“x=2”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.己知正方体ABCD-A,B,C,D,点P，Q分别在AB,B,C上，AP=B,2,下列 说法错误的是 A.直线B,C与CC,所成的角为45° B.DD⊥PO C.P,2,A,C四点共面 D.PQ∥平面ABCD 图千+的左顶点为A,石腿点为F,P为T上一点，则△APF的 的取值范围为 A.(6,9) B.(6,9] C.(6,8] D.(6,8) 数学试题第1页（共4页） 7.已知函数f(x)= e, x≤0，若在点P可以作曲线y=f(x)的两条切线，则 ln(1+x)+1,x>0 点P的坐标可以为 A.(1,1) B.(1,2) C.(-1,1) D.(2,2) 8.互相垂直的两平面α，B将球0分隔为四个几何体，这四个几何体的体积之和为4红 表面积之和为7π，若球O上的两点P,Q在α，B的交线上，则PQ的长为 A.1 B.√2 C.5 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,若函数F(x)=f(x)+g(x)单调递增，函数 G(x)=(x)-g(x)单调递减且为奇函数，则 A.f(0)=g(0) B.g(1)>8(0) C.g(x)可能存在单调递减区间 D.f(-1)<g(I) 10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知oin(B+爱=sin(C-君， a+c=2,则 A.cosC+cos Acos B=3sin Acos B B.△MBC的面积的最大值为 C.b的一个可能的取值为 5 D,b的一个可能的取值为 11.己知抛物线C:y2=6x的焦点为F,P为平面上一动点，过P作C的两条切线分别 交C于A,B两点，直线AB与⊙E:(x-5)2+y2=1相切于点Q,则 A.1PO1的最大值为号 B.动点P的轨迹是抛物线 C.△PAB的面积的最小值为20 D.an∠APB的最小值为子 数学试题第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记S,为等差数列{an}的前n项和，若S,+5a=0,则a2=_ 13.在直三棱柱ABC-AB,C,中，AA=AC=1,AB⊥BC,直线A,C与平面BCC,B的 夹角为”，该直三棱柱的体积为 14.小明忘记了自己的某软件的账户密码，只记得如图所示的三个数字.已知小明设置 的密码满足以下两个原则： ①密码中所有数字的可能取值集合为{1,2,3,4,5}； ②密码中不存在重复三次及以上的数字. 则小明在符合以上两个原则输入密码时，至多需要尝试的密码种数为 输入密码 3 2 确定 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分) 已知吸销线E号兰=1o06>0前离心率为v5,且过点(5)。 (1)求E的方程： (2)直线1过（√3,0）且交E于A,B两点，若弦AB的长度为E的实轴长的两倍， 求1的方程. 16.(15分) 盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同， (1)若从盒中不放回地随机取3次，每次取1个球，记X为取到的红球的个数， 求X的分布列和数学期望： (2)若从盒中每次随机取1个球，取出后将原球放回，再加入3个同色球，求在 第2次取到红球的情况下，第3次取到白球的概率. 数学试题第3页（共4页) 17.(15分) 已知函数)=sn(@x+)@>0受<p<,了0=5，且对在意，3，若 2 1fx)-fx)1,则x-x的最小值为 (1)求0和p; (2)求图像y=f(x)与y=cosx(sinx+√3cosx)在[0,10π上的交点个数. 18.(17分) 已知通数)品。N,共中a>1, (1)讨论f(x)的极值点个数： (2)若1<a<V,且f(x)有两个零点，比较b与2a的大小，并证明你的结论： (3)当b>a时，若f(x+p)>f(x),证明：p>1. 19.(17分) 将项数n≥4，公比g≠1的等比数列{an}中的项重新随机排列，得到新数列{bn}. 若在数列{也}中任意抽取连续三项，总有某一项为另外两项的等比中项，则称{b,}为 “差续数列”· (1)当n=4时，写出所有“差续数列”{亿，}（用{an}中的项表示）： (2)若b=a,b2=a,证明：当n=3m(m≥2)时，必定存在“差续数列”{b,}: (3)若他，}是“差续数列”，证明：存在正整数k,使得=g或上 6 数学试题第4页（共4页) 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 趣号 2 6 7 8 答案 A D B B 命题说明： 1. 说明：本趣改编自2025年全国Ⅱ卷第1题 2.说明：本趣改编自2025年全国1卷第2趣 3.说明：本题改编自2023年全国1卷第2题， 4.说明：本题改编自2024年全国甲卷第9题」 5.说明：本题改编自2022年全国1卷第9题 6.说明：本趣改编自人教B版选择性必修第一册170页第6题 7.说明：本题改编自2024年全国1卷第13题 8。说明：本趣原创， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答米 ABD AC AD 命题说明： 9.说明：本趣改编自2023四省联考第9题 10.说明：本题改编自2013年江西卷第15题 11.说明：本题改编自2007年辽宁卷第20题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.0 14.84 命题说明： 12.说明：本题改编自人教A版选择性必修第二册24页第2题. 13.说明：本题改编自2024年全国1卷第17题， 14.说明：本题原创 数学参考答米第1项共6项 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分) 【命题说明】本题改编自人教B版选择性必修第一册169页第19题 【参考答案】 31 2a26京-1 (1)因为双曲线E过 离心率为V5,所以{a2+b2=c2, e=- =5 解得0=山62=2，所以双通线E的方程为2-= (2)易知双曲线的实轴长为2，当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=k处-√)， 联立 y=k处-同 2x2-y2=2 ,得6-k2k2+252x-32-2=0. 2-2,5-二3张2-2 设A,以6，，则x+6=25 2-k21 灭=4+=4，解得k=±5 所以4B=+,G+-4x=2-k科 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=√3，此时AB=4,符合题意。 综上所运，直镜1的方程为)y=x-5或y-+5威x=5. x- 22 22 16.(15分) 【命题说明】本题改编自人教A版选择性必修第三册48页第3题. 【参考答案】 (1)X的可能取值为0,1,2,3 P(x-1)-CCi_15 28 X的分布列如下： X 0 2 3 5 15 3 1 21 28 14 84 数学参考答案 第2页共6页 E(X)=0x 5+1x 15 3 +2× +3× -=1 21281484 (2)记事件A=“第i次取到红球”，于是 Pa=PPA-号8 P收小r响国-g8 P)=P4+Pi4-号 那么P怀14)上P马_P4A+P4 P(4) P(4,) =P44)P④1A4+P44P④1A4_ P(A2) 2 17.(15分) 【命题说明】本题改编自人教A版必修一228页和2024年全国I卷第7题 【参考答案】 D因为0=snp=号，而<p<,所gp=阳 3； 不妨令日=0x+p,02=wx2+p, 则V-Xs如9-na=m3生8,82)-m4生9-92 22 日=父+kx 8=2+k 或 3 2还+k (k,k2∈Z,k+k=2k,k∈Z)时该式取等 故n9,4最小为分，此时9-8可取最小值写 2 而y=sinx在(O,孕单调递增， m8,2敢小为分，故9二不存在比号更小的取值， 2 2 即8-8不存在比号更小的取值，即满足条件的日-8最小值为写， 0-0=(@x +o)-(@x2+o)=x-x2, 且对任意满起V4)-心，》=1的实数，片-的最小值为管，放君 ，0=2 60 数学参考答案第3页共6页 （2)此时，)=sim2x+子.不妨令g)=cosin+5cos, g(x)=cosxsinx+3cos2x 22 2 2 此时，图像y=f(x)与y=cosx(sinx+V5cosx)在0,10m)]上的交点个数等于方程 n2x+孕=sm2x+争+在n10时上的解的个数 2 令=2x+子，则谈方程等价于+骨=mu+9,1导1 2 2 3 此时，-骨号+2a或-号-音+2k(ke2即a=2血政子2点（ke2》 33 3 =2a时，音≤2版5售，名sg.k共有123,10这10个取值， 6 即有10个符合条件的 u-号+2a时，背-骨+2版≤9，号≤}k共有12310这10个取， 3’3 即有10个符合条件的： 故满足snu-月=-9且ue写，61的u共有10+10-20个， 即图像y=f(x)与y=cosx(sinx+√5cosx)在[0,10π上的交点个数为20. 18.(17分) 【命题说明】本题命题参考2025年全国Ⅱ卷第18题. 【参考答案】 (1)因为f(x)的定义域为[0，+o),故x=0时不为f(x)的极值点， 当x>0时，fx)=a- 6 2√F ①若b≤0，易知f(x)>0恒成立， 则∫(x)在定义域上单调递增，(x)无极值点： ②若b>0,当x→0，f(x)→-0，x→+∞，f(x)→+0， 则存在唯一的xo,使得(xo)=0. 数学参考答案第4页共6页 所以当x∈(0，xo),(x)<0,当(xo+∞)，f(x)>0 所以fx)在(0，x)单调递减，在(。+∞)单调递增 所以x=x。为fx)的极小值点，此时fx)有一个极值点 综上所述，当b≤0，fx)无极值点：当b>0,fx)有一个极值点。 (2)b>2a,下给出证明： 因为fx)有两个零点，且由(1)知，fx)≥f(x),则必有fxo)<0 因为f()=a-、 ==0, -。A3g=920,u 1 2o Ina 而1<a<Ve,故x> 后>1，叉吸为/0=a0,所以6>2a: 2Ina (3)b>a时，由(1)知，fx)有一个极小值点xo, 因为心+p小>f.令x=0,必有fo>0=a 由)知，存在名，满起)=/向=a所以o)>). 若p≤x,由(1)知，f)sf(),不符合题意，所以p>x所以只需证p>x,>1. 因为。-。所u-na, ◆M=后，)-e:ag-! 2xvx 令g(x)=a(2xlna-1)+1,g'(x)=alna(2xlna+1)>0,gx)在(0，+o)单调递增， 所以gx)>g0)=0,所以h(x)>0,hx)在(0，+∞)单调递增， 注意到h=a-1,考虑到a-1-blna<a-1-alna, 令F(a)=a-l-alna,F(a)=-lna<0,F(a在(，+o)上单调递减， 故F(a)<F(=0,即h<blna,又因为hx)=blna,故p>x,>l. 数学参考答案第5页共6页 19.(17分) 【命题说明】本题命题思路参考2024年全国I卷第19题 【参考答案】 (1)a1,a2,a3,a4,a4,a3,a2,a1,a4,a2,a3,a1,a1,a3,a2,a4 (2)不妨设无穷数列{}满足：C3-2=ak-2,C3-1=ak,c=ak-1(k∈N*) 易知c=CC3+1,c强=C3k-C3-2,c-2=c3k-393-(k∈N*）, 所以{}的任意连续三项的某一项均为另外两项的等比中项， 此时，取{cn}的前n项，即可得到“差续数列”{b,},即证。 (3)若{bn}是“差续数列”，不妨设b,在{an}中对应fb,)项(=1,2，，)， 由题意知，b,b+1,b+2中某项为另外两项的等比中项 所以f6),fb),∫b+2)中某项为另外两项的等差中项. 记d,=f6）f6),易知=与a或al=a,或al=2d 不妨设d为d,42,…,4n中的最小项， 则对于i=l,2,…,n-,3keNd,=d2*, 设f6)=方f6,)=j+1,j=1,2…,n-1,xye1,2…n以， 则当y>x时，f6,)=f6,)+∑，当y<x时，f6,)=6,)+∑， 即当y>x时， 空=1，ay<x时，1-2 由于4，=dp,所以d∑2x,=1.其中xeZ=0,1l,2…,m), ld2"为dl,42l,…,4nl中的最大项。 所以22可 左式显然为整数，而d为正整数，故d=1 所以必然存在了6)一了化，)=±1，所以存在正整数k,1=q或 b& 数学参考答案第6页共6页