3.4函数的应用（一）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数模型（一次、二次、幂函数、分段函数）的实际应用，通过手机支付、神舟飞船等生活实例导入，衔接前期函数概念与性质，搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于以个税计算、刹车距离等真实问题为载体，培养数学眼光观察现实、数学思维分析问题、数学语言表达模型的核心素养。题型分类清晰，例题练习紧扣课本，课堂小结归纳建模步骤，助力学生提升应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

人教版2019高一数学（必修一）第三章 函数的概念与性质 3.4函数的应用（一） 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.能够应用函数知识建立函数模型解决实际生活中的问题．（重点） 2.选择适当的方案和合适的函数模型解决实际问题．（难点） 情景导入 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系。下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法 很多人对数学的刻板印象就是——枯燥无味，对以后的生活没有太大的用处.其实数学是我们生活的一部分，数学最开始也是满足生活的需要不断前进发展的.当你用手机支付完成一次付款，当你面对高楼大厦，当你看到神舟系列飞船成功发射，这些都离不开数学和数学模型. (1)一次函数模型：,, (2)反比例函数模型：,, (3)二次函数模型：,,, (4)幂函数模型：,,,, (5)分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛． 常见的数学模型有哪些? 下面通过一些实例感受它们的广泛应用,体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法． 新知探究 课本例题 例1 设小王全年综合所得收入额为x元，应缴纳综合所得个税税额为y 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元. （1）求y关于x的函数关系； （2）如果全年的综合所得为249 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 解：（1） 由个人应纳税所得额计算公式，可得 令t=0，得x=146700 根据个人应纳税所得额的规定可知，当0≤x≤146700时，t=0.所以，个人 应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为 当0≤x≤146 700时，t=0，所以y=0； 当146 700<x≤191 700时，0<t≤36 000 ，所以 y=t×3%=0.024x-3520.8； 当191 700<x≤326 700时，36 000 <t≤144 000 ，所以 y=t×10%-2520=0.08x-14256； 当326 700<x≤521 700时，144 000 <t≤300 000 ，所以 y=t×20%-16920=0.16x-40392； 当521 700<x≤671 700时，300 000 <t≤420 000 ，所以 y=t×25%-31920=0.2x-61260； 当671 700<x≤971 700时，420 000 <t≤660 000 ，所以y=t×30%-52920=0.24x-88128； 当971 700<x≤1346 700时，660 000 <t≤960 000 ，所以y=t×35%-85920=0.28x-126996； 当x>1346 700时，t>960 000 ，所以y=t×45%-181920=0.36x-234732； 所以，函数解析式为 当x=249600时，y=0.08×249600-14256=5712. 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元. 结论：根据个人收入情况，利用上面获得的个税和月工资关系的函数解析式， 就可以直接求得应缴纳的个税． 75 90 80 例2.一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的关系 如图（1）所示. (1)求图（1）中阴影部分的面积，并说明所求面积的 实际含义； · · · · · · · · · · · · · · ·     90 80 70 60 50 40 30 20 10   50 65 (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位:km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象. 你能根据图画出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗? 图（1） 分析:当时间t在[0，5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应。根据图（1），在时间段[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]内行驶的平均速率分别为50km/h，80 km/h，90 km/h，75 km/h，65km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述. 解:(1)阴影部分的面积为 50x1+80X1+90X1+75X1+65X1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km. （2）根据图（1）有 50t+2004，0≤t＜1 80（t-1）+2054，1≤t＜2 90（t-2）+2134，2≤t＜3 75（t-3）+2224，3≤t＜4 65（t-4）+2299，4≤t＜5 s= 这个函数的图象如图（2）所示 图（2） 课本练习 1.若用模型 描述汽车紧急刹车后滑行的距离y(m)与刹车时的速度v (km/h)之间的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后 滑行的距离为20m，在限速为100km/h的高速公路上，这辆车紧急刹车后 滑行的距离为50m，判断这辆车是否超速？ 【解】由题意，把(60，20)代入表达式中，得 ，解得       即表达式为   当 时，解得     因为 ，所以这辆车没有超速.   2.某广告公司要为客户设计一幅周长为60m的矩形广告牌，如何设计 这个广告牌可以使它的面积最大？ 【解】设广告牌的长为t米，则宽为(30-t)米， 面积S为   配方，   所以当长为15米，宽为30-t=15米的时候， 它的面积最大，最大面积为225平方米. 3.某公司生产某种产品的固定成本(房租设备水电等)为150万元，每件产品的 生产成本为2500元，售价为3500元.若该公司生产的产品全部都能卖出去. （1）设总成本为W万元，平均分摊到每件产品上的单位成本为y万元，销售 总收入为S万元，总利润为P万元，分别求出它们与产量t的函数关系式. 【解】由题意得         (2)根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析. 题型分类讲解 题型1 一次函数、二次函数的应用 1.某地供电公司为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电 量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量与相应电费 （元）之间的函数关系如图 所示，当夜间月用电量为 时，应交电费为( ) D A.130元 B.140元 C.150元 D.160元 解析 结合函数图象可知,当时,与之间是一次函数关系,设 , , 当时,；当时, , 则解得 此时, .所以当时, .故选D. 2.［江西上饶2025高一月考］你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真《元夜》的“火树银花触目 红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却 在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度 （单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为 ，则烟花在冲击后爆裂的 时刻是( ) A A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 解析 由题意, , 则当 时,烟花达到最高点,即爆裂的时刻是第4秒.故选A. 16 3.［陕西西安2025高一期中］某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件） 与货价（单位：元/件）之间的关系为，生产件所需成本 （单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是____. 10 解析 由题意，设该厂日获利为元，则 ， 当工厂日获利不少于1 000元时，即 ，即 ， 解得且 . 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 17 4.［吉林长春多校2025高一期末联考］根据统计，一名工人组装第 件产品所用的时间 （单位：分）为,为常数.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 件 产品用时5分钟，那么和 的值分别是( ) C A.75，25 B.75，16 C.60，144 D.60，16 题型2 分段函数的应用 解析 由题意可得 ， 故则 故选C. 18 5.［广东茂名七校2024高一联考］某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的 总金额不超过1 000元，那么不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1 000元， 那么超过1 000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元部分 超过500元的部分 若某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为________元. 1 610 解析 设顾客选购物品的总金额为元,获得的折扣优惠金额为元,则当时, . 当时, , 令,得,解得 ,不符合题意. 当时, , 令,得,解得 ,符合题意,所以他实际所付金额为 （元）. 19 6.某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费 与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运 费与仓库到车站的距离成正比.据测算，如果在距离车站处建仓库，这两项费用， 分 别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A A.处 B.处 C.处 D. 处 题型3 幂函数和对勾函数的应用 解析 设仓库到车站的距离为,由题意可设,,其中 . 由当时,两项费用,分别是2万元和8万元,可得, . 故,当且仅当,即 时取等号,故选A. 20 7.（多选）［河北保定部分学校2025高一联考］在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通 过圆形管道时，其流量单位：与管道的半径单位： 的四次方成正比，当气体在半 径为的管道中时，流量为 ，则( ) AC A.当气体在半径为的管道中时，流量为 B.当气体在半径为的管道中时，流量为 C.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 D.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 解析 依题意可设， 为常数. 当气体在半径为的管道中时，流量为，所以，解得 ，则 .当时， ，故A正确，B错误. 由，解得，故C正确，D错误.故选 . 21 8.［山东部分学校2024高一联考］某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元， 若该景区开业后的第一年接待游客万人，则需另投入成本 万元，且 该景区门票价格为64元/人. （1）求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数 （万人）的函数关系式.（利润 收入-成本） 【解】该景区的门票收入为 万元,则利润 即 故该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数 （万人）的函数关系式为 22 （2）该景区开业后的第一年接待游客为多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ [答案] 当时, ； 当时,二次函数图象开口向下,对称轴为直线,故 ； 当时,,当且仅当,即 时等号成立, . 综上,当该景区开业后的第一年接待游客人数为20万时，获得的利润最大,最大利润为260万元. 23 9.（多选）［浙江台金七校2025高一期中联考］如图①是反映某条公交线路收支差额 （即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量 之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏 损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示. 图① 图② 图③ 则下列说法中正确的有( ) BC A.图②的建议：提高成本，并提高票价 B.图②的建议：降低成本，并保持票价不变 C.图③的建议：提高票价，并保持成本不变 D.图③的建议：提高票价，并降低成本 解析 根据题意和题图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入 是0，但是支出变少了，说明此建议是降低成本并保持票价不变，故A错误，B正确；由题图③可 以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即有相同的乘客量时收入变大， 即票价提高了，说明此建议是提高票价并保持成本不变，故C正确,D错误.故选 . 易错警示 对函数图象的理解要准确,尤其是对每一个变化点的含义以及数值意义要理解到位. 易错点 对函数图象的理解不到位而致错 24 课堂小结 1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性． 2．数学建模的过程图示如下： $$