第一章 集合与常用逻辑用语-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（人教B版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第一章　集合与常用逻辑用语 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x>2},则A∪B=(　　) A.(-1,3)　　　　B.(2,3) C.(-1,+∞)　　　　D.(2,+∞) 2.下列四个命题中为真命题的是(　　) A.∃x∈Z,1<4x<3　　　　 B.∃x∈Z,5x+1=0 C.∀x∈R,x2-1≠0　　　　 D.∀x∈R,x2+x+2>0 3.已知实数x,y,则“x>y”是“(x-y)(x+y)2>0”的(　　) A.必要不充分条件　　　　 B.充分不必要条件 C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件 4.已知集合M={1,2,a,a2-3a-1},N={-1,3},若3∈M且N⊈M,则实数a的值为(　　) A.-1　　　　B.4　　　　 C.-1或-4　　　　D.-4或1 5.如图,U为全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分所表示的集合是(　　) A.(M∩P)∩S　　　　B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩(∁US)　　　　D.(M∩P)∪(∁US) 6.已知集合A={x|0≤x≤a},B={x|m2+3≤x≤m2+4},若命题“∃m∈R,A∩B≠⌀”为假命题,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a<3}　　　　B.{a|a<4} C.{a|0<a<3}　　　　D.{a|0<a<4} 7.为了丰富学生的课余生活,某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团,高一某班共有30名学生参加了学校社团,其中有15人参加篮球社团,有8人参加AI社团,有14人参加围棋社团,同时参加篮球社团和AI社团的有3人,同时参加篮球社团和围棋社团的有3人,没有人同时参加三个社团,则只参加围棋社团的人数为(　　) A.10　　　　B.9　　　　C.7　　　　D.4 8.对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A=,B={x|x<0,x∈R},则A⊕B=(　　) A.　　　　B. C.∪[0,+∞)　　　　D.∪(0,+∞) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列说法正确的有(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“∀x<1,x2<1”的否定是“存在x<1,使x2≥1” C.若x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件 D.已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx-1=0},全集U=R,若A∪(∁UB)=R,则实数m的取值集合为 10.已知集合M={-1,1},N={x|-2≤x<1},则下列说法正确的是(　　) A.M∩N有2个子集 B.M∪N中任意两个元素之差的最小值为-3 C.M∩(∁RN)=⌀ D.(∁RM)∩(∁RN)={x|x<-2或x>1} 11.已知全集U={0,1,2,3,4,5},A是U的非空子集,当x∈A时,若x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,则下列说法正确的是(　　) A.若A中元素均为孤立元素,则A中最多有3个元素 B.若A中不含孤立元素,则A中最少有2个元素 C.若A中元素均为孤立元素,且仅有2个元素,则这样的集合A共有9个 D.若A中不含孤立元素,且仅有4个元素,则这样的集合A共有6个 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知集合A={(x,y)|x,y∈N},B={(x,y)|x+y=4},则A∩B中元素的个数为　　　　.  13.设p:-m≤x≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　　　,若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　　.  14.若∀x∈{x|1≤x≤2},∃t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是　　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知全集为R,集合A={x|x2<4},B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}. (1)若m=-2,求集合A∪(∁RB); (2)请在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;②若x∈A,则x∉B;③A⊆∁RB这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答. 若　　　,求实数m的取值范围.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)已知集合A={x|-5≤x≤-3},B={x|3m-2<x<2m+2}. (1)若命题p:“∀x∈B,都有x∈A”为真命题,求实数m的取值范围; (2)若A∩B≠⌀,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知全集U={x|0<x<5,且x∈N},集合A={1,2,m2},B={x|x2-5x+4=0}. (1)求∁UB; (2)若a2+1∈∁UB且a∈U,求实数a的值; (3)设集合C=A∩(∁UB),若C的真子集有3个,求实数m的值. 18.(17分)已知全集U=R,集合A={x∈R|x2-3x+b=0},B={x∈R|(x-2)(x2+3x-4)=0}. (1)若b=4时,存在集合M使得A⫋M⫋B,求出所有满足条件的集合M; (2)集合A,B能否满足(∁UB)∩A=⌀?若能,求实数b的取值范围;若不能,请说明理由. 19.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}. (1)判断8,9,10是否属于A,并证明; (2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:x∈A的一个充分不必要条件是x∈B; (3)写出集合A中的所有偶数. 答案与解析 1.C　在数轴上表示出集合A和B,如图所示: 由图可知,A∪B=(-1,+∞). 2.D　对于A,由1<4x<3得<x<,则x一定不是整数,A错误; 对于B,由5x+1=0得x=-,则x不是整数,B错误; 对于C,当x=1或x=-1时,x2-1=0,C错误; 对于D,x2+x+2=+>0恒成立,D正确. 3.A　由(x-y)(x+y)2>0可得x-y>0且x+y≠0,即x>y且x≠-y,故“x>y”是“(x-y)(x+y)2>0”的必要不充分条件. 4.B　因为3∈M,所以a=3或a2-3a-1=3. 若a=3,则a2-3a-1=-1,则M={1,2,3,-1},不满足N⊈M. 若a2-3a-1=3,则a=4或a=-1, 当a=4时,M={1,2,4,3},满足N⊈M, 当a=-1时,M={1,2,-1,3},不满足N⊈M. 综上,a的值为4. 5.C　在阴影部分所表示的集合中任取一个元素x,则x∈M,x∈P,x∉S,所以阴影部分所表示的集合为(M∩P)∩(∁US). 6.A　因为命题“∃m∈R,A∩B≠⌀”为假命题, 所以命题“∀m∈R,A∩B=⌀”为真命题. 当A=⌀时,a<0,此时A∩B=⌀成立; 当A≠⌀时,a≥0,因为∀m∈R,A∩B=⌀,所以a<m2+3对任意m∈R恒成立,故a<(m2+3)min,易知m2+3≥3,所以a<3,又a≥0,所以0≤a<3. 综上,实数a的取值范围为{a|a<3}. 7.A　设同时参加AI社团和围棋社团的有x人,由题意得,只参加篮球社团的有15-3-3=9人,只参加AI社团的有8-3-x=(5-x)人,只参加围棋社团的有14-3-x=(11-x)人. 因为该班共有30名学生参加了学校社团,所以9+3+3+(5-x)+x+(11-x)=30,解得x=1,故只参加围棋社团的人数为10. 8.C　由题意得A-B={x|x≥0},B-A=, 所以A⊕B={x|x≥0}∪=∪[0,+∞). 9.AB　因为a>1⇔0<<1,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A正确; 命题“∀x<1,x2<1”的否定为“存在x<1,使x2≥1”,故B正确; 当x≥2,y≥2时,x2+y2≥8>4,当x=1,y=3时,x2+y2=1+9=10>4,但不满足x≥2且y≥2,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故C错误; A={x|x2+x-6=0}={-3,2},要使A∪(∁UB)=R,则(∁UA)⊆(∁UB),进一步可得B⊆A,因此B=⌀或B={-3}或B={2},当B=⌀时,显然满足,此时m=0;当B={-3}时,-3m-1=0,则m=-,符合题意;当B={2}时,2m-1=0,则m=,符合题意.综上,实数m的取值集合为,故D错误. 10.ABD　对于A,M∩N={-1},所以M∩N有2个子集,故A正确; 对于B,M∪N={x|-2≤x≤1},则M∪N中任意两个元素之差的最小值为-2-1=-3,故B正确; 对于C,∁RN={x|x<-2或x≥1},所以M∩(∁RN)={1},故C错误; 对于D,∁RM={x|x≠-1且x≠1},所以(∁RM)∩(∁RN)={x|x<-2或x>1},故D正确. 11.ABD　对于A,集合{0,1},{2,3},{4,5}的并集为U,且集合{0,1},{2,3},{4,5}中任意两个集合的交集都为空集,若A中的元素个数大于3,则必有两个元素来自集合{0,1},{2,3},{4,5}中的一个,此时,集合A中存在不是孤立元素的元素,故若A中元素均为孤立元素,则A中的元素个数小于或等于3,又A={0,2,4}时,A中元素均为孤立元素,所以若A中元素均为孤立元素,则A中最多有3个元素,故A正确; 对于B,若A中只有1个元素,则必为孤立元素,又集合A={0,1}时,A中不含孤立元素,故B正确; 对于C,满足题意的集合A有{0,2},{0,3},{0,4},{0,5},{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,5},共10个,故C错误; 对于D,满足题意的集合A有{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个,故D正确. 12.答案　5 解析　由题意得A∩B={(x,y)|x,y∈N,且x+y=4}={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)},所以A∩B中元素的个数为5. 13.答案　1;4 解析　设A=[-m,m](m>0),B=[-1,4]. 若p是q的充分条件,则A⊆B, 所以解得0<m≤1,所以m的最大值为1. 若p是q的必要条件,则B⊆A, 所以解得m≥4,所以m的最小值为4. 14.答案　{m|m<2} 解析　由∀x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m,则∃t∈{t|1≤t≤2},使得t+m<3成立,故t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}. 15.解析　(1)A={x|x2<4}=(-2,2),(2分) 当m=-2时,B={x|(x+1)(x-5)>0}=(-∞,-1)∪(5,+∞),(4分) ∴∁RB=[-1,5], ∴A∪(∁RB)=(-2,5].(6分) (2)A=(-2,2),B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}=(-∞,m+1)∪(m+7,+∞).(8分) 若选①,则A⫋B,所以m+1≥2或m+7≤-2,(11分) 解得m≥1或m≤-9,所以实数m的取值范围为(-∞,-9]∪[1,+∞).(13分) 若选②,则A∩B=⌀, 所以m+1≤-2且m+7≥2,(11分) 解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分) 若选③,易得∁RB=[m+1,m+7], 则m+1≤-2且m+7≥2,(11分) 解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分) 16.解析　(1)由题意得B⊆A,(3分) ①当B=⌀时,3m-2≥2m+2,解得m≥4,满足B⊆A;(6分) ②当B≠⌀时,需满足无解, 所以实数m的取值范围为{m|m≥4}.(9分) (2)因为A∩B≠⌀, 所以或或(12分) 解得-<m<-, 所以实数m的取值范围为.(15分) 17.解析　(1)U={x|0<x<5,且x∈N}={1,2,3,4},B={x|x2-5x+4=0}={1,4},(2分) 因此∁UB={2,3}.(4分) (2)若a2+1∈∁UB,则a2+1=2或a2+1=3,(6分) 解得a=±1或a=±,(8分) 又a∈U,∴a=1.(10分) (3)∵A={1,2,m2},∁UB={2,3}, ∴当m2≠3时,C=A∩(∁UB)={2},此时集合C只有1个真子集,不符合题意,(12分) 当m2=3,即m=±时,C=A∩(∁UB)={2,3},此时集合C有3个真子集,符合题意.(14分) 综上,m=±.(15分) 18.解析　(1)当b=4时,A={x∈R|x2-3x+4=0}=⌀,(2分) 易得B={-4,1,2},(4分) 若A⫋M⫋B,则M是B的一个非空真子集,(5分) ∴满足条件的集合M为{-4},{1},{2},{-4,1},{-4,2},{1,2}.(7分) (2)由(∁UB)∩A=⌀得A⊆B.(9分) 当A=⌀时,Δ=9-4b<0,解得b>,满足A⊆B.(11分) 当A≠⌀时,由(1)知B={-4,1,2}, 若-4∈A,则b=-28,此时A={-4,7},不满足A⊆B; 若1∈A,则b=2,此时A={1,2},满足A⊆B; 若2∈A,则b=2,此时A={1,2},满足A⊆B.(15分) 综上,集合A,B能满足(∁UB)∩A=⌀,满足条件的实数b的取值范围是.(17分) 19.解析　(1)8∈A,9∈A,10∉A.(1分) 证明:∵8=32-1,9=52-42,∴8∈A,9∈A.(3分) 假设10=m2-n2,m,n∈Z, 则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0, ∵10=1×10=2×5,∴或显然均无整数解,∴10∉A.(5分) (2)证明:∵2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z, ∴2k+1∈A,k∈Z,∴B⊆A,(8分) 又∵8∈A但8∉B,∴B⫋A, ∴x∈A的一个充分不必要条件是x∈B.(10分) (3)集合A={x|x=m2-n2=(m+n)(m-n),m,n∈Z},(11分) ①当m、n同奇或同偶时,m+n、m-n均为偶数,则(m+n)(m-n)为4的倍数;(13分) ②当m、n一奇一偶时,m+n、m-n均为奇数,则(m+n)(m-n)为奇数.(15分) 综上,集合A中的偶数为4k(k∈Z).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$