第02讲 两条直线的位置关系（复习课件）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 讲师：xxx 两条直线的位置关系 1 01 考情解码·命题预警 智能导览·极速定位 02 体系构建·思维可视 知能解码 知识点1 两条直线的位置关系 知识点2 直线的交点与方程组解的关系 知识点3 距离公式 知识点4 对称问题 题型破译 题型1 直线的交点及其应用 题型2 两条直线平行及其应用 题型3 两条直线垂直及其应用 03 核心突破·靶向攻坚 题型4 点到直线间的距离公式的应用 题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 题型6 与距离有关的最值问题 题型7 点、直线的对称问题 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直． （2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． （3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，12题，5分 甲卷理科，第12题，5分 北京卷第3题，4分 新课标I卷，第6题，5分 新课标II卷，第15题，5分 考情透视·目标导航 4 考情分析 高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点． 复习目标 1.两条直线的位置关系 2.直线的交点与方程组解的关系 3.距离公式 4.对称问题 考情透视·目标导航 5 02 体系构建·思维可视 知识导图·思维引航 03 核心突破·靶向攻坚 ——知能解码 题型破译 知能解码 知识点1 两条直线的位置关系 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0 且A1C2－A2C1≠0 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 题型破译 知能解码 【自主检测】 【详解】 知识点1 两条直线的位置关系 题型破译 知能解码 知识点2 直线的交点与方程组解的关系 交点 无解 无数个 相交 平行 题型破译 知能解码 【自主检测】 【详解】 知识点2 直线的交点与方程组解的关系 故选：B 题型破译 知能解码 知识点3 距离公式 题型破译 知能解码 【自主检测】 【详解】 故选：B 知识点3 距离公式 题型破译 知能解码 知识点4 对称问题 (2a－x0，2b－y0) 题型破译 知能解码 【自主检测】 【详解】 知识点4 对称问题 题型破译 知能解码 【详解】 知识点4 对称问题 故选：C 03 核心突破·靶向攻坚 ——题型破译 题型破译 知能解码 【例1-1】 题型1 直线的交点及其应用 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【例1-2】 题型1 直线的交点及其应用 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式1-1】 题型1 直线的交点及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型1 直线的交点及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 【变式1-2】 题型1 直线的交点及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型1 直线的交点及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 【例2-1】 题型2 两条直线平行及其应用 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 【例2-2】 题型2 两条直线平行及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型2 两条直线平行及其应用 【详解】 故选：BCD 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 分析两条直线是否平行，需注意两个关键要点： 一是不可遗漏斜率不存在（两条直线均垂直于 x 轴）的特殊情况， 二是必须排除两条直线重合的情况。 题型破译 知能解码 【变式2-1】 题型2 两条直线平行及其应用 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【变式2-2·变考法】 题型2 两条直线平行及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 【变式2-3·变载体】 题型2 两条直线平行及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型2 两条直线平行及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 【例3-1】 题型3 两条直线垂直及其应用 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 【例3-2】 题型3 两条直线垂直及其应用 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式3-1】 题型3 两条直线垂直及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型3 两条直线垂直及其应用 【详解】 故选：AD. 题型破译 知能解码 【变式3-2】 题型3 两条直线垂直及其应用 【详解】 题型破译 知能解码 【例4-1】 题型4 点到直线间的距离公式的应用 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 【例4-2】 题型4 点到直线间的距离公式的应用 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式4-1】 题型4 点到直线间的距离公式的应用 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 【变式4-2·变载体】 题型4 点到直线间的距离公式的应用 【详解】 题型破译 知能解码 题型4 点到直线间的距离公式的应用 【详解】 题型破译 知能解码 【例5-1】 题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【例5-2】 题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式5-1】 题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【变式5-2】 题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 【详解】 题型破译 知能解码 【例6-1】 题型6 与距离有关的最值问题 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【例6-2】 题型6 与距离有关的最值问题 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式6-1】 题型6 与距离有关的最值问题 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 【变式6-2】 题型6 与距离有关的最值问题 【详解】 题型破译 知能解码 题型6 与距离有关的最值问题 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【例7-1】 题型7 点、直线的对称问题 【详解】 题型破译 知能解码 题型7 点、直线的对称问题 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【例7-2】 题型7 点、直线的对称问题 【详解】 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式7-1】 题型7 点、直线的对称问题 【详解】 题型破译 知能解码 题型7 点、直线的对称问题 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式7-2】 题型7 点、直线的对称问题 【详解】 题型破译 知能解码 【变式7-3】 题型7 点、直线的对称问题 【详解】 题型破译 知能解码 题型7 点、直线的对称问题 【详解】 04 真题溯源·考向感知 真题溯源·考向感知 【详解】 【1】 故选：C. 67 真题溯源·考向感知 【详解】 故选：D. 【2】 68 真题溯源·考向感知 【详解】 故选：B. 【3】 69 真题溯源·考向感知 【详解】 故选：A. 【4】 70 真题溯源·考向感知 【详解】 【5】 71 05 课本典例·高考素材 课本典例·高考素材 【详解】 【1】 73 课本典例·高考素材 【详解】 【2】 74 课本典例·高考素材 【详解】 【3】 75 课本典例·高考素材 【详解】 【4】 76 课本典例·高考素材 【详解】 【5】 77 课本典例·高考素材 【详解】 78 课本典例·高考素材 【详解】 【6】 79 课本典例·高考素材 【详解】 【7】 80 课本典例·高考素材 【详解】 81 讲师：xxx 感谢观看 THANK YOU 82 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 垂直 v1⊥v2 相交 v1与v2不共线 判断下列各组直线的位置关系： (1) ，； (2) ， ； (3) ， ． （1）因为 且两直线的纵截距,所以两直线平行. （2）因为 所以两直线垂直. （3）因为 所以两直线既不平行，也不垂直. 即两直线的位置关系为相交但不垂直. (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解 一组 无数组 直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个 直线l1与l2的位置关系 重合 直线 和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 解方程组 ，得， 所以所求交点坐标为 . (1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ .特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ . (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ . (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离 d＝ . eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) eq \r(x2＋y2) eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 已知点 在直线上，则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 就是到原点距离， 到原点距离的最小值为 则 的最小值为2， (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′ (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′. 已知 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 设点 为直线上的动点， 由 可看作 与 的距离和 与 的距离之和， 设点 则点 为点 关于直线 的对称点，故 ，且 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，当且仅当 三点共线时，取等号， 所以 的最小值为 . 过直线 与 的交点，且一个方向向量 的直线方程为（    ） A． B． C． D． 联立 ，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量 ，所以直线的斜率为 ， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为 ，即 . 联立直线 、的方程， ，解得 ， 故直线 、 的交点坐标为 ， 因为直线 与直线 平行，设直线 的方程为 ， 将点 的坐标代入直线 的方程可得 ，解得 . 因此，直线 的方程为 . 已知直线 过直线 和 的交点，且与 平行，则 的方程是（   ） A． B． C． D． 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. 已知直线 ． (1)求经过点 且与直线 垂直的直线方程； (2)求经过直线 与 的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程． （1）由直线 可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为 ， 则依题意有 ，解得 ， 所以所求直线方程为 ，整理得 ； （2）联立 ，解得，即直线 与 的交点为 ， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为 ， 代入 得 ，此时 ； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为 ， 依题意 ，解得 ，此时直线方程为 ，即 综上所述：所求直线方程为 或 ． 已知菱形 中，， ， 边所在直线过点 ，求：(1) 边所在直线的方程； (2)点 的坐标． （1）因为 边所在直线过点， ，所以     因为 为菱形，所以 ，所以 ，       又 ，所以 ，整理得 . （2）因为 ， ，所以 . 因为 为菱形，所以 ，所以         因为 ，，所以 中点坐标为 ， 所以            联立方程组 ， 解得 ，所以 . “ ”是“直线 与 平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 若直线 ，则，解得： . 所以“ ”是“直线 的充分必要条件. （多选）已知直线 ：， ： ，点 在 上，点 在 上，则（    ） A． 的最小值为 B．原点到 的距离的最大值为 C． 的充要条件为 D． 的充要条件为 或 对于B， ：可化为 ， 令 ，得 ，则 过定点 ， 当 垂直于定点与原点的连线时，原点到 的距离最大， 最大距离为 ，故B正确； 对于C， 的充要条件为，即 ，故C正确； 对于D， 的充要条件为 且 ，即 或 ，故D正确. 对于A，因为直线 ： ， ： 不一定平行， 当 与 相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误； 三种常见的直线系 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0； (3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 直线 与直线平行， 则 ，解得 ， 直线 ，即 ， 与 的距离为 . 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 已知直线 经过点 ，且与直线 平行，则直线 的方程为 ． 由直线 与直线平行，设直线 的方程为 ， 由直线 经过点 ，得 ，解得 ， 所以直线 的方程为 . 故答案为： 已知直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边 ，如果在第一象限内有一点 使得 和 的面积相等，则 ． 如图所示：因为直线 与轴， 轴分别交于点 ， ，所以 ， ，所以 .又 和 的面积相等，所以 ，所以可设直线 的方程为 .依题意，得点 到直线 的距离为 ，即 ，所 以 或（舍），所以直线 的方程为 .又点 在直线 上，所以 ，即 . 故答案为：1. 以 为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为 ， 又线段的中点为 ，即 ， 所以线段 中垂线方程为： ，即 . 设直线 ， ，则 是 的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 当 时，直线， ， 此时 ，则 ，所以 ，故充分性成立； 当 时， ，解得 或 ，故必要性不成立； 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件， 两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况 （多选）下列说法正确的是（    ） A．直线 必过定点． B．截距相等的直线都可以用方程 表示 C．直线 的倾斜角为 D．过点 且垂直于直线 的直线方程为 对于A，由直线方程有 ，故必过点，故A正确； 对于B，当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且为 ，如 ， 所以不能用方程 表示，故B错误； 对于C，直线 的斜率为 ，则倾斜角为 ，故C错误； 对于D，由直线 和的斜率分别为 ，则有 ，故相互垂直， 将 代入方程 ，则 成立，故D正确． 已知 的顶点． (1)求边 上的高 所在直线的方程； (2)求边 上的中线 所在直线的方程． （1）因为直线 的斜率，所以 所在直线的斜率 ，则所求直线方程为 ，即 所以边 上的高 所在直线的方程为 ．（2）因为线段 的中点 ， 所以边 上的中线 所在直线的斜率 ， 则所求直线方程为 ，即 所以边 上的中线 所在直线的方程为 ． 易知直线 的斜率为，又过点 ， 所以其方程为 ，即 ， 可得点 到直线l的距离为 . 已知直线l过点 且倾斜角为 ，则点 到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 若点 ， 到直线 的距离相等，则 （   ） A．4 B． C．4或 D． 或 若 ，在直线 的同侧，则 ，解得 ； 若 ， 分别在直线 的两侧，则直线 经过 的中点 ， 则 ，解得 ． 利用距离公式应注意的点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 法一：点 到直线的距离为 ， ，令 ，当 时， ， 当 时， ，由对勾函数的性质可知 ， 所以 ，所以 ，所以 . 法二：易知直线 过定点 ，则点到直线的距离最大值为定点到 的距离，即 . 点 到直线 （ 为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 已知实数 ，满足 ， ， ，则 的最小值是 ． 依题意，方程 、分别表示以原点 为圆心，2、3为半径的圆，令 ，即点 分别在 、 上，如图，显然 ， ，即有 ， ，取线段 中点 ，连接 ，则 ， 因此点 在以原点为圆心， 为半径的圆上， 而 ， 即 表示点 到直线 的距离和的 倍， 过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，过 作 垂直于直线 于点 ， 于是 ， ， ，原点 到直线 的距离 ，显然 ，当且仅当点 共线，且点 在线段 上时取等号，所以 . 故答案为： . 直线 即直线，与直线 平行，则 ， 故所求即为平行直线 与 之间的距离， 即所求为 . （2025·四川成都·模拟预测）已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 已知实数 满足 ， ， 则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 由题意可得， 是直线上的点， 是直线 上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为 . 两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构． 若两条不同的直线 ： 与直线 ： 平行，则 的值为（    ） A． B．1 C． 或1 D．0 因为直线 ：与直线 ： 平行， 所以 ，解得 ， 当 时， ： ， ： ，两直线平行， 当 时， ： ， ： ，两直线重合， 所以 . 设直线 与. (1)若 ，求 、 之间的距离； (2)当直线 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求 的值. （1）由 ，则，化简得 ，可得 或 ，当 时，不成立，当 时， ， ， 此时 之间的距离为 . （2） 直线 与两坐标轴的正半轴围成三角形， ，则 ， 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 ， 当 时， 有最大. 直线 即， 令 ，解得 ， 即直线 过定点 ，设为B， 当直线 与l垂直时，点 到直线 的距离最大，即为 ， 此时 的斜率为 ，则l的斜率为2，故 ，方程无解， 即直线l和 不可能垂直，则点 到直线l的距离小于 ，不存在最大值， 点 到直线 的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 （2025·江苏南京·二模）已知 ，则 的最小值为（  ） A．2 B．1 C． D． 设点 是函数图象上的点，点 是直线 上的点，则 ，所以 ， 因为 ，设函数 在点 处的切线 与直线 平行， 则 ，解得 ，则点 ， 所以 的最小值为点 到直线 的距离 ， 所以 的最小值为2， 数学结合，利用距离的几何意义进行转化 已知点 在直线 上，则 的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 如图，设 关于直线对称的点为 ，则 解得 ，则 ， 所以 . （多选）已知直线 和两点.在直线l上有一点P，则 的最小值和 的最大值为（   ） A． 的最小值为12 B． 的最小值为6 C． 的最小值为 D． 的最大值为2 令 是关于 的对称点，则 ， 所以 ，即 ， 为 与 的交点， 如下图 ，则 ， 当且仅当 共线且 在线段 上时取等号，即 的最小值为12； 由图知 （直线 与直线 的交点离 点更近），即 ， 当且仅当 共线且 在射线 上时取最小值，但无最大值，即最小值是 ，为 . 下列说法正确的是（    ） A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点 关于直线 的对称点为 C．直线 关于直线 的对称直线的方程为 D．直线 关于点 的对称直线的方程为 对于A，直线 与两坐标轴交于，则所求三角形面积为 ，A错误； 对于B，点 和 的中点 不在直线 上，则点 关于直线 的对称点不是 ，B错误； 对于C，在直线 上取点 ，设其关于直线 的对称点为 ， 则 ，解得 ，而点 不在直线 上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点 ，则该点关于点 的对称点为 在直线 上， 于是 ，即 ，因此所求的直线方程为 ，D正确. 已知 在直线上，则 的最小值为 ． 因为 表示点到原点 的距离，而点 在直线 上，所以 的最小值即为原点 到直线 的距离， . 所以 的最小值为3. 故答案为：3. 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 在等腰直角 中， ，点 是边 上异于端点的一点，光线从点 出发经 、 边反射后又回到点 ，若光线 经过 的重心，则 的面积等于（    ） A． B． C． D． 建立直角坐标系，可得 ,故直线BC的方程为，则三角形 的重心为 ，即 ，设 ,其中 ，则点P关于直线BC的对称点 ，满足 ，解得 ，即 ， 易得P关于y轴的对称点 ，由光的反射原理可知四点共线，直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ， 由于直线 过三角形 的重心 ，代入得 ， 化简得 或 （舍去），故 , , ,直线 的方程为 ,联立 ,解得 ,即点Q的坐标为 , 则三角形 的面积 ， 设入射光线沿直线 射向直线，则被 反射后，反射光线所在的直线方程是 由 解得， 所以直线 与 的交点为 ， 点 在直线 上， 点 关于直线 的对称点 在反射光线上， 所以反射光线所在直线方程为 ， 整理得 故答案为： 在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2 即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ， ∴直线l的方程为y＝ x＋b，直线l1为y＝ x＋ ＋b 取直线l上的一点 ， 则点P关于点（2，3）的对称点为 ， 由 ，解得b＝ . ∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0. 故答案为：6x－8y＋1＝0. （2024·北京·高考真题）已知 是平面直角坐标系中的点集.设是 中两点间距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 对任意给定 ，则，且 ， 可知 ，即 ，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 ，如图阴影部分所示，其中 ，可知任意两点间距离最大值 ，阴影部分面积 . 设对称的直线方程上的一点的坐标为 ， 则其关于点 对称的点的坐标为 ， 因为点 在直线 上， 所以 即 . （山东·高考真题）直线 关于点 对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． （新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （    ） A．1 B．2 C． D．4 抛物线的焦点坐标为 ， 其到直线 的距离： ， 解得： ( 舍去). （全国·高考真题） 和 夹角的平分线所在直线的方程为 ，如果 的方程是 ( )，那么 的方程是(    ) A． B． C． D． 由题意可知，直线 与直线表示直线的一次函数互为反函数， 则将 的方程交换 与 的位置即可得到 的方程， 因为 的方程是： ， 所以直线 的方程为： ，即 . （全国乙卷·高考真题）双曲线 的右焦点到直线的距离为 ． 由已知， ，所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点 到直线 的距离为 . 故答案为： . 因为点A在x轴上，点B在y轴上，所以设 ， 因为线段AB的中点M的坐标是 ，所以 ，即 ， 所以 ， . 已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是 ，求线段AB的长． （1）根据点到直线的距离公式，得 （2）因为直线 即 平行于y轴，所以 . 分别求点 到下列直线的距离： (1) ； (2) ． 因为两条平行直线 与间的距离为3， 所以 ，解得 或 . 已知两条平行直线 与间的距离为3，求C的值． （1）将 与的方程分别化为斜截式可知 ． 因此 与 的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行． （2）解方程组 ， 可得 ． 因此 与 相交，而且交点的坐标为 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1) ； (2) ． 如图，作点 关于直线l的对称点，连接 交l于 ，   若 （异于 ）在直线l上，则 ， 因此供水站建在 处，才能使得所用管道最省． 设 ，则 的中点在l上，且 ， 即 ， 某地 两村在一直角坐标系下的位置分别为， ，一条河所在直线l的方程为 ．在河边上建一座供水站 分别向 两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站 应建在什么地方? 解得 ，即，又因为 ， 则直线 的方程为： ，则化简为 ， 所以直线 的方程为 ． 解方程组 ，得 ． 所以点P的坐标为 ． 故供水站P应建在 处． 表示、 的距离， 表示 、 的距离，所以 ， 因为 ， 所以 . 求函数 的最大值． 变形为 ， 令 ，解得 ， 故直线 经过定点 ， 由于 ，故 在圆 上，不妨设为 ， 的圆心为 ，半径为 ， 设圆心 到直线的距离为 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 已知直线 与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若 ，求 ． 由垂径定理可得 ，解得 ， 由点到直线距离公式可知， ，解得 ， 直线 ，斜率为 ，倾斜角为 ， 过点 作 平行于 于点 ，则 ，且 ， 因为过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点， 所以 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$