1.1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定　课件　2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 第2课时 菱形的判定 情 境 导 入 同学们：我们一起回忆一下，菱形的定义和性质？ 回忆菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 边：四条边相等，对边平行. 角：对角相等. 对角线：对角线互相垂直平分. 性质 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 探究菱形的判定 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的定义判定： 除此之外，还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流. 新 课 探 究 第2课时 菱形的判定 满足？条件 探究菱形的判定条件 菱形 平行四边形 对角线、 边、 角 平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？ 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 通过探究，容易得到：对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形. 活动1: 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字架，四周围上橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，木条端点围成的四边形是平行四边形吗？什么时候变成菱形？ 平行四边形 菱形 探究菱形的判定条件 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 探究菱形的判定条件 A B C O D 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD 相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 证一证 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ★定理运用格式： ∵四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. (对角线互相垂直的平行四边形是菱形) 探究菱形的判定条件 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 活动2：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？ C A B D 思考：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？ 2.怎么验证四边形ABCD是菱形？ 新课讲解 小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D,四边形ABCD看上去是菱形. 探究菱形的判定条件 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 探究菱形的判定条件 证一证 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. A B C D 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 ★定理运用格式： 探究菱形的判定条件 定理：四边相等的四边形是菱形. ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 (四边相等的四边形为菱形). 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 对角线互相垂直且平分 探究菱形的判定条件 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 巩固练习 1.如图，要使 成为菱形，下列添加条件正确的是( @2@ ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 巩固练习 2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （　） A B C O D C A. AC⊥BD , AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC, AD=CD, AC ⊥BD D. AB=CD, AD=BC, AC ⊥BD 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 巩固练习 3.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F,求证：四边形AFCE是菱形． 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE∥FC. ∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC, ∴AO = OC . ∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC, ∴ 四边形AFCE是菱形. A B C D E F O 1 2 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 拓展延伸 4.如图，在四边形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD > CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 C′ 处，折痕 DE 交 BC 于点 E，连接 C′E. 你能确定四边形 CDC′E 的形状吗？证明你的结论. 四边形 CDC′E 是菱形. 证明：连接 CC′ ，交 DE 于点 O. 由题意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E. 又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′， ∴△COE≌△C′OD，即 EC=C′D. 又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E， ∴四边形 CDC′E 是菱形. 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 拓展延伸 5.如图，在四边形<m></m>中， <m></m> ，</m>是<m></m>的中点，<m></m> ， <m></m>，<m></m>，<m>，点<m></m>是<m></m>边上一动点，设<m></m>的长为xx</. 当的值为________时，以点 ， ， ，为顶点的四边形为平行四边形. 1或11 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 课 堂 小 结 1、这节课你都学会了什么？ 2、将你的所学形成网络框架. 第2课时 菱形的判定 有一组邻边相等 对角线互相垂直 四边相等 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD且∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是菱形.   证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠1＝∠2，∴AD＝AB. ∴四边形ABCD是菱形. 课后练习 2.(北师9上P6、人教8下P57)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证：▱ABCD是菱形.   证明：在△AOB中，∵AB＝5，OA＝4，OB＝3， ∴AB2＝AO2＋OB2. ∴△AOB是直角三角形，且∠AOB是直角. ∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形. 3.如图，两个等边三角形拼在一起.求证：四边形ABCD是菱形.   证明：∵△ABC和△ADC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，AC＝AD＝CD. ∴AB＝BC＝AD＝CD. ∴四边形ABCD是菱形. 4.(人教8下P60)如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且AB＝BC，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形.   证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD， 又∵AB＝BC，∴AD＝BC， ∵AE∥BF，即AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形. 小结：若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等. 5.(郴州中考)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形.  证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠ACB. ∵AE＝CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS). ∴DE＝BE＝BF＝DF. ∴四边形DEBF是菱形. 6.【例2】(北师9上P7)(2024鞍山)如图，在▱ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO， ∵EF垂直平分BD，∴DO＝BO， 在△DEO和△BFO中， ， ∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE＝OF， 又OD＝OB，∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形. 小结：若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形. 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，求证：四边形ABEC是菱形.   证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∵AD＝DE，∴四边形ABEC是平行四边形. ∵AE⊥BC，∴四边形ABEC是菱形. ★8. 0.50 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BE＝EC，AD＝5，BC＝12，CD＝4，∠C＝45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x. (1)当x的值为　 　时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形；  (2)点P在BC边上运动的过程中，以点P，A，D，E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由. 　1或11 　 解：(2)点P在BC边上运动的过程中，以点P，A，D，E为顶点的四边形能构成菱形，理由如下： ①当点P在点E的右边时，如图， 过点D作DM⊥BC于点M， ∵∠C＝45°，∴DM＝CM＝4， 由(1)得点P在EC间运动过程中，当x＝11时，四边形AEPD为平行四边形，此时EP＝AD＝5，∵BC＝12，BE＝EC， ∴EC＝6，∴PC＝1，则MP＝3， ∴DP＝5，则DP＝EP，∴▱AEPD是菱形. 答案图 ②当点P在点E的左边时，易求得DE＝2 ， ∵AD＝5，∴AD≠DE， 即此时以点P，A，D，E为顶点的四边形APED不是菱形. 综上，当x为11时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是菱形. 小结：化“动”为静，注意分类讨论：点P在点E的左边或右边. THANK YOU $$