第二章 一元二次函数、方程和不等式-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（人教A版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第二章　一元二次函数、方程和不等式 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知x,y满足m=x2+y2+19,n=4(2y-x)-1,则m,n的大小关系是(　　) A.m>n　　B.m<n　　C.m≤n　　D.m≥n 2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　) A.a2+b2>2ab　　B.a+b≥2 C.+>　　D.+≥2 3.若关于x的不等式|x2+mx+n|>0的解集为{x|x≠1且x≠2},则(　　) A.m=3,n=2　　B.m=-3,n=2　　C.m=3,n=-2　　D.m=-3,n=-2 4.已知a>0,b>0,a+b=9,则+的最小值为(　　) A.8　　B.9　　C.12　　D.16 5.“0<a≤1”是“关于x的不等式ax2-2ax+1≥0对任意的x∈R恒成立”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 6.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<2},则关于x的不等式bx2+ax+c<0的解集为(　　) A.x<x<2　　B.xx<-或x>1 C.x-<x<1　　D.xx<-或x>2 7.已知长为a,宽为b的长方形,如果它的面积与边长为k1的正方形的面积相等,它的周长与边长为k2的正方形的周长相等,它的对角线与边长为k3的正方形的对角线相等,它的面积和周长的比与边长为k4的正方形的面积和周长的比相等,那么k1,k2,k3,k4的大小关系为(　　) A.k1≤k4≤k2≤k3　　B.k3≤k1≤k2≤k4 C.k4≤k1≤k3≤k2　　D.k4≤k1≤k2≤k3 8.若不等式t(+)≤对所有的正实数x,y恒成立,则t的最大值为　(　　) A.2　　B.　　C.　　D.1 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列命题正确的是(　　) A.若c<0<b<a,则b3+c3<a3　　B.若c<0<b<a,则> C.∀a>b>0,当m>0时,>　　D.∃a>b>0,当m>0时,< 10.下列说法正确的是(　　) A.不等式>1的解集是x-<x<0 B.若+=1,则a+b的最小值为 C.若0≤x+y≤2,-1≤x-y≤1,则-≤2x+y≤ D.已知正数a,b满足+=1,则+的最小值为2 11.已知不等式+≥3m2-1对任意的x>1,y>1恒成立,则m的值可以是(　　) A.-　　B.-1　　C.　　D.2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若x<-1,则的最大值为　　　　.  13.已知关于x的不等式组有且仅有一个整数解,则a的取值范围为　　　　.  14.已知实数a>0,b>-2,且满足2a+b=1,则+的最小值是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(1)已知0<a+b<2,-2<b-a<1,求3a+b的取值范围; (2)已知a,b都是正实数,比较+与a+b的大小. 16.(15分)已知集合A={x|a≤x≤3a-1},B=x>0. (1)若a=1,求(∁RB)∩A; (2)若“x∈A”是“x∈(∁RB)”的充分不必要条件,求a的取值范围. 17.(15分)已知关于x的不等式(mx-2)[x-(3m-1)]≥0. (1)当m=2时,求关于x的不等式的解集; (2)当m∈R时,求关于x的不等式的解集. 18.(17分)如图,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为40 cm,把△ABC沿AC向△ADC翻折成△AEC,AE交DC于点P,设AB=x cm. (1)若DP>AB,求x的取值范围; (2)设△ADP的面积为S cm2,求S的最大值及相应的x的值. 19.(17分)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1,x2,则称d=|x1-x2|为两根之间的距离,简称“根距”.当d∈[n,n+1),n∈N时,称该一元二次方程有n级“根距”.例如d=2.68∈[2,3),则称该一元二次方程有2级“根距”. (1)试用a,b,c表示“根距”d; (2)设关于x的方程(k-1)2x2+(2k2-3k+1)x+k2-2k+3=0有两个不等实根,求该方程的“根距”d的级数; (3)若a≠b,a,b∈{m|2m3-3m2+1=0},当x1<x2时,∀x∈(x1,x2),ax2+bx+c>0,求a,b的值,并确定当方程ax2+bx+c=0的“根距”d的级数n的最小值为多少时,c至少可以取到两个整数值. 答案全解全析 1.D　m-n=x2+y2+19-4(2y-x)+1=(x+2)2+(y-4)2≥0, 当且仅当x=-2,y=4时取得等号,所以m≥n. 2.D　a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”,故A错误;ab>0只能说明a和b同号,即a和b同为正数或同为负数,所以当a<0,b<0时,B,C错误;由a,b同号知和都是正数,根据基本不等式可得+≥2=2,当且仅当a=b时取“=”,故D正确. 3.B　由已知可得1,2为方程x2+mx+n=0的根, 所以解得 4.A　+=+=4++≥4+2=8, 当且仅当=,a+b=9,即a=2b=6时等号成立,则+的最小值为8. 5.A　当a=0时,原不等式为1≥0,显然恒成立. 当a≠0时,若ax2-2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,则得0<a≤1,所以0≤a≤1, 所以“0<a≤1”是“关于x的不等式ax2-2ax+1≥0对任意的x∈R恒成立”的充分不必要条件. 6.C　由题意可得1,2是对应方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0, 所以则b=-3a,c=2a, 所以bx2+ax+c<0即为-3ax2+ax+2a<0,即3x2-x-2<0, 解得-<x<1,所以不等式的解集为x-<x<1. 7.D　由题意得ab=①,a+b=2k2②,=k3③,==④,且a,b>0, 易知a+b≥2,a2+b2≥,≤=,当且仅当a=b时等号全部成立, 则由①②得2k2≥2k1,所以k2≥k1⑤, 由②③得2≥,所以k3≥k2⑥, 由①④得≤,所以k4≤k1⑦, 综合⑤⑥⑦可得k4≤k1≤k2≤k3. 8.D　因为x,y为正数,所以+>0, 所以t≤对所有的正实数x,y恒成立,则t≤, 令m=,则=,m>0, 所以==+≤+=1,当且仅当x=y时,等号成立,所以≤1,则m2≥1, 又m>0,所以m≥1,即≥1,所以的最小值为1, 所以t≤1,即t的最大值为1. 9.ABD　对于A,由c<0<b<a,得b3<a3,c3<0,因此可得b3+c3<a3,故A正确; 对于B,由c<0<b<a,得0<<,所以>>0,又c<0,所以>,故B正确; 对于C,-=,由a>b>0,m>0,得b-a<0,所以<0,即<,故C错误; 对于D,若a=3,b=2,m=1,则==,=,则<, 即∃a>b>0,当m>0时,<,故D正确. 10.ABD　对于A,由>1,得<0,解得-<x<0, 即不等式>1的解集是,故A正确; 对于B,因为+=1,所以a+b=+≥=, 当且仅当=,即a=b=时取等号,所以a+b的最小值为,故B正确; 对于C,令2x+y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y, 所以解得所以2x+y=(x+y)+(x-y), 因为0≤x+y≤2,-1≤x-y≤1, 所以0≤(x+y)≤3,-≤(x-y)≤, 所以-≤(x+y)+(x-y)≤,即-≤2x+y≤,故C错误; 对于D,因为正数a,b满足+=1, 所以a+b=ab,即(a-1)(b-1)=1, 所以+≥2=2,当且仅当=,即a=b=2时取等号,所以+的最小值为2,故D正确. 11.ABC　因为x>1,y>1,所以x-1>0,y-1>0, 则+=+ =+++++ ≥2+2+2 =2+4≥2×2+4=8, 当且仅当x=y=2时等号全部取到,所以=8. 又不等式+≥3m2-1对任意的x>1,y>1恒成立, 所以3m2-1≤8,解得-≤m≤,对比选项可知A,B,C满足要求. 12.答案　-5 解析　∵x<-1,∴x+1<0,∴=x+1+-1≤-2-1=-5,当且仅当x=-3时等号成立,∴的最大值为-5. 13.答案　{a|-5≤a<3或4<a≤5} 解析　因为关于x的不等式组有且仅有一个整数解,所以不等式<0的解集与不等式2x2+(2a+7)x+7a<0(a∈R)的解集的交集中只有一个整数. 易得不等式<0的解集为{x|x>4或x<-2}, 不等式2x2+(2a+7)x+7a<0可化为(x+a)<0.① 当-a<-,即a>时,不等式①的解集为, 要使{x|x>4或x<-2}与的交集中只有一个整数,此整数只能为-4,因此有-5≤-a<-4,解得4<a≤5. 当-a>-,即a<时,不等式①的解集为, 要使{x|x>4或x<-2}与的交集中只有一个整数,此整数只能为-3,所以-3<-a≤5,即-5≤a<3. 当-a=-,即a=时,不等式①的解集为⌀,不满足题意,舍去. 综上所述,a的取值范围为{a|-5≤a<3或4<a≤5}. 14.答案　 解析　+=2a++=2a++(b-2)+ =2a+b-2++=1-2++=-1++, ∵2a+b=1,∴2a+(b+2)=3. 又a>0,b+2>0,∴[2a+(b+2)]=2+2++≥4+2=8,当且仅当b+2=2a,即a=,b=-时取等号, ∴+≥,-1++≥,故+的最小值为. 15.解析　(1)令3a+b=m(a+b)+n(b-a),m,n∈R,即(m-n)a+(m+n)b=3a+b,则解得则3a+b=2(a+b)-(b-a).(3分) 又0<a+b<2,-2<b-a<1,所以0<2(a+b)<4,-1<-(b-a)<2, 所以-1<2(a+b)-(b-a)<6,即-1<3a+b<6.(6分) (2)+-(a+b)==.(9分) 因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0. 当a=b时,+-(a+b)=0,即+=a+b;(11分) 当a≠b时,+-(a+b)>0,即+>a+b. 综上所述,当a=b时,+=a+b;当a≠b时,+>a+b.(13分) 16.解析　(1)当a=1时,A={x|a≤x≤3a-1}={x|1≤x≤2},(2分) B=x>0={x|x<-2或x>5},则∁RB={x|-2≤x≤5},(5分) 故(∁RB)∩A={x|1≤x≤2}.(7分) (2)由(1)得∁RB={x|-2≤x≤5}.因为“x∈A”是“x∈(∁RB)”的充分不必要条件,所以A⫋(∁RB),(9分) 若A=⌀,则a>3a-1,解得a<,满足A⫋(∁RB);(11分) 若A≠⌀,则a≤3a-1,可得a≥, 因为A⫋(∁RB),所以且等号不同时取到,解得-2≤a≤2,故≤a≤2.(14分) 综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤2}.(15分) 17.解析　(1)当m=2时,不等式可化为(x-1)(x-5)≥0,解得x≤1或x≥5,所以当m=2时,不等式的解集是{x|x≤1或x≥5}.(3分) (2)当m=0时,原不等式可化为-2(x+1)≥0,解得x≤-1.(4分) 当m<0时,原不等式可化为[x-(3m-1)]≤0, 令=3m-1,解得m=-或m=1(舍去).(6分) 当m<-时,3m-1<,故原不等式的解集为x3m-1≤x≤;(7分) 当m=-时,原不等式为(x+3)2≤0,解得x=-3;(8分) 当-<m<0时,<3m-1,原不等式的解集为x≤x≤3m-1.(9分) 当m>0时,原不等式可化为[x-(3m-1)]≥0, 令=3m-1,解得m=-(舍去)或m=1.(11分) 当0<m<1时,>3m-1,原不等式的解集为xx≥或x≤3m-1;(12分) 当m=1时,原不等式为(x-2)2≥0,解得x∈R;(13分) 当m>1时,<3m-1,原不等式的解集为xx≥3m-1或x≤.(14分) 综上所述,当m<-时,原不等式的解集为x3m-1≤x≤; 当m=-时,原不等式的解集为{x|x=-3}; 当-<m<0时,原不等式的解集为x≤x≤3m-1; 当m=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1}; 当0<m<1时,原不等式的解集为xx≥或x≤3m-1; 当m=1时,原不等式的解集为R; 当m>1时,原不等式的解集为xx≥3m-1或x≤.(15分) 18.解析　(1)由矩形周长为40 cm,可知AD=(20-x)cm,由AB>AD>0得10<x<20,设DP=a cm,则PC=(x-a)cm,易得△ADP≌△CEP,∴AP=PC=(x-a)cm.(3分) 在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即(20-x)2+a2=(x-a)2, 得a=20-,(5分) 由题意得20->x,即x2-60x+600<0,(6分) 解得30-10<x<30+10,又10<x<20,∴30-10<x<20,(8分) ∴x的取值范围是{x|30-10<x<20}.(9分) (2)由(1)得AD=(20-x)cm,DP=cm,10<x<20, 故S=AD·DP=(20-x)=300-10,10<x<20.(12分) ∵x>0,∴x+≥2=20,(14分) 当且仅当x=,即x=10时取等号,∴=20, ∴Smax=300-200,此时x=10.(17分) 19.解析　(1)当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的根为,(2分) 不妨设x1=,x2=,则d=|x1-x2|=.(4分) (2)由题意得k-1≠0,Δ=(2k2-3k+1)2-4(k-1)2(k2-2k+3)=(k-1)2·(4k-11)>0,可得k>,(6分) 所以d=|x1-x2|==, 设=t,则k=,t>0,所以d==≤=, 当且仅当t=,即k=时等号成立, 因为k=>,所以d∈,(9分) 因为∈[0,1),所以此方程的“根距”d是0级.(10分) (3)由2m3-3m2+1=0,得(m-1)2(2m+1)=0,所以m=1或m=-,则a,b∈, 因为当x1<x2时,∀x∈(x1,x2),ax2+bx+c>0,所以a<0,因为a≠b,所以a=-,b=1,(12分) 所以关于x的方程ax2+bx+c=0的“根距”d=|x1-x2|==2, 由2∈[n,n+1),得c∈,(14分) 当-≤1,即n≤,n∈N时,c至多有1个整数值; 若n=4,则c∈,c仅有1个整数值2; 若n=5,则c∈,c仅有1个整数值3; 若n=6,则c∈,c有2个整数值4和5. 综上,当关于x的方程ax2+bx+c=0的“根距”d的级数n的最小值为6时,c至少可以取到两个整数值.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$