第五章 三角函数-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（人教A版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第五章　三角函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若角α终边上有一点P(2,y),且sin α=-,则y=(　　) A.1　　B.-1　　C.±1　　D.2 2.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A.4　　B.2　　C.　　D. 3.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位长度,所得函数图象关于直线x=对称,则φ=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.函数f(x)=·sin πx在区间[-3,3]上的图象大致为(　　) 　　 　　 5.已知sin α-sin=,则cos=(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 6.已知f(x)=sin ωx+cos ωx,ω>0.若存在x1,x2∈,且x1<x2,使得f(x1)-f(x2)=-2,则实数ω的取值范围是(　　) A.　　B. C.　　D. 7.在锐角三角形ABC中,sin A=3cos Bcos C,则tan Atan Btan C的最小值是(　　) A.　　B.3　　C.　　D.12 8.已知函数f(x)=4coscos-1(ω>0)在区间上单调递增,且在区间[0,π]上只取得一次最大值,则ω的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列结论正确的是(　　) A.-是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为 C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=- D.若β为锐角,则2β为钝角 10.设α∈(0,π),已知sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根,则下列等式正确的是(　　) A.m=-　　B.sin α-cos α= C.tan α=　　D.cos2α-sin2α=- 11.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0,π))的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.ω= B.φ= C.若f(x)在(0,m)上恰好有三个零点,则<m≤ D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.方程lg(sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为　　　　　　　.  13.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题,如图所示,弧田是由弧AB和弦AB所围成的阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为,扇形的弧长为2π,则此弧田的面积为　　　　.  14.已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知　　　　.请从下列两个条件中任选一个作答.  条件①:角α的终边与单位圆的交点为M; 条件②:角α满足3sin2α-2cos2α+1=0. (1)求tan α的值; (2)求sin αcos α-sin2α的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数f(x)在上的最值; (3)若f=,求sin的值. 17.(15分)如图所示,在等腰直角△OAB中,∠AOB=,OA=,M为线段AB的中点,点P,Q分别在线段AM,BM上运动,且∠POQ=,设∠AOP=θ. (1)设PM=f(θ),求θ的取值范围及f(θ); (2)求△OPQ面积的最小值. 18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象. ①当x∈时,求函数g(x)的值域; ②若方程g(x)-m=0在上有三个不相等的实数根x1,x2,x3(x1<x2<x3),求tan(x1+2x2+x3)的值. 19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y+1), f(3)=2,当x>3时, f(x)>2. (1)求f+f+f+…+ f的值; (2)证明: f(x)在R上单调递增; (3)设θ为锐角,求f(12+4cos 4θ)-f的最大值. 答案全解全析 1.B　根据题意可知=-,所以y=-1. 2.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为×2×=1,可得α=2. 3.D　将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度可得函数y=sin的图象, 由已知得函数y=sin的图象关于直线x=对称, 所以2×++φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z, 又0<φ<π,所以φ=. 4.B　因为f(x)的定义域为[-3,3],关于原点对称,且f(-x)=·sin(-πx)=-·sin πx=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A和C; 当2<x<3时,>0,sin πx>0,所以f(x)=·sin πx>0,排除D. 5.A　由题意得sin α-=, 得sin α-cos α=,即sin=, 故cos=-cos=-cos=2sin2-1=2×-1=-. 6.B　f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,∴f(x)max=, f(x)min=-,若存在x1,x2∈,且x1<x2,使得f(x1)-f(x2)=-2,则f(x1)=-, f(x2)=. 当0<x<,ω>0时,<ωx+<+,∴+>,解得ω>. 7.A　∵sin A=sin(B+C)=3cos Bcos C,∴sin Bcos C+cos Bsin C=3cos B·cos C,∴tan B+tan C=3,∴tan Btan C≤=,当且仅当tan B=tan C,即B=C时,等号成立. 易知tan Atan Btan C=-tan(B+C)tan Btan C=·tan Btan C==3+, ∵tan Btan C≤,∴tan Atan Btan C≥. 8.C　f(x)=4cos·cos-1=4sincos+sin-1=2sincos+2sin2-1=sin ωx-cos ωx=2sin. 由x∈,ω>0,得ωx-∈. 因为f(x)在区间上单调递增, 所以-ω-≥-且ω-≤,所以0<ω≤. 当x∈[0,π],ω>0时,ωx-∈. 要使函数f(x)在[0,π]上只取得一次最大值, 则≤ωπ-<,解得≤ω<. 综上,ω的取值范围为. 9.BC　对于A,因为-=-2π且为第二象限角, 所以-是第二象限角,A错误; 对于B,若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的半径r==3, 因此该扇形的面积S=πr=π×3=,B正确; 对于C,若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α==-,C正确; 对于D,若β为锐角,不妨取β=,则2β=,为直角,D错误. 10.BD　对于A,由题意得sin α,cos α是方程3x2-x-m=0的两根, 则 由sin α+cos α=得(sin α+cos α)2=,即sin2α+cos2α+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-,则-=-,解得m=,故A错误; 对于B,(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2×=, 因为α∈(0,π),所以sin α>0,又sin αcos α=-<0,所以cos α<0, 则sin α-cos α>0,因此sin α-cos α==,故B正确; 对于C,由解得 则tan α==-,故C错误; 对于D,cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-,故D正确. 11.ACD　A选项,设f(x)的最小正周期为T,由题图可知,T=2×(4-1)=6,即ω==,A正确; B选项,由题图可知A=2,故f(x)=2sin, 将(1,2)代入解析式得2sin=2,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,则φ=+2kπ,k∈Z, 又φ∈(0,π),所以φ=,B错误; C选项,由以上分析知f(x)=2sin, 当x∈(0,m)时,x+∈, 因为f(x)在(0,m)上恰好有三个零点,所以m+∈(3π,4π],解得<m≤,C正确; D选项,由A知f(x)的最小正周期为6, 易知f(1)=2, f(2)=2sin =1, f(3)=2sin=-1, f(4)=-2, f(5)=2sin=-1, f(6)=2sin=1, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)=0+2+1-1=2,D正确. 12.答案　 解析　由lg(sin x)=lg(cos x),得sin x=cos x,即tan x=, 所以x=kπ+,k∈Z.① 易知sin x>0,cos x>0,所以2kπ<x<2kπ+,k∈Z.② 由①②得x=2kπ+,k∈Z,故方程的解构成的集合为xx=2kπ+,k∈Z. 13.答案　3π- 解析　设扇形的半径为r,则扇形的弧长为×r=2π,解得r=3,扇形面积为×2π×3=3π,取AB的中点E,连接OE,如图所示: 因为OA=OB=3,所以OE⊥AB, 又因为∠AOB=,所以∠OAE=, 所以OE=OA=,AE=OAcos =3×=,则AB=2AE=3, 所以S△AOB=AB·OE=×3×=, 因此弧田的面积S=3π-. 14.答案　∪ 解析　令ωx+=kπ,k∈Z,得x=-+,k∈Z, 由题意可知,×≥2π-π,且ω>0,即0<ω≤1, 若x=-+∈(π,2π),k∈Z,则ω+<k<2ω+,k∈Z, 因为函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,所以区间内不存在整数, 所以⊆(0,1)或⊆(1,2), 即或 解得0<ω≤或≤ω≤, 所以ω的取值范围是∪. 15.解析　(1)选条件①:由角α的终边与单位圆的交点为M, 可得x2+=1,则x=±,(3分) 由三角函数的定义可得tan α=±.(6分) 选条件②:由3sin2α-2cos2α+1=0, 得3sin2α-2cos2α+sin2α+cos2α=0,可得4sin2α=cos2α,(3分) ∴tan2α=,即tan α=±.(6分) (2)无论选择①还是②均可得到tan α=±, sin αcos α-sin2α==,(9分) 当tan α=时,==;(11分) 当tan α=-时,==-.(13分) 16.解析　(1)f(x)=sin xcos x-cos2x+=×2sin xcos x-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin,(2分) 所以f(x)的最小正周期T==π,(3分) 令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(5分) (2)易知函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z, 所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,(7分) 又f=-1, f=sin =, f=sin=-, 所以f(x)在上的最小值为-1,最大值为.(10分) (3)由f(x)=sin可得f=sin=,(12分) 所以sin=sin=-cos =-=-=-.(15分) 17.解析　(1)因为△OAB为等腰直角三角形,OA=,M为线段AB的中点,所以OM=1,∠AOM=,OM⊥AB.(3分) 因为点P在线段AM上运动,所以θ∈.(4分) 因为∠AOP=θ,所以∠POM=-θ,(5分) 所以PM=OM·tan∠POM=tan,即f(θ)=tan,θ∈.(7分) (2)因为∠POQ=,所以∠QOM=θ, 所以QM=OM·tan∠QOM=tan θ,(10分) 所以PQ=PM+QM=tan+tan θ,(12分) 易得tan θ∈[0,1], 所以S△OPQ=PQ·OM== =≥×(2-2)=-1, 当且仅当tan θ=-1时,等号成立, 所以△OPQ面积的最小值为-1.(15分) 18.解析　(1)由题图得则 设f(x)的最小正周期为T,由题图得=-=,所以T=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ)+1,(3分) 因为f(x)的图象过点,所以=sin+1, 即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z, 又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin+1.(5分) (2)①由已知得g(x)=sin+1,(7分) 当x∈时,x+∈, 所以sin∈,所以sin+1∈, 所以函数g(x)的值域为.(9分) ②当x∈时,x+∈,令t=x+,则t∈, 令h(t)=sin t+1,易得h=sin +1=,h=sin +1=,h=sin +1=,画出函数h(t)的图象,如图所示, 由已知得h(t)-m=0有三个不同的实数根,分别设为t1,t2,t3(t1<t2<t3),由图可得t1+t2=2×=π,t2+t3=2×=3π,所以t1+2t2+t3=4π, 即+2+=4π,所以x1+2x2+x3=,(15分) 所以tan(x1+2x2+x3)=tan =tan=.(17分) 19.解析　(1)由已知得f(1)+f(1)=f(3)=2,则f(1)=1, 所以f(x)+f(-x)=f(x-x+1)=f(1)=1,(2分) ∀i∈Z,cos +cos =0, 故f+f=1, 所以f+f+f+…+f=1 012×=1 012.(4分) (2)证明:由已知得f(x+y+1)-f(y)=f(x), 任取x1,x2∈R,且x2>x1,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1-1),(6分) 结合f(3)=2可知f(x2-x1-1)=f(x2-x1-1)+f(3)-f(3)=f(x2-x1+3)-2, 因为x2>x1,所以x2-x1+3>3,所以f(x2-x1+3)>2,即f(x2-x1+3)-2>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在R上单调递增.(8分) (3)设u(θ)=f(12+4cos 4θ)-2f,由f(x)+f(y)=f(x+y+1)得2f=f, 所以u(θ)=f(12+4cos 4θ)-f =f,(11分) 设h(θ)=4cos 4θ--+9, 则h(θ)=4cos 4θ--+9=4cos 4θ-+9 =4cos 4θ-+9=4cos 4θ-+10 =4(1-2sin22θ)-+10=14-2, 因为θ为锐角,所以θ∈,所以2θ∈(0,π),所以sin 2θ∈(0,1]. 由基本不等式可得4sin22θ+≥2=4, 当且仅当sin 2θ=,即θ=或θ=时取“=”, 所以h(θ)≤14-2×4=6.(14分) 由于f(x)单调递增,所以u(θ)=f(h(θ))≤f(6),故u(θ)的最大值为f(6), 由已知得f(5)=f(1+3+1)=f(1)+f(3)=1+2=3, 所以f(2)+f(2)=f(2+2+1)=f(5)=3,则f(2)=, 所以f(6)=f(2+3+1)=f(2)+f(3)=+2=, 所以u(θ)的最大值为, 所以f(12+4cos 4θ)-f的最大值为.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$