7.1.4随机事件的运算学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学学案聚焦“随机事件的运算”核心知识点，通过知识梳理表格系统呈现包含、并、交、互斥、对立事件的定义、表示法与图示，结合射击、掷骰子等情境例题衔接集合知识，构建从概念到应用的学习支架。 学案以表格梳理强化数学抽象能力，情境例题培养数学眼光与模型意识，分层练习注重互斥与对立事件辨析，助力学生用数学语言表达事件关系，提升逻辑推理与应用能力，有效夯实概率基础。

7.1.4随机事件的运算 1、 学习目标 理解事件之间的关系及其运算。 2、 学习重难点 重点： 事件之间的关系及运算 难点： 互斥事件与对立事件区分，用集合运算表示事件 三、自主预习、知识梳理 1．事件的关系及运算 定义 表示法 图示 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B___________，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) ________(或__________) 并事件 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的_____(或____) ________(或_________) 交事件 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的______(或______) ______(或________) 互斥事件 给定事件A，B，若事件A，B_______ ______________，则称A与B互斥 AB＝_____(或A∩B＝_______) 对立事件 给定样本空间Ω与事件A，由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件记为 P（A）＋P（）＝______ 3、 应用举例 例1　(1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　A　) A．两次都中靶　　 B．至少有一次中靶 C．两次都不中靶　　 D．只有一次中靶 (2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　D　) A．恰有一次击中　　 B．三次都没击中 C．三次都击中　　 D．至多击中一次 [解析]　(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”. (2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”. 例2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件. [解析]　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3． 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5． 且易知事件C1与事件D1相等， 即C1＝D1． (2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6). 同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5． 例3　设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来. (1)三个事件都发生； (2)三个事件至少有一个发生； (3)A发生，B，C不发生； (4)A，B都发生，C不发生； (5)A，B至少有一个发生，C不发生； (6)A，B，C中恰好有两个发生. [解析]　(1)ABC　(2)A∪B∪C (3)A　(4)AB　(5)(A∪B) (6)AB∪AC∪BC 五、课堂练习 1.下列各组事件中，不是互斥事件的是( ) A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品，合格率高于与合格率低于 2.“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件D为“两个黑匣子都研究”.则( ) A.A与C是互斥事件 B.B与D是对立事件 C.B与C是对立事件 D.C与D是互斥事件 3.从高二某班级中抽出三名学生，设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，则( ). A.甲与丙互斥 B.任何两个均互斥 C.乙与丙互斥 D.任何两个均不互斥 4.一个人连续射击三次，事件“至少有一次击中目标”的对立事件是( ) A.至多有一次击中目标 B.三次都击不中目标 C.三次都击中目标 D.只有一次击中目标 5.若，则互斥事件A与B的关系是( ) A.A，B没有关系 B.A，B是对立事件 C.A，B不是对立事件 D.以上都不对 6.一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次正面向上”的互斥事件是( ) A.至多有一次正面向上 B.两次都正面向上 C.只有一次正面向上 D.两次都反面向上 7.（多选）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张，则对于事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”下列说法错误的有( ) A.是互斥事件 B.是互斥但不对立事件 C.是对立事件 D.是即不互斥也不对立事件 8.（多选）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，则下列四组事件中，互为对立事件的有( ) A.“这张牌是红心”与“这张牌是方块” B.“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌” C.“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块” D.“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一” 9.从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，给出如下四组事件： ①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”； ②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”； ③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”； ④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”. 其中互为对立事件的有____________.（写出所有正确的编号） 10.某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是_____________. 六、课后练习 1.袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个球，其中是互斥而不对立事件的是( ) A.至少有一个白球与全部都是红球 B.至少有一个白球与至少有一个红球 C.恰有一个白球与恰有一个红球 D.恰有一个白球与全部都是红球 2.湘西州有甲、乙两个草原供游客休闲旅游，暑假期间龙龙和他的家人到湘西州旅游.记事件“只去甲草原”，事件“至少去一个草原”，事件“至多去一个草原”，事件“不去甲草原”，事件“一个草原也不去”.下列命题正确的是( ) A.E与G是互斥事件 B.F与I是对立事件 C.F与G是互斥事件 D.G与I是互斥事件 3.有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( ). A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶 4.如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么( ). A.是必然事件 B.是必然事件 C.C与D一定互斥 D.C与D一定不互斥 5.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是( ). A.至少有1件次品与至多有1件正品 B.至少有1件次品与2件都是正品 C.至少有1件次品与至少有1件正品 D.恰有1件次品与2件都是正品 6.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”.则( ) A.事件1与事件3互斥 B.事件1与事件2互为对立事件 C.事件2与事件3互斥 D.事件3与事件4互为对立事件 7.（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则( ) A.A与B为互斥事件 B.B与C为对立事件 C.与为互斥事件 D.与C为对立事件 8.（多选）从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：“至少有一个女生”，“至少有一个男生”，“恰有一个男生”，“两个都是女生”，“恰有一个女生”.下列结论正确的有( ) A. B. C. D.， 9.某电路如图所示，用A表示事件“灯泡变亮”，用B，C，D依次表示事件“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则__________.（用B，C，D间的运算关系式表示） 10.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽5件，现给出以下四个事件：“恰有1件次品”，“至少有2件次品”，“至少有1件次品”，“至多有1件次品”，并给出以下结论：①；②是必然事件；③；④.其中正确的结论为__________.（填序号即可） 答案及解析 三、知识梳理 1.一定发生；B⊇A；A⊆B；和；并；A＋B；A∪B；积；交；AB；A∩B；不能同 五、课堂练习 1.答案：B 解析：根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生， 对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，为互斥事件； 对于B，统计一个班级数学期中考试成绩， 平均分数不低于90分与平均分数不高于90分 当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件； 对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，为互斥事件； 对于D，检查某种产品，合格率高于与合格率为，为互斥事件； 故选：B. 2.答案：D 解析：事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”； 事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”三种情况； 事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”或“两个黑匣子都不研究”三种情况： 事件D为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；所以对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确： 对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确.故选D. 3.答案：A 解析：不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件，则事件甲“三名学生全不是男生”与事件丙“三名学生至少有一名是男生”为互斥事件. 4.答案：B 解析：一个人连续射击三次事件“至少有一次击中目标”的对立事件是“三次都击不中目标”.故选B. 5.答案：B 解析：根据对立事件的定义知，若A，B为对立事件，则其和事件的概率为1；若A，B为互斥事件，且，则A，B为对立事件. 6.答案：D 解析：对于A，至多有一次正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件； 对于B，两次都正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件； 对于C，只有一次正面向上与至少有一次正面向上，能够同时发生，不是互斥事件； 对于D，两次都反面向上与至少有一次正面向上，不能够同时发生，是互斥事件. 故选D. 7.答案：CD 解析：根据题意可得，事件“甲分得红牌“与事件“丁分得红牌”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件.故选CD. 8.答案：BD 解析：从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，A.“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；B.“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；C.“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；D.“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件.故答案为BD. 9.答案：②④ 解析：从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张， ①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件； ②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件； ③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件； ④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件. 故答案为②④. 10.答案：2次都中靶 解析：事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”. 六、课后练习 1.答案：D 解析：对于A，事件“至少有一个白球”包含“2个白球”“1红1白”，与事件“全部都是红球”不可能同时发生，但必有一个发生，故为对立事件，不符合题意； 对于B，事件“至少有一个红球”包含“2个红球”“1红1白”，结合A知两个事件的交事件为“1红1白”，不是互斥事件，不符合题意； 对于C，两事件均为“1红1白”，为同一事件，不符合题意； 对于D，结合C知两事件不可能同时发生，但可能同时不发生，即“2个白球”，是互斥而不对立事件，符合题意.故选D. 2.答案：B 解析：事件F包含“只去甲草原”“只去乙草原”“甲、乙两个草原都去”三种情况； 事件G包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”三种情况； 事件H包含“只去乙草原”“一个草原也不去”两种情况. 对于A，C，D，两个事件均有可能同时发生，都不是互斥事件； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，故B正确.故选B. 3.答案：C 解析：根据对立事件的概念，连续射击2次， 事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 故选：C. 4.答案：B 解析：由于事件A与B互斥，即， 则（U为全集）是必然事件. 故选：B 5.答案：D 解析：A项中至少有1件次品与至多有1件正品是同一事件，不是互斥事件，它们都包括了“1件正品、1件次品”和“2件都是次品”的情况，故不满足条件. B项中至少有1件次品与2件都是正品是对立事件，故不满足条件. C项中至少有1件次品与至少有1件正品不是互斥事件，它们都包括了“1件正品、1件次品”的情况，故不满足条件. D项中恰有1件次品与2件都是正品是互斥事件，但不是对立事件.因为除此之外还有“2件都是次品”的情况，故满足条件. 6.答案：B 解析：由题可知，事件1可表示为，事件2可表示为， 事件3可表示为，事件4可表示为， 因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误.故选B. 7.答案：CD 解析：对于A，B，两个事件均有可能同时发生，A，B错误； 对于C，事件为甲、乙都中奖，事件为甲、乙都不中奖，两事件不可能同时发生，所以与为互斥事件，C正确； 对于D，事件表示甲、乙都不中奖，事件与C不可能同时发生，但必有一个发生，故两事件为对立事件，D正确.故选CD. 8.答案：AD 解析：对于A，事件C，E均为“1个男生1个女生”，则，A正确； 对于B，事件A为“1个男生1个女生或2个女生”，B为“1个男生1个女生或2个男生”，则，B错误；对于C，事件D为“两个都是女生”，E为“1个男生1个女生”，包含的样本点不相同，则，C错误； 对于D，事件B为“1个男生1个女生或2个男生”，D为“两个都是女生”，则，，D正确.故选AD. 9.答案：（或） 解析：由题图可得“灯泡变亮”即“开关Ⅱ与开关Ⅲ至少有一个闭合”且“开关Ⅰ闭合”，因此. 10.答案：①② 解析：由于事件A“恰有1件次品”和事件B“至少有2件次品”的和表示事件“至少有1件次品”，即事件C，故，即①成立. 由于事件B“至少有2件次品”和事件D“至多有1件次品”至少有一个发生，故是必然事件，即②成立. 由于，而，所以，故③不成立. 由于，而，所以，故④不成立. 故答案为①②. 学科网（北京）股份有限公司 $$