7.1.1随机现象、7.1.2样本空间、7.1.3随机事件学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学学案聚焦随机现象、样本空间与随机事件核心知识点，通过自主预习中的知识梳理填空作为学习支架，衔接初中对事件的初步认知与高中概率知识体系，帮助学生系统构建相关概念。 资料特色在于结合生活实例引导学生用数学眼光观察现实世界中的随机现象，通过事件判断、样本空间列举等例题培养数学思维，用集合语言规范表达，习题层次分明，助力巩固知识，提升学习效率。

7.1.1随机现象、7.1.2样本空间、7.1.3随机事件 1、 学习目标 1. 了解随机实验的概念及特点，样本点与样本空间的关系 2. 理解三种事件的定义，会判断三种事件。 2、 学习重难点 1. 随机事件的理解和判断 2. 样本点与样本空间的关系理解 三、自主预习、知识梳理 1． 确定性现象：在一定条件下_______出现的现象（包括确定发生和确定不发生）. 2．随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现____________，且每次试验前______________________________的现象. 3．随机现象的特点：（1）结果至少有____________；（2）事先__________会出现哪一种结果. 4．试验：在概率与统计中，观察随机现象或为某种目的进行的实验统称为试验，一般用_______表示. 5．试验结果：观察或实验的结果称为___________. 6．试验的特点：（1）可以在_________下重复进行；（2）每次试验的具体结果_________；（3）所有可能结果是______________. 7．样本空间：试验 E 的所有可能结果组成的集合称为试验 E 的样本空间，记作______. 8．样本点：样本空间 的元素（即试验 的每种可能结果）称为样本点，记作______. 9．随机事件：在每次试验中，当一个事件发生时，其对应子集中的__________必出现一个；反之，当该子集中的一个样本点出现时，这个事件___________. 10．基本事件：只包含______________的事件，其特点是__________、_________. 11．列举试验所有可能结果的方法称为___________. 四、应用举例 例1　在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ (1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a； (2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签； (3)没有水分，种子发芽； (4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话； (5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾； (6)同性电荷相互排斥. [解析]　结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知. (1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件. (2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件. (3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件. (4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件. (5)在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件. (6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件. 例2　下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间. (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素； (3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素. [解析]　(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}. (2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}. (3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}. 典例3　一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球. (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示. [解析]　(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球]. (2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}. 五、课堂练习 1.以下现象是确定性现象的是( ). A.抛掷一枚硬币，出现反面 B.某人买彩票中奖 C.标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾 D.明天下雨 2.下列现象：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列说法中不正确的是( ) A.“在标准大气压下，水加热到时会沸腾“是不可能事件 B.“某彩票中奖的概率为，则买10000张这种彩票一定能中奖“是必然事件 C.“实数的绝对值不小于零“是必然事件 D.“将一枚骰子抛掷两次，所得点数之和大于7“是随机事件 4.下列说法正确的有( ) ①任意事件A的概率总满足； ②若事件A的概率为0，则A是不可能事件； ③若事件A的概率为0.5，则A是随机事件； ④概率等于1的事件不一定为必然事件. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.下列事件中，是随机事件的是( ) A.在只装有5个红球的袋子中摸出1个球，是红球 B.在标准大气压下，水在结冰 C.打开电视机，正在转播足球比赛 D.地球绕着太阳转 6.下列事件中，是随机事件的是( ) ①明天本市会下雨； ②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14： ③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上； ④13个人中至少有2个人的生日在同一个月. A.①③ B.③④ C.①④ D.②③ 7.（多选）下列现象为随机现象的是( ) A.当x是实数时， B.某班一次数学测试，及格率低于75% C.从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团上的数字是偶数 D.从一副扑克牌中任意抽出一张是红桃5 8.（多选）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是( ) A.事件“都是红色卡片“是随机事件 B.事件“都是蓝色卡片“是不可能事件 C.事件“至少有十张蓝色卡片“是必然事件 D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片“是随机事件 9.①某人射击一次，中靶;②从一副扑克牌中抽到红桃A;③种下一粒种子，发芽;④掷一枚骰子，出现5点.其中是随机现象的是__________. 10.某棋类游戏的规则如下：棋子的初始位置在起点处.玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数（比如玩家一开始掷出的骰子点数为3，则走到炸弹所在位置），若踩到炸弹则返回起点重新开始，若走到终点则游戏结束.已知小明掷完三次骰子后，最后一步踩在终点，游戏恰好结束，则所有不同的情况种数为__________. 六、课后练习 1.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是( ) A.样本点是构成样本空间的元素 B.样本点是构成随机事件的元素 C.随机事件是样本空间的子集 D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多 2.对满足的非空集合A，B，有下列四个命题： ①“若，则“是必然事件；②“若，则“是不可能事件； ③“若，则“是随机事件；④“若，则“是必然事件. 其中正确命题的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为( ) A.3 B.5 C.6 D.9 4.一个不透明袋中装有6个白球，3个红球，这9个球除颜色外完全相同，现从中任取4个球，则下列现象为确定性现象的是( ) A.4个都是白球 B.至少有一个红球 C.4个都是红球 D.至少有一个白球 5.下列现象中随机现象的个数是( ) (1)某路口单位时间内发生交通事故的次数; (2)任意实数的平方是非负数; (3)一个射击运动员每次命中的环数; (4)—辆出租车一天的载客数量. A.1 B.2 C.3 D.4 6.先后抛掷质地均匀的一角、五角的硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是( ) A.至少有一枚硬币正面向上 B.只有一枚硬币正面向上 C.两枚硬币都正面向上 D.两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上 7.（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是( ) A.5件都是正品 B.至少有1件次品 C.有3件次品 D.至少有3件正品 8.（多选）下列现象是随机现象的是( ). A.连续两次抛掷同一枚骰子，两次都出现2点 B.走到十字路口，遇到红灯 C.异性电荷相互吸引 D.抛一石块，下落 9.(1)随机现象的发生能够人为控制其发生或不发生;(2)随机现象的结果是可以预知的;(3)不可能事件反映的是确定性现象;(4)已经发生的事件一定是必然事件.以上说法正确的有__________. 10.下列事件中必然事件为_________，不可能事件为_________，随机事件为_________（填序号）. ①13个人中至少有两个人生肖相同； ②车辆随机到达一个路口，遇到红灯； ③函数在定义域内为增函数； ④任意买一张电影票，座位号是2的倍数. 答案及解析 三、自主预习、知识梳理 1.必然 2.不同结果；无法预言会出现哪一种结果 3. 2 种；不知道 4.E 5.试验结果 6.相同条件；不能预知；明确可知的 7. 8. 9.样本点；必然发生 10.一个样本点；不能分解；不能同时发生 11.列举法 五、课堂练习 1.答案：C 解析：A，B，D都是随机现象，故选C. 2.答案：B 解析：①②是随机现象，③④是确定性现象.故选B. 3.答案：B 解析：在标准大气压下，水加热到才会沸腾，所以A中事件是不可能事件； 某彩票中奖的概率为，仅代表中奖的可能性大小，所以买10000张这种彩票不一定能中奖，即B中事件不是必然事件； 实数的绝对值不小于零，所以C中事件是必然事件；将一枚骰子抛掷两次，所得点数之和最小为2，最大为12，故“将一枚骰子抛掷两次，所得点数之和大于7“是随机事件.故选B. 4.答案：C 解析：任意事件A发生的概率满足，①错误；不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，②错误；③正确；④正确，比如说在0和5之间随机取一个实数，这个数不等于3.35264的概率是1，但不是必然事件，综上所述，故选C. 5.答案：C 解析：对于A，在只装有5个红球的袋子中摸出1个球一定是红球，所以是必然事件，所以A不符合题意.对于B，在标准大气压下，水在结冰是不可能事件，所以B不符合题意.对于C，打开电视机，有可能正在转播足球比赛，所以是随机事件，所以C符合题意.对于D，地球绕着太阳转是不可能事件，所以D不符合题意，故选C. 6.答案：A 解析：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件：②不可能发生，是不可能事件：④一定发生，是必然事件.故选A. 7.答案：BCD 解析：当时，；当时，，所以不可能等于2，故A不是随机现象.由随机现象的定义知B，C，D均是随机现象. 8.答案：ABD 解析：袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片“是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片“是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片“是随机事件，故C错误：在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片“是随机事件，故D正确，故选ABD. 9.答案：①②③④ 解析：随机现象有两个特点:（1)结果至少有2种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果. 10.答案：21 解析：设小明掷三次骰子的点数为，，则符合题意的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种. 六、课后练习 1.答案：D 解析：由定义知A，B，C均正确.随机事件是样本空间的子集，由子集的定义可知D错.故选D. 2.答案：C 解析：对于①②，当时，显然存在满足，的元素，因此“若，则“是随机事件，故①②错误； 对于③，当时，“若，则“可能成立，也可能不成立，是随机事件，故③正确； 对于④，因为，所以“若，则“一定成立，是必然事件，故④正确. 故正确的命题有2个.故选C. 3.答案：C 解析：由题意得样本点为（数学，计算机），（数学，航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共6个，故选C. 4.答案：D 解析： 5.答案：C 解析：(2)是确定性现象，(1)(3)(4)都是随机现象. 6.答案：A 解析：至少有一枚硬币正面向上包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上““一角硬币正面向上，五角硬币反面向上““一角硬币反面向上，五角硬币正面向上“3个样本点，故A符合题意；只有一枚硬币正面向上包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上““一角硬币反面向上，五角硬币正面向上“2个样本点，故B不符合题意；两枚硬币都正面向上包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上“1个样本点，故C不符合题意；两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上““一角硬币反面向上，五角硬币正面向上“2个样本点，故D不符合题意.故选A. 7.答案：AB 解析：在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品““至少有1件次品“都是随机事件，A，B正确；在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，则“有3件次品“不是随机事件，是不可能事件，C错误；在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品“为必然事件，不是随机事件，D错误. 8.答案：AB 解析： 9.答案：(3) 解析：随机现象不能人为控制，结果无法预知，所以(1)(2)错误；已经发生的事件以后不一定发生，所以(4)错误. 10.答案：①；③；②④ 解析：因为共有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同，故①是必然事件；车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或者黄灯，故②是随机事件；因为，所以函数在定义域内为减函数，所以③是不可能事件；买一张电影票，座位号可能是2的倍数，也可能不是2的倍数，故④是随机事件. 学科网（北京）股份有限公司 $$