第三章 函数的概念与性质-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（人教A版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第三章　函数的概念与性质 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=+的定义域为(　　) A.(0,1]　　B.[0,1]　　 C.(0,+∞)　　D.[1,+∞) 2.已知f(x)=是奇函数,则实数a的值为(　　) A.-3或-1　　B.-1　　C.-2　　D.-3 3.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(　　) A. f(x)是奇函数,其单调递减区间是(-∞,-1) B. f(x)是奇函数,其单调递减区间是(-1,1) C. f(x)是偶函数,其单调递增区间是(1,+∞) D. f(x)是偶函数,其单调递增区间是(-∞,-1) 4.已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 5.已知函数f(x)的定义域为R, f(x)+f(y)-2xy=f(x+y),且当x≠0时, f(x)=x3f,则f(4)的值是(　　) A.-20　　B.-16　　C.-12　　D.-10 6.已知函数f(x)=(x-1)3+a与g(x)=(b≠0)的图象依次交于A,B,C三点,且恒有AB=BC,则=(　　) A.2　　B.1　　C.-1　　D.-2 7.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时, f(x)>0,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1]　　B.[-2,1]　　 C.[-1,2]　　D.[-1,+∞) 8.已知定义在{x|x≠0,1}上的函数f(x)满足xf(x)>f=(a,b)(其中1<a<b).记f(x)的最小值为M,最大值为N,若S={x|f(x)=M},T={x|f(x)=N}.设|A|表示集合A中元素的个数,则下列命题正确的是(　　) A.若|S|=1,则S⊆(a,b)　　B.若|T|=1,则T⊆(a,b) C.若|S|≠1,则S⊆(a,b)　　D.若|T|≠1,则T⊆(a,b) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.函数y=f(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A. f(0)=2 B. f(x)的定义域为[-2,2] C. f(x)的值域为[-3,2] D.若f(x)=0,则x=或x=2 10.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是(　　) A.函数y=x2+1是闭函数 B.函数y=-x3是闭函数 C.函数y=是闭函数 D.若函数y=k+是闭函数,则k∈ 11.已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),当0≤x≤1时, f(x)=x,则(　　) A. f(x)的一个周期为2 B. f>f C. f(x)>的解集为(k∈Z) D. f(2k)=0(k∈Z) 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.用max{a,b}表示a,b中的最大者.设f(x)=max{x+2,x2-3x+5},则函数f(x)的最小值是　　　　.  13.设函数y=f(x),x∈R满足f(0)=3,=3,=3,……,=3,n∈N*,写出函数f(x)的解析式:　　　　.  14.设函数f(x)=若a=2,则f(x)的单调递增区间是　　　　,若f(x)的值域为R,则a的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=且f(2)=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求f(f(1))的值; (3)若f(m)=m,求实数m的值. 16.(15分)已知函数f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+m-1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值范围; (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立,求m的取值范围. 17.(15分)某地某路公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路公交车的载客量p(t)(单位:人)与发车时间间隔t满足:p(t)=其中t∈N. (1)求p(6),并说明p(6)的实际意义; (2)若该路公交车每分钟的净收益y(单位:元)满足y=-10,则当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟的净收益最大?并求每分钟的最大净收益. 18.(17分)已知函数f(x)的定义域为[-1,1],对定义域内任意的非零实数x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当x∈(-1,0)时, f(x)>0. (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性; (2)证明:函数f(x)在区间(0,1)上单调递减; (3)已知f=3,g(x)的图象关于点对称,且当x∈时,g(x)=2x2-mx+m.若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈,使得g(x1)=f(x2),求实数m的取值范围. 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),称|x1+x2|+|y1+y2|为A,B两点的绝对和,记为|AB|+. (1)若P(-1,1),Q(3,-2),求|PQ|+; (2)已知点M(1,0),点N在直线y=x+2上,证明:|MN|+≥1; (3)已知点K(0,k),k∈R,动点T在函数y=x2,x∈[-1,1]的图象上,记|KT|+的最大值为f(k),求函数y=f(k)的最小值. 答案全解全析 1.A　对于函数f(x)=+,令解得0<x≤1, 所以函数f(x)=+的定义域为(0,1]. 2.D　易知f(x)的定义域为R,由奇函数的定义可知, f(-x)=-f(x),则=-, 整理得2(a+3)x2=0恒成立,所以2(a+3)=0,解得a=-3. 3.B　f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x|-x|+2x=-(x|x|-2x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数, f(x)=x|x|-2x= 画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知, f(x)在(-1,1)上单调递减. 4.C　由函数f(x)在R上单调递增,得解得<a≤,故a的取值范围是. 5.A　在f(x)=x3f中,令x=-1,则f(-1)=-f(-1),则f(-1)=0, 在f(x)+f(y)-2xy=f(x+y)中,令x=y=0,则f(0)=0, 令x=1,y=-1,则f(1)+f(-1)+2=f(0)=0,即f(1)+f(-1)=-2,故f(1)=-2, 令x=y=1,则f(2)=2f(1)-2=-6,令x=y=2,则f(4)=2f(2)-8=-20. 6.B　函数f(x)的图象可由函数y=x3的图象平移得到, 则f(x)=(x-1)3+a的图象关于点(1,a)对称, 因为g(x)+g(2-x)=+==2b, 所以g(x)的图象关于点(1,b)对称, 要使AB=BC恒成立,则点B为f(x)图象的对称中心,也为g(x)图象的对称中心,所以a=b,即=1.验证可知a=b符合题意. 7.B　当x>2时, f(x)>0⇒x|x-a|>2a2,即当x>2时,|x-a|>,当a=0时,恒成立,当a≠0时,y=|x-a|与y=的图象如图, 则有解得-2≤a≤1,且a≠0.综上,-2≤a≤1. 8.B　对于A,若|S|=1,不妨设S={x|f(x)=M}中仅有1个元素t,即f(x)的最小值为f(t)=M,若S⊆(a,b),则a<t<b, 根据xf(x)>f=(a,b)(1<a<b),得f(t)>f,与f(t)为最小值矛盾,故A错误; 对于B,若|T|=1,不妨设T={x|f(x)=N}中仅有1个元素t1, 即f(x)的最大值为f(t1)=N,若T⊆(a,b),则a<t1<b, 根据xf(x)>f=(a,b)(1<a<b),得f(t1)>f, 若t1=,则-t1+1=0,无解,故t1≠, 因为f(t1)为最大值,所以不等式f(t1)>f必成立,故B正确; 对于C,若|S|≠1,则|S|≥2,由A可得C错误; 对于D,若|T|≠1,则|T|≥2,不妨设f(x)=N有两根x1,x2,且x1<x2,若T⊆(a,b),则a<x1<x2<b,则若存在x0∈(x1,x2),使得f(x0)=M,则由A可得x0∉(a,b),矛盾,故D错误. 9.CD　由题图知f(0)=-2,故A错误; 函数的定义域为[-3,2],故B错误; 函数的值域为[-3,2],故C正确; 当0≤x≤1时,由f(0)=-2和f(1)=2易知f(x)=4x-2,令4x-2=0,得x=,因此若f(x)=0,则x=或x=2,故D正确. 10.BD　因为y=x2+1在定义域R上不是单调函数,所以函数y=x2+1不是闭函数,A错误. y=-x3在定义域R上是减函数,若y=-x3是闭函数,则存在区间[a,b],使得函数的值域为[a,b],即解得因此存在区间[-1,1],使y=-x3在[-1,1]上的值域为[-1,1],B正确. y==1-在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增,函数在定义域上不单调,从而该函数不是闭函数,C错误. 易知y=k+在定义域[-2,+∞)上单调递增,若y=k+是闭函数,则存在区间[a,b]⊆[-2,+∞),使函数的值域为[a,b],即所以a,b为方程x=k+的两个实数根,即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0(x≥-2,x≥k)有两个不等的实数根. 设g(x)=x2-(2k+1)x+k2-2, 当k≤-2时,有解得k>-,又k≤-2,所以-<k≤-2; 当k>-2时,有解得-<k≤-2,与k>-2矛盾. 综上所述,k∈,D正确. 11.ABD　对于A,因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(-x)=f(x), 由f(1-x)=f(1+x)可知f(x)图象的对称轴为直线x=1,且f(-x)=f(x+2),即f(x+2)=f(x),则f(x)的一个周期为2,故A正确; 对于B,由A可得f=f=,f=f=f=, 因为>,所以f>f,故B正确; 对于C,根据题意,可以作出函数f(x)的图象和直线y=,如图: 当0≤x≤1时, f(x)=x,则由f(x)=可得x=, 根据对称性知当1<x≤2时, f(x)=的解为x=, 当0≤x≤2时,由图可得f(x)>的解集为, 又f(x)的一个周期为2,所以f(x)>的解集为,k∈Z,故C错误; 对于D,由图知对于任意k∈Z,必有f(2k)=0,故D正确. 12.答案　3 解析　在同一直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2-3x+5的图象,则f(x)的图象如图中实线部分所示, 由图象可得, f(x)min=f(1)=3. 13.答案　f(x)=32x+1 解析　由f(0)=3,=3,=3,……,=3, 相乘得f(0)×××…×=f=3n+1,令=x,则n=2x,所以f(x)=32x+1. 14.答案　(1,2);(0,2] 解析　当a=2时, f(x)= 故f(x)在(-∞,1]上单调递减,在(1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故f(x)的单调递增区间是(1,2).易知y=-x+a在(-∞,1]上的值域为[a-1,+∞), 若f(x)的值域为R,则需y=-a(x-2)2+1在(1,+∞)上的值域包含(-∞,a-1)即可, 所以解得0<a≤2. 15.解析　(1)由f(2)=0,得2a-1=0,解得a=, 所以f(x)=(3分) (2)由(1)得f(1)=-1=-,(5分)则f(f(1))=f=-2.(7分) (3)当m≥0时,m-1=m,解得m=-2,舍去.(9分) 当m<0时,=m,解得m=1(舍去)或m=-1.(12分) 综上,m=-1.(13分) 16.解析　(1)由不等式f(x)<1的解集为R,可得(m+1)x2-(m-1)x+m-2<0的解集为R. 当m+1=0,即m=-1时,不等式为2x-3<0,得x<,不合题意;(2分) 当m+1≠0,即m≠-1时,可得 即解得m<.(5分) 综上所述,m的取值范围为.(6分) (2)由(m+1)x2-(m-1)x+m-1≥0,得m(x2-x+1)≥-x2-x+1, 因为x2-x+1=+>0,所以m≥=-1+,由已知得m≥,x∈.(9分) 设1-x=t,则t∈,x=1-t,(10分) 可得===, 因为t+≥2,当且仅当t=1时取等号,(13分) 所以≤1,当且仅当x=0时取等号, 故x∈时,=-1+2=1,可得m≥1,所以m的取值范围为[1,+∞).(15分) 17.解析　(1)p(6)=60-16=44,(2分) p(6)的实际意义:当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车的载客量为44人.(5分) (2)∵p(t)=t∈N, ∴当5≤t<10时,y=-10=110-≤110-2=38,当且仅当6t=,即t=6时,等号成立,此时y的最大值为38;(9分) 当10≤t≤20时,y=-10=-10, 易知y=-10在t∈[10,20]上单调递减,∴当t=10时,y取最大值,为28.4.(13分) ∵38>28.4,∴当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.(15分) 18.解析　(1)f(x)是偶函数.证明如下: f(x)的定义域为[-1,1],关于原点对称. 对于f(xy)=f(x)+f(y),x,y∈[-1,1],x,y≠0, 令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0. 令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=0,∴f(-1)=0. 令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x), ∴f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数.(3分) (2)证明:任取x3,x4∈(0,1),且x3<x4,由偶函数的性质可得,当x∈(0,1)时, f(x)>0,(4分) 对于f(xy)=f(x)+f(y),令x=,y=x4,则f(x3)=f+f(x4),即f(x3)-f(x4)=f. ∵0<x3<x4<1,∴∈(0,1),(6分) 又当x∈(0,1)时, f(x)>0,∴f>0,即f(x3)-f(x4)>0,即f(x3)>f(x4),∴f(x)在(0,1)上单调递减.(8分) (3)记g(x)在[0,1]上的值域为B, f(x)在上的值域为A,∵对任意x1∈[0,1],总存在x2∈,使得g(x1)=f(x2),∴B⊆A. 由(1)(2)知f(x)在(0,1)上单调递减,且f(1)=0, 又f=3,∴当x∈时, f(x)∈[0,3],∴A=[0,3]. ∵g(x)的图象关于点中心对称,且g=,∴g(x)的图象恒过,当x∈[0,1]时,g(x)max+g(x)min=1.(10分) ①当≤0,即m≤0时,g(x)在[0,1]上单调递增,∴g(x)min=g(0)=m,∴g(x)max=1-m,∴B=, 由B⊆A得解得m≥0,又m≤0,所以m=0;(12分) ②当0<<,即0<m<2时,g(x)在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减, ∴g(x)min=min,g(x)max=max, 由B⊆A得解得0≤m<4, 又0<m<2,所以0<m<2;(14分) ③当≥,即m≥2时,g(x)在上单调递减,∴g(x)max=g(0)=m,∴g(x)min=1-m,即B=, 由B⊆A得解得m≤2,又m≥2,所以m=2.(16分) 综上所述,实数m的取值范围为[0,2].(17分) 19.解析　(1)∵P(-1,1),Q(3,-2),∴|PQ|+=|-1+3|+|1-2|=3.(2分) (2)证明:∵点N在直线y=x+2上,∴设N(x,x+2). ∵M(1,0),∴|MN|+=|x+1|+|x+2|.(4分) 易知|MN|+=|x+1|+|x+2|≥|(x+1)-(x+2)|=1, 当且仅当(x+1)(x+2)≤0,即-2≤x≤-1时等号成立,∴|MN|+≥1.(6分) (3)∵动点T在函数y=x2,x∈[-1,1]的图象上,∴设T(x,x2),x∈[-1,1],则|KT|+=|x|+|x2+k|,x∈[-1,1].(7分) 设g(x)=|x|+|x2+k|,x∈[-1,1],则g(x)的定义域关于原点对称,且g(-x)=|x|+|x2+k|=g(x),∴函数g(x)=|x|+|x2+k|,x∈[-1,1]为偶函数, 故只需研究函数g(x)=|x|+|x2+k|在[0,1]上的最大值即可.(9分) 当k≥0时,g(x)=|x|+|x2+k|=x2+x+k,x∈[0,1], g(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=-,故函数g(x)在[0,1]上单调递增,∴g(x)max=g(1)=2+k. 当k≤-1时,g(x)=|x|+|x2+k|=-x2+x-k,x∈[0,1], g(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=,故函数g(x)在上单调递增,在上单调递减,∴g(x)max=g=-k.(10分) 当-1<k<0时,令|x2+k|=0,得x=±, ∴g(x)=|x|+|x2+k|= y=-x2+x-k的图象开口向下,对称轴方程为x=, y=x2+x+k的图象开口向上,对称轴方程为x=-,故y=x2+x+k在(,1]上单调递增.(12分) ①当≤,即-≤k<0时,y=-x2+x-k在[0,]上单调递增,此时g(1)=2+k≥,g()=≤,∴g(x)max=g(1)=2+k;(13分) ②当<<1,即-1<k<-时,y=-x2+x-k在上单调递增,在上单调递减,∵g(1)=2+k∈,g=-k∈,∴g(x)max= 综上, f(k)=(15分) 当k<-时, f(k)=-k在上单调递减, f(k)=-k>f=; 当k≥-时, f(k)=2+k在上单调递增, f(k)=2+k≥f=. ∴函数y=f(k)的最小值为.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$