专题04 二次函数（数学竞赛真题汇编）九年级全国通用

专题04 二次函数 1．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于x的方程的两个根；③，其中，正确结论的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是 ． 3．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，则线段的长为 ． 4．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）函数，其中是常数且，该函数的图象记为G．直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则a的取值为 ． 5．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）二次函数的图象经过点且与轴交于不同的两点，．设二次函数图象的顶点为，求面积的最小值及对应二次函数的解析式． 6．（2025·内蒙古）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，点是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 7．（24九年级下·江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过、． (1)求拋物线的函数表达式； (2)点是线段上一动点，点关于的对称点分别为点M、N，连接交线段于E、F．求最小值； (3)在（2）的条件下，请直接写出线段的取值范围． 8．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标． 9．（23九年级上·重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025·山东）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知二次函数的图象与轴交于不同的两点、，顶点为点，且，则代数式的取值范围是 ． 2．（2024九年级·全国·竞赛）函数的图象与轴所有交点的横坐标之和为 ． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知开口向上的抛物线经过点，且，则抛物线与x轴的两个交点之间的距离d的取值范围是 ． 4．（2024九年级·全国·竞赛）已知函数，当，且x为整数时，所有函数值的和为 ． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的点，分别位于轴的左、右两侧，且．过点的抛物线与轴相交于点，若将抛物线的图象向左平移一个单位长度，则其顶点恰好落在轴上．点是线段上的一个动点，过点作轴交原抛物线于点，交线段于点．如果直线把分成面积之比为3∶1的两部分，那么点的坐标为 ． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线与轴交于点（点A在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ． 7．（2024九年级·全国·竞赛）已知二次函数的解析式为． (1)求证：该二次函数的图象与轴总有交点，并指出当为何值时，函数图象与轴只有一个交点； (2)当为何值时，该二次函数的图象经过原点； (3)在（2）的条件下，分别求出当和时的取值范围． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将二次函数的图象先向右平移1个单位长度后再向上平移1个单位长度，得到的新图象与轴交于点，已知点的坐标为，点在轴的正半轴，平移后的图象的顶点为点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为点，交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)求与的面积之比． 9．（2024九年级·全国·竞赛）已知一条抛物线在x轴上截得的线段，点A在点B左边，顶点C的横坐标为4，抛物线与y轴相交于点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)在该抛物线的对称轴上有一点P，使得的值最小，求出点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由． 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知抛物线的图象与轴相交于两点，与轴相交于点，顶点为点，且方程的根同时满足一元二次方程． (1)求的面积与的面积之比； (2)若，求抛物线的解析式． 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，的顶点坐标分别为点，四边形为的内接矩形，其中点D、E在上，点F、G分别在上． (1)求经过点A、B、C的抛物线的函数解析式； (2)设点D的横坐标为d，矩形的面积为S，求出S关于d的函数关系式，并写出d的取值范围； (3)当矩形的面积S取最大值时，连接并延长交抛物线于点M，求的值． 12．（2024九年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知点轴，垂足为点C，直线与抛物线相交于点，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线，交射线于点E． (1)求点D的坐标； (2)设点P的横坐标为，，求以点为顶点的四边形的面积S与a的函数关系式； (3)设直线交射线于点F，交抛物线于点Q，以为一边在的右边作矩形，若，且矩形与重叠部分为轴对称图形，求出a的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数 1．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于x的方程的两个根；③，其中，正确结论的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，包括对称轴，顶点坐标，函数值的计算以及根据条件判断结论的正确性，需要熟练掌握二次函数的相关知识并能灵活运用． 依据题意，由抛物线过，可得抛物线的对称轴是直线，进而逐个判断即可得解． 【详解】由表格可知和时，值都为，根据二次函数的对称性，对称轴为, 又因为当时，，所以顶点坐标为，顶点在第一象限，故①错误； 由表格可知当时，，根据二次函数的对称性，对称轴为，那么与关于对称轴对称的点的横坐标满足，解得，所以和3是关于的方程的两个根，故结论②正确． 设二次函数的表达式为 ， 把代入可得： ， 即，则， 所以 , 把代入可得：, 把代入可得：, 所以, 当时，，即 ．解得． 当时，，所以，该结论正确． 故结论③正确． 综上，正确结论有2个，答案选C． 综上，正确的有②③． 故选：C． 2．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，将抛物线解析式化为顶点式，即可得解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 3．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴直线的计算，二次函数的对称性，掌握二次函数对称轴直线的计算，二次函数图象的对称性是解题的关键． 根据题意可得二次函数对称轴直线为，由题意可得点到对称轴直线的距离为，点关于对称轴对称，由此即可求解． 【详解】解：∵点、点， ∴二次函数对称轴直线为， ∵抛物线与轴交于点， ∴点到对称轴直线的距离为， ∵轴， ∴点关于对称轴对称， ∴， 故答案为：4 ． 4．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）函数，其中是常数且，该函数的图象记为G．直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则a的取值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数与二次函数图象综合判断，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由图象可知，不论哪种情况，要使直线与该函数图象恰好只有两个交点，则直线必过顶点，据此建立方程，解方程即可求出a的取值． 【详解】解：顶点为， 顶点为， 图象有两种情况，如图： 不论哪种情况，要使直线与该函数图象恰好只有两个交点， ∴直线必过顶点， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 5．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）二次函数的图象经过点且与轴交于不同的两点，．设二次函数图象的顶点为，求面积的最小值及对应二次函数的解析式． 【答案】1， 【分析】本题考查了二次函数最值在求三角形面积中的运用．关键是根据题意表示三角形的面积，将所得式子转化为二次函数求解． A、B两点在x轴上，表示线段的长，由两根关系转化为p、q的表达式，根据顶点坐标公式得，故有，又依题意得，即，转化为关于m的二次函数求面积最小时，m、n的值． 【详解】由题意知，即， ∵、两点在抛物线上 ∴，， 又∵，， ∴ ， 要使最小，只须使为最小， 而， 当时，有最小值为4 此时，， ∴二次函数解析式为 ． 6．（2025·内蒙古）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，点是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为：或或或 【分析】本题考查二次函数的综合、待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及解一元二次方程，分类讨论是解题关键． （1）把、两点坐标代入，解方程组求出、的值即可求得答案； （2）根据解析式得出对称轴为直线，设，对称轴交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，则，进而可得，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）设，，分四种情况：①点在对称轴右侧且在轴上方；②点在对称轴右侧且在轴下方；③点在对称轴左侧且在轴下方；④点在对称轴左侧且在轴上方；利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质，构建方程进行解答即可． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点与关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 如图，设，对称轴交于点，设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． （3）解：设，， ①当点在对称轴右侧且在轴上方时，过点作对称轴的垂线，垂足为，过点作于点， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，(舍去)， ∴, ∴． ②当点在对称轴右侧且在轴下方时，过点作轴于，过作于， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． ③当点在对称轴左侧且在轴下方时， 同理可得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． ④当点在对称轴左侧且在轴上方时， 同理可得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 综上所述：存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，点坐标为或或或． 7．（24九年级下·江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过、． (1)求拋物线的函数表达式； (2)点是线段上一动点，点关于的对称点分别为点M、N，连接交线段于E、F．求最小值； (3)在（2）的条件下，请直接写出线段的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）先根据轴对称的性质得到．则为等腰直角三角形．那么，然后证明，则得到．，故当时，最小，再由等面积法得到，即可求解； （3）由勾股数得，那么当取得最小值和最大值时，对应取得最小值和最大值，由于点D在线段上，则当时，最小，当点与点重合时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵拋物线经过、， ∴ 解得：， ∴拋物线的函数表达式； （2）解：如图，连接 ， 对于抛物线，当， ∴， ∵、， ∴， ∴． ∵点D与点M关于直线对称， ∴． 同理：， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵为的外角， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∵点D在线段上， ∴当时，最小， 此时，∵，， ∴， ∴． 即的最小值为； （3）解：∵，， ∴， ∴当取得最小值和最大值时，对应取得最小值和最大值， ∵点是线段上一动点， ∴当时，最小， 由（2）可得的最小值为， ∴最小值为； 而， ∵ ∴的最大值为， ∴最大值为， ∴线段的取值范围为． 8．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为： (2)的最大值为，此时 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质．掌握二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将点、坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）利用，得，则， 设，，，用含的代数式表示出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ，解得：． 该抛物线的函数表达式为：． （2） ，， ，， 由勾股定理可得， ， ， ， ， ，， ， ，， 直线的解析为：， 设，，， ， ， 开口向下，， 当时，的最大值为，此时． 9．（23九年级上·重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由， 解得或， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 10．（2025·山东）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）可得抛物线的表达式为，得出，求出，过点M作 轴交的延长线于点D，证明，联立抛物线和直线的表达式求出（舍去）或，即可得点，求出直线的表达式，根据轴，得出，求出点，根据，列出方程，求解即可； （3）根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下，根据点是抛物线上的两点，得出，分三种情况：①当时，即，②当时（即），③当时（即），分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：根据（1）可得抛物线的表达式为， ∴， 令，解得：或， ∴， 过点M作轴交的延长线于点D， 则， ∵恰好平分，即， ， ， 联立抛物线和直线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 当时，， 即点， 设直线的表达式为， 代入点的坐标得， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵轴，则， 当，则， 即点， ∵，由的坐标得：， 则， 解得：； （3）解：根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下， ∵点是抛物线上的两点， ∴， 分情况讨论：①当时，即， 此时，最高点为顶点， 最低点由和的较小值决定： 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（不在范围内，舍去）． 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（均不符合区间条件）． ②当时（即）， 此时y随x的增大而增大，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（正值舍）． ③当时（即）， 此时y随x的增大而减小，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（负值舍）． 综上，或． 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知二次函数的图象与轴交于不同的两点、，顶点为点，且，则代数式的取值范围是 ． 【答案】 【分析】用根与系数关系，与顶点纵坐标表示出，代入，即可求解，本题考查了根与系数关系，根的判别式，解不等式，解题的关键是：列出的代数式． 【详解】解：设点，， 则是方程的两个不同的实根， ，，， 又， ， ，即：， ， 故答案为：． 2．（2024九年级·全国·竞赛）函数的图象与轴所有交点的横坐标之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与的交点问题，分和两种情况，利用一元二次方程根和系数的即可求解，掌握二次函数与轴交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解题的关键． 【详解】解：当时，函数与轴的正半轴交于两点， 此时，； 当时，函数与轴的负半轴交于两点， 此时，； ∴函数的图象与轴所有交点的横坐标之和为， 故答案为：． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知开口向上的抛物线经过点，且，则抛物线与x轴的两个交点之间的距离d的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，由开口向上的抛物线经过点，得到，，进而得到，再由推出；设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为，则，可得，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵开口向上的抛物线经过点， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ， 设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为， ∴ ∵抛物线与x轴的两个交点之间的距离为d， ∴ ， ∵ ， 故答案为：． 4．（2024九年级·全国·竞赛）已知函数，当，且x为整数时，所有函数值的和为 ． 【答案】390 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，将分解为：，然后可得当时函数值为0，再分别求出时的函数值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当自变量x取2到98时函数值为0， 而当x取1，99，100时，， 所以，所求和为． 故答案为：390． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的点，分别位于轴的左、右两侧，且．过点的抛物线与轴相交于点，若将抛物线的图象向左平移一个单位长度，则其顶点恰好落在轴上．点是线段上的一个动点，过点作轴交原抛物线于点，交线段于点．如果直线把分成面积之比为3∶1的两部分，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的综合应用．利用二次函数的平移规律得到对称轴为直线，求得点，点，得到原抛物线的解析式为，求得直线所在的直线方程为，设点，则点，点，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵将抛物线的图象向左平移一个单位长度，则其顶点恰好落在轴上，∴原抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点，点， ∴原抛物线的解析式为，即， 令，则， ∴点， 设直线所在的直线方程为，则， 解得， ∴直线所在的直线方程为， 设点，则点，点， ∴，， 由题意得或， ∴或， 解得（舍），或， ∴点的坐标为， 故答案为：． 6．（2024九年级·全国·竞赛）如图，抛物线与轴交于点（点A在点的左边），与轴交于点，抛物线由抛物线向右平移后得到，与轴交于点（点在点的左边），且交抛物线于点，若为等腰直角三角形，则抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】设直线交y轴于点M，过F作轴于N；由可求得与x轴的两个交点坐标，由为等腰直角三角形，则可得点M的坐标，从而求出直线解析式，联立直线解析式与解析式可求得点F的坐标，则可求得点E的坐标，由二次函数图像的平移则可求得的解析式． 【详解】解：如图，设直线交y轴于点M，过F作轴于N； 令，解得：， 即， ∴； ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为，把A、M的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线解析式为； 联立直线解析式与解析式得， 解得：（舍去）， 当时，， ∴点F的坐标为， ∴，， ∴点E的坐标为； ∵抛物线由抛物线向右平移后得到，抛物线顶点的纵坐标不变， ∴， 把点E坐标代入得：， 解得：，， 即或； 当时，，， 即点F不在图像上，不符合题意， ∴， 即． 故答案为：． 7．（2024九年级·全国·竞赛）已知二次函数的解析式为． (1)求证：该二次函数的图象与轴总有交点，并指出当为何值时，函数图象与轴只有一个交点； (2)当为何值时，该二次函数的图象经过原点； (3)在（2）的条件下，分别求出当和时的取值范围． 【答案】(1)见解析，当时，，则二次函数图象与轴只有一个交点 (2) (3)当时，或；当时， 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）求出的值，判断其正负，即可判断与x轴交点个数；求出时a的值即可． （2）把代入求出a的值即可； （3）根据a的值，判断其开口方向，再求出y为0时x的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， 二次函数的图象与轴总有交点， 且当时，，则二次函数图象与轴只有一个交点． （2）解：函数的图象经过原点， ， 解得． （3）解：由（2）得， ∴图象开口向上， 当时，， 解得：或， 当时，或． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将二次函数的图象先向右平移1个单位长度后再向上平移1个单位长度，得到的新图象与轴交于点，已知点的坐标为，点在轴的正半轴，平移后的图象的顶点为点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足分别为点，交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)求与的面积之比． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，求二次函数的解析式、平移规律，相似三角形的判定与性质、综合性较强，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移规律得出平移后的函数解析式为再把的坐标为代入，即可作答． （2）先根据对称性质，得点，从而证明，再列式作答即可． 【详解】（1）解：∵将二次函数的图象先向右平移1个单位长度后再向上平移1个单位长度，得到的新图象 ∴平移后的函数解析式为 点的坐标为， ， 解得， ， 顶点． （2）解：点， 平移后的对称轴为直线 ∴点， ， ． 9．（2024九年级·全国·竞赛）已知一条抛物线在x轴上截得的线段，点A在点B左边，顶点C的横坐标为4，抛物线与y轴相交于点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)在该抛物线的对称轴上有一点P，使得的值最小，求出点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在点Q，使得与相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)存在点Q，使得与相似，点Q的坐标为或或 【分析】（1）设二次函数的解析式为：，又由抛物线过点，，即可求得抛物线的解析式； （2）由，可知：当点在线段上时取得最小值，则可利用求得点的坐标； （3）首先求得点的坐标，利用三角函数求得的度数，分当点在轴上方时与当点在轴下方时求解即可，注意要检验是否所得结果符合题意． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为：， 顶点的横坐标为4，且过点， ①， 又对称轴为直线，图象在轴上截得的线段长为6， ∴， ，， ②， 由①②解得，， 二次函数的解析式为：，即． （2）解：点、关于直线对称， ， ， 当点在线段上时取得最小值， 与对称轴的交点即为所求点， 设直线与轴交于点， ， ，又， ， ， ， 点的坐标为． （3）由（1）知点， 又， 在中，， ， ， 当点在轴上方时，过作轴于，如果， 由有，，则， ，，，此时点，， 如果，由对称性知，； ②当点在轴下方时，就是，此时点的坐标是， 经检验，点，与，都在抛物线上， 综上所述，经验证：存在这样的点，使， 点的坐标为，或，或． 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知抛物线的图象与轴相交于两点，与轴相交于点，顶点为点，且方程的根同时满足一元二次方程． (1)求的面积与的面积之比； (2)若，求抛物线的解析式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想以及一元二次方程与二次函数的关系： （1）解一元二次方程确定点A，点B的坐标，再求出点C，点 D的坐标，分别求出的面积与的面积即可得出结论； （2）分两种情形依据勾股定理列式求出的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：解得或， 点或点， ， 对称轴方程为，顶点的坐标为， 令，得 点，得到图象如图1或图2： 过点作轴于点，则， ，或， ∵， 或． （2）解：若，则． 而在图1的情况下， ， ， 解得，满足条件； 在图2的情况下，，，， ，方程无实根． 综上，， 抛物线的解析式为． 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，的顶点坐标分别为点，四边形为的内接矩形，其中点D、E在上，点F、G分别在上． (1)求经过点A、B、C的抛物线的函数解析式； (2)设点D的横坐标为d，矩形的面积为S，求出S关于d的函数关系式，并写出d的取值范围； (3)当矩形的面积S取最大值时，连接并延长交抛物线于点M，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）证明，根据相似三角形的性质，得，即，求得，然后根据面积公式求解即可； （3）根据二次函数的性质得到当时，矩形的面积最大，此时点，点，再用待定系数法求直线的解析式，继而求得点M坐标，然后过点M作x轴的垂线，垂足为点H，从而求得点H坐标， 继而求出各线段长度，即可求解． 【详解】（1）解：由抛物线过点可设抛物线的解析式为， 将点代入，得 ，解得． 即． （2）解：由题意，，即， ； ∵矩形， ∴， ∴， ∴高之比等于对应边之比， 即， ， ， ． （3）解：， ∴当时，矩形的面积最大， 此时点，点， 设直线的解析式为，则解得 ， 令， 解得，其中舍去， ， ∴点M的横坐标为． 过点M作x轴的垂线，垂足为点H， 则点H的坐标为， ． 12．（2024九年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，已知点轴，垂足为点C，直线与抛物线相交于点，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线，交射线于点E． (1)求点D的坐标； (2)设点P的横坐标为，，求以点为顶点的四边形的面积S与a的函数关系式； (3)设直线交射线于点F，交抛物线于点Q，以为一边在的右边作矩形，若，且矩形与重叠部分为轴对称图形，求出a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）联立两个函数解析式解方程组即可； （2）先求解直线的解析式为，可得点，再分两种情况讨论即可； （3）分情况讨论：①如图，当，且时，矩形与重叠部分为轴对称图形，②如图，当为矩形的对称轴时，矩形与重叠部分为轴对称图形，③如图，当与重合时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，是轴对称图形， ④如图，当点F为直线与的交点时，可得当时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，是轴对称图形，从而可得答案． 【详解】（1）解：联立和得 或， ∴点． （2）设直线的解析式为， 点， ，解得， 直线的解析式为． 点P的横坐标为轴，且交射线于点E， 点． 当时，如图， ． 当时，如图， ． 综上，； （3）①如图，当，且时，矩形与重叠部分为轴对称图形， ∵， ， 解得，其中不满足， ． ②如图，当为矩形的对称轴时，矩形与重叠部分为轴对称图形， 此时，， ，解得． ③如图，当与重合时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，是轴对称图形，此时． ④如图，当点F为直线与的交点时， 点， ∴所在的直线方程为， 联立和，解得． 当时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，是轴对称图形， 综上，a的取值范围是或或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$