第一章 集合与常用逻辑用语-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（人教A版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第一章　集合与常用逻辑用语 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x|x2-1=0},下列式子错误的是(　　) A.1∈A　　B.{-1}∈A　　C.⌀⊆A　　D.{-1,1}⊆A 2.设全集U={x∈N*|x<8},集合A={1,3,6},B={3,5,7},则∁U(A∪B)的子集个数为(　　) A.3　　B.4　　C.7　　D.8 3.使-1<x<4成立的一个充分不必要条件是(　　) A.-1<x≤4　　B.-1<x<0　　C.-1<x<5　　D.-2<x<1 4.已知集合M满足{-1,1}⊆M⊆{-4,-1,1,2},则不同的M的个数为(　　) A.8　　B.6　　C.4　　D.2 5.“a≥2”是“方程x2-ax+1=0有实根”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 6.已知命题p:∀x>0,x2>x,命题q:∃x<0,x3+1>0,则(　　) A.p和q均为真命题　　B.¬p和q均为真命题 C.p和¬q均为真命题　　D.¬p和¬q均为真命题 7.当一个非空数集G满足:如果a,b∈G,那么a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时,∈G,我们称G是一个数域.有以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域G有非零元素,则2 024∈G;③集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个数域;④有理数集是一个数域.其中正确的是(　　) A.①②④　　B.②③④　　C.①④　　D.①② 8.已知A={a1,a2,a3,a4},B={,,},且a1<a2<a3<a4,其中ai∈Z(i=1,2,3,4),若A∩B={a2,a3},a1+a3=0,且A∪B的所有元素之和为56,则a3+a4=(　　) A.8　　B.6　　C.7　　D.4 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知非空集合A,B,C都是R的子集,满足B⊆A,A∩C=⌀,则(　　) A.A∪B=A　　B.A∩(∁RC)=A　　 C.B∩C=B　　D.B∩(∁RC)=B 10.下列说法中错误的有(　　) A.命题p:∃x∈R,x2+3x+4<0,则命题p的否定是∀x∈R,x2+3x+4>0 B.“|x|>|y|”是“x>y”的必要不充分条件 C.命题“∀x∈Z,x2>0”是真命题 D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负两个根”的充要条件 11.给定实数集A,定义集合M={m∈R|∀a∈A,都有m≥a},若M是非空集合,则称集合M中最小的元素为集合A的上确界,记作sup A.以下说法正确的是(　　) A.若数集A中有2 024个元素,则数集A一定有上确界 B.若数集A中元素没有最大值,则数集A一定没有上确界 C.若数集A,B均有上确界,则数集{a+b|a∈A,b∈B}一定也有上确界,为sup A+sup B D.若数集A,B均有上确界,则数集{ab|a∈A,b∈B}一定也有上确界,为sup Asup B 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知集合A={x|-1<x≤2},B={x|m-1≤x<m+2}.若A∩B=⌀,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  13.若“∃x∈{x|1≤x≤4},x+a≥0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  14.用C(A)表示非空集合A中的元素的个数,定义A*B=|C(A)-C(B)|,已知A={x|x2-2 024x-2 025=0},B={x|(2x2+ax)(x2+2ax+6)=0},若A*B=1,a的所有可能取值构成集合M,则C(M)=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}. (1)当a=3时,求A∩B; (2)“x∈A”是“x∈(∁RB)”的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 16.(15分)设集合A={x|x2-3x+2=0},非空集合B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的值. 17.(15分)已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1. 18.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}. (1)判断8,9,10是否属于集合A; (2)若集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”的充分不必要条件是“x∈B”; (3)写出所有满足集合A的偶数构成的集合. 19.(17分)已知n为正整数,集合Mn={(x1,x2,…,xn)|xi∈{0,1},i=1,2,…,n},对于Mn中任意两个元素α=(a1,a2,…,an)和β=(b1,b2,…,bn),定义:α-β=(|a1-b1|,|a2-b2|,…,|an-bn|);d(α,β)=|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|. (1)当n=3时,设α=(1,0,1),β=(0,1,1),写出α-β,并计算d(α,β); (2)若集合S满足S⊆M2,且∀α,β∈S,d(α,β)=2,求集合S中元素个数的最大值,并写出此时的集合S; (3)若α,β∈Mn,任取γ∈Mn,证明:d(α-γ,β-γ)=d(α,β). 答案全解全析 1.B　∵A={x|x2-1=0}={1,-1}, ∴1∈A,{-1}⊆A,⌀⊆A,{-1,1}⊆A.故B错误. 2.B　由题意,全集U={x∈N*|x<8}={1,2,3,4,5,6,7}, 因为A={1,3,6},B={3,5,7},所以A∪B={1,3,5,6,7}, 所以∁U(A∪B)={2,4},所以∁U(A∪B)的子集个数为22=4. 3.B　设A={x|-1<x<4},则使-1<x<4成立的一个充分不必要条件对应的集合是集合A的真子集.对照选项知只有B符合题意. 4.C　由{-1,1}⊆M⊆{-4,-1,1,2}可得,M={-1,1},{-1,1,2},{-1,1,-4},{-1,1,2,-4},故不同的M的个数为4. 5.A　若方程x2-ax+1=0有实根,则Δ=(-a)2-4≥0,即a≤-2或a≥2. 由于{a|a≥2}是{a|a≥2或a≤-2}的真子集, 所以“a≥2”是“方程x2-ax+1=0有实根”的充分不必要条件. 6.B　对于命题p,当x=1时,x2=x,所以p为假命题,则¬p为真命题; 对于命题q,当x=-时,x3+1=>0,所以q为真命题, 综上可知,¬p和q均为真命题. 7.A　当a=b,且a,b∈G时,a-b=0∈G, 所以0是任何数域的元素,故①正确; 当a=b≠0,且a,b∈G时,由数域的定义知=1∈G, 所以1+1=2∈G,1+2=3∈G,……,1+2 023=2 024∈G,故②正确; 当a=2,b=4时,=∉P,故③错误; 如果a,b∈Q,那么a+b,a-b,ab∈Q,且当b≠0时,∈Q,所以有理数集是一个数域,故④正确. 8.A　由a1+a3=0得a1=-a3,所以=, 又a1<a2<a3<a4,所以a1<0,a3>0, 因为A∩B={a2,a3}⊆{,,},所以a2≥0. ①若a2>0,由a2∈Z,得a2≥1,则a4>a3>1, 所以>a4>a3>a2,即∉{a2,a3},从而{a2,a3}={,},因为=>,所以又a2≥1,a3>1,所以方程组无解. ②若a2=0,则a4>a3>a2=0,所以>a4>a3>a2,即∉{a2,a3}, 从而{a2,a3}={,},所以a2=0=,a3==,所以a3=0或a3=1, 又a3>a2=0,所以a3=1,a1=-a3=-1,则>a4>1, 则A={-1,0,1,a4},B={1,0,},易得A∪B={-1,0,1,a4,}, 所以-1+0+1+a4+=56,所以a4=7或a4=-8(舍),所以a3+a4=8. 9.ABD　作出Venn图,如图所示: 由图可知A∪B=A,A∩(∁RC)=A,B∩C=⌀,B∩(∁RC)=B,因此A、B、D正确,C错误. 10.ABC　对于A,命题p的否定应该是∀x∈R,x2+3x+4≥0,A错误. 对于B,取x=-2,y=1,满足|x|>|y|,但是x<y.反之,当x>y时,取x=1,y=-2,此时|x|<|y|. 所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,B错误. 对于C,当x=0时,x∈Z,但是x2=0,不满足x2>0. 所以命题“∀x∈Z,x2>0”是假命题,C错误. 对于D,若方程x2-2x+m=0有一正一负两个根,则解得m<0. 所以“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负两个根”的充要条件,D正确. 11.AC　对于A,若数集A中有2 024个元素,则数集A中的元素一定有最大值,所以数集A一定有上确界,故A正确; 对于B,若A=xx=,n>1,当n>1时,x=<1, 所以sup A=1,即数集A有上确界,故B错误; 对于C,若数集A,B均有上确界,则设sup A=p,sup B=q, 由上确界的定义可知,∀a∈A,b∈B,都有a≤p,b≤q, 所以a+b≤p+q,即sup{a+b|a∈A,b∈B}=p+q=sup A+sup B,故C正确; 对于D,若A={-2,-1},B={1,2},则数集A,B有上确界,且sup A=-1,sup B=2,此时{ab|a∈A,b∈B}={-4,-2,-1}, 则sup{ab|a∈A,b∈B}=-1,而sup Asup B=-2,故D错误. 12.答案　{m|m>3或m≤-3} 解析　显然集合B={x|m-1≤x<m+2}≠⌀,要使A∩B=⌀, 应有m-1>2或m+2≤-1,解得m>3或m≤-3. 13.答案　{a|a<-4} 解析　若“∃x∈{x|1≤x≤4},x+a≥0”是假命题, 则“∀x∈{x|1≤x≤4},x+a<0”是真命题,所以4+a<0,即a<-4. 14.答案　5 解析　解x2-2 024x-2 025=0得x=2 025或x=-1,即C(A)=2, ∵A*B=|C(A)-C(B)|=1,∴C(B)=3或C(B)=1. 由(2x2+ax)(x2+2ax+6)=0得x(2x+a)(x2+2ax+6)=0.① 当a=0时,方程为2x2(x2+6)=0,所以x=0, 此时B={0},C(B)=1,符合题意. 当a≠0时,由①得x=0或x=-或x2+2ax+6=0, 因为-≠0,所以C(B)≠1,故C(B)=3. 当方程x2+2ax+6=0有两个不等实根时,Δ=(2a)2-4×6>0,解得a<-或a>,显然x=0不是x2+2ax+6=0的实根,则x=-是方程x2+2ax+6=0的其中一个实根,则+2a+6=0,解得a=±2,经检验,满足题意; 当方程x2+2ax+6=0有两个相等实根时,Δ=(2a)2-4×6=0,得a=±,经检验,满足题意. 综上所述,M={0,,-,2,-2},∴C(M)=5. 15.解析　(1)当a=3时,A={x|-1≤x≤5}.(2分) 因为B={x|x≤1或x≥4},所以A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}.(4分) (2)因为B={x|x≤1或x≥4},所以∁RB={x|1<x<4}.(5分) 因为“x∈A”是“x∈(∁RB)”的充分不必要条件,所以A⫋(∁RB).(7分) 当A=⌀时,符合题意,此时有2+a<2-a,解得a<0.(9分) 当A≠⌀时,要使A⫋(∁RB),只需解得0≤a<1.(12分) 综上,实数a的取值范围为{a|a<1}.(13分) 16.解析　(1)x2-3x+2=0即(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2, 所以A={1,2},(2分) 又B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0},A∩B={2}, 所以4+2(a-1)+a2-5=0,即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3,(5分) 当a=1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},符合A∩B={2}; 当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},符合A∩B={2}. 综上,a=1或a=-3.(7分) (2)若A∪B=A,则B⊆A.由(1)知A={1,2},则B={1}或B={2}或B={1,2}.(8分) 当B={1}时,有无解;(10分) 当B={2}时,有得a=-3;(12分) 当B={1,2}时,有无解.(14分) 综上,实数a的值为-3.(15分) 17.证明　充分性:若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,充分性成立.(6分) 必要性:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b4+2b2+1)=0, ∴a4-(b2+1)2=0,∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,(10分) ∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2-1=0,(12分) 即a2-b2=1,必要性成立.(14分) 综上,a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.(15分) 18.解析　(1)∵8=32-1,9=52-42,∴8∈A,9∈A,(2分) 若10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0,(4分) 由10=1×10=2×5,得或显然均无整数解,因此10∉A.(6分) (2)证明:∵2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z, ∴2k+1∈A,k∈Z,即一切奇数都属于A,故B⊆A,(9分) 又∵8∈A,8∉B,∴B⫋A,故“x∈A”的充分不必要条件是“x∈B”.(11分) (3)由m2-n2=(m+n)(m-n)可得,(12分) ①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,(m+n)(m-n)为4的倍数;　(14分) ②当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,(m+n)(m-n)为奇数.(16分) 综上,所有满足集合A的偶数构成的集合为{x|x=4k,k∈Z}.(17分) 19.解析　(1)α-β=(1,1,0),d(α,β)=2.(3分) (2)当α=(0,0)时,由d(α,β)=2可得β=(1,1);(5分) 当α=(0,1)时,同理可得β=(1,0);(7分) 当α=(1,1)时,β=(0,0);当α=(1,0)时,β=(0,1). 所以集合S中元素个数的最大值是2,(9分) 此时S={(0,0),(1,1)}或S={(0,1),(1,0)}.(10分) (3)证明:设α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),γ=(c1,c2,…,cn), 所以ai,bi,ci∈{0,1},|ai-ci|,|bi-ci|∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),(12分) 则α-γ=(|a1-c1|,|a2-c2|,…,|an-cn|)∈Mn,β-γ=(|b1-c1|,|b2-c2|,…,|bn-cn|)∈Mn,所以d(α-γ,β-γ)=||a1-c1|-|b1-c1||+||a2-c2|-|b2-c2||+…+||an-cn|-|bn-cn||,(14分) 当ci=0时,||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|(i=1,2,3,…,n); 当ci=1时,||ai-ci|-|bi-ci||=|(1-ai)-(1-bi)|=|ai-bi|(i=1,2,3,…,n). 所以d(α-γ,β-γ)=d(α,β).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$