第二章 函数-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第二章　函数 全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)=(3m+4)是幂函数,则f(x)是定义域上的(　　) A.增函数　　　　B.减函数　　　　 C.奇函数　　　　D.偶函数 2.已知f(x)=则f +f 等于(　　) A.-2　　　　B.4　　　　 C.2　　　　D.-4 3.已知函数y=f(2x-1)的定义域是[-1,3],则y=的定义域是(　　) A.(-2,5]　　　　B.(-2,3] C.[-1,3]　　　　D.[-2,5] 4.函数f(x)=x4-2x2的大致图象是(　　) 　　　　　 　　　　　 5.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,0)∪(0,1)　　　　B.(-1,0)∪(0,1]　　　　 C.(0,1)　　　　D.(0,1] 6.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>0,f(-1)=0,则xf(x)<0的解集为(　　) A.(-1,0)∪(1,+∞)　　　　B.(-1,0)∪[1,+∞) C.(-1,0)∪(0,1]　　　　D.(-1,0)∪(0,1) 7.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广如下:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3+3x2,则f(-2 026)+f(-2 025)+f(-2 024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 023)+f(2 024)=(　　) A.0　　　　B.2 024　　　　 C.4 051　　　　D.8 102 8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数,且f(x)·f =1,则f(1)等于(　　) A.　　　　B.　　　　 C.或　　　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)=的定义域为(-1,+∞) B.函数f(x)=与函数g(x)=x是同一个函数 C.函数y=[x]中的[x]表示不超过x的最大整数,则当x的值为-0.1时,y=-1 D.若函数f(x+1)=2x-3,则f(4)=3 10.已知函数f(x)=|3-x|,构造函数g(x)=f(x)-f(-x),则下列说法正确的是(　　) A.y=g(x)-g(-x)是偶函数　　　　 B.y=g(x)+g(-x)是偶函数 C.y=g(x)|g(x)|是奇函数　　　　 D.y=g(x)g(|x|)是奇函数 11.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),∀x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时, f(x)>0,f =-1,则下列说法正确的是(　　) A. f(1)=0 B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增 C.f(2)+f +f(3)+f +…+f(2 024)+f =2 024 D.满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围是 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知函数f(x)的定义域是R,f(1-x)=f(1+x),且f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f(x)=　　　　.(写出一个满足条件的函数即可)  13.若函数f(x)=在上有意义,则实数a的取值范围为　　　　.  14.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=-x(x-1).若对任意的x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=x+. (1)判断f(x)在(2,+∞)上的单调性,并用定义证明; (2)判断命题“∀a∈R,f(a2+2a+4)≥4”的真假,并说明理由. 16.(15分)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x. (1)求f(-1); (2)求函数f(x)的解析式; (3)若f(2a-1)+f(4a-3)>0,求实数a的取值范围. 17.(15分)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路无人驾驶公交车的载客量p(t)(单位:人)与发车时间间隔t满足p(t)=其中t∈N. (1)求p(6),并说明p(6)的实际意义; (2)若该路无人驾驶公交车每分钟的净收益y(单位:元)满足y=-10,则当发车时间间隔为多少时,该路无人驾驶公交车每分钟的净收益最大?并求出每分钟的最大净收益. 18.(17分)已知二次函数f(x)满足f(0)=f(1)=1,且f(x)的最小值是. (1)求f(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)=x+m在区间(-1,2)上有唯一实数根,求实数m的取值范围; (3)函数g(x)=f(x)-(2t-1)x对任意的x1,x2∈[4,5]都有|g(x1)-g(x2)|<4恒成立,求实数t的取值范围. 19.(17分)俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱.对于定义在非空集合I上的函数f(x)以及函数g(x)=kx+b(k,b∈R),切比雪夫将函数y=|f(x)-g(x)|,x∈I的最大值称为f(x),g(x)的“偏差”. (1)已知f(x)=x2(x∈[0,1]),g(x)=-x-1,求f(x),g(x)的“偏差”; (2)已知f(x)=+1(x∈[1,2]),g(x)=kx+1(k>0),若f(x),g(x)的“偏差”为2,求k的值; (3)已知f(x)=x2-x(x∈[0,3]),g(x)=2x+b,当f(x),g(x)的“偏差”取最小值时,求b的值,并求出“偏差”的最小值. 答案全解全析 1.D　由题意可知3m+4=1,故m=-1,则f(x)=x-2, 易知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递减, 所以在(-∞,0)∪(0,+∞)上f(x)既不是增函数也不是减函数. 又f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x),故f(x)是定义域上的偶函数. 2.B　∵>0,∴f =2×=,∵-<0,∴f =f =f =f =f =,∴f +f =4. 3.A　由函数y=f(2x-1)的定义域是[-1,3],得-1≤x≤3,则-3≤2x-1≤5,为使y=有意义,只需解得-2<x≤5,所以所求函数的定义域为(-2,5]. 4.B　f(x)=x4-2x2的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)4-2(-x)2=x4-2x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D,当x=1时, f(1)=1-2=-1,故排除A. 5.D　易知函数f(x)=-x2+2ax的图象开口向下,对称轴为直线x=a,因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以a≤1.又函数g(x)=在区间[1,2]上单调递减,所以a>0.综上,0<a≤1. 6.D　∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x),∴f(1)=-f(-1)=0, ∵对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有 >0, ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴函数f(x)在(-∞,0)上单调递增, 当xf(x)<0时,若x<0,则f(x)>0,此时x∈(-1,0);若x>0,则f(x)<0,此时x∈(0,1), 所以原不等式的解集为(-1,0)∪(0,1). 7.D　由题意得f(x-1)-2=(x-1)3+3(x-1)2-2=x3-3x, 因为f(-x-1)-2=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-[f(x-1)-2],且其定义域为R,关于原点对称,所以y=f(x-1)-2是奇函数, 因此f(x)=x3+3x2的图象的对称中心为(-1,2),即f(-2-x)+f(x)=4, 故f(-2 026)+f(-2 025)+f(-2 024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 023)+f(2 024) =[f(-2 026)+f(2 024)]+[f(-2 025)+f(2 023)]+…+[f(-2)+f(0)]+f(-1) =2 025×4+2=8 102. 8.B　对于f(x)·ff(x)+=1(*),令x=1,得f(1)f(f(1)+1)=1, 令t=f(1),易知t≠0,则tf(t+1)=1,所以f(t+1)=. 对于(*)式,令x=t+1,则f(t+1)f =·f =1, 所以f =t=f(1). 因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数, 所以+=1, 变形可得t2-t-1=0,解得t=或t=, 所以f(1)=或f(1)=. 对于(*)式,令x=2,得f(2)f =1, 令s=f(2),易知s≠0,则sf =1,所以f =, 对于(*)式,令x=s+,则f ·f f +=f +=1, 则f =s=f(2). 因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数,所以+=2, 变形可得4s2-2s-1=0,解得s=或s=, 所以f(2)=或f(2)=. 因为f(1)<f(2),所以f(1)=. 9.ACD　对于A,令x+1>0,得x>-1,故f(x)的定义域为(-1,+∞),故A正确; 对于B,f(x)=的定义域为{x|x≠0},g(x)=x的定义域为R,两者的定义域不同,故不是同一个函数,故B错误; 对于C,当x=-0.1时,y=[-0.1]=-1,故C正确; 对于D,令f(x+1)=2x-3中x=3,得f(4)=2×3-3=3,故D正确. 10.BCD　由题意得g(x)=|3-x|-|3+x|,显然g(x)的定义域为R,关于原点对称,且g(-x)=|3+x|-|3-x|=-g(x),故g(x)是奇函数. 对于A,由于g(x)-g(-x)=g(x)+g(x)=2g(x),且定义域为R,故y=g(x)-g(-x)是奇函数,不是偶函数,A错误; 对于B,显然g(-x)+g(x)=-g(x)+g(x)=0,且定义域为R,故y=g(x)+g(-x)是偶函数,B正确; 对于C,由于g(-x)|g(-x)|=-g(x)|-g(x)|=-g(x)|g(x)|,且定义域为R,故y=g(x)|g(x)|是奇函数,C正确; 对于D,由于g(-x)g(|-x|)=-g(x)g(|x|),且定义域为R,故y=g(x)g(|x|)是奇函数,D正确. 11.ABD　对于A,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0,A正确; 对于B,∀x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2, 令x=x2,y=,得f(x1)=f(x2)+f,即f(x1)-f(x2)=f , 因为当x>1时,f(x)>0,且>1,所以f >0, 故f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,B正确; 对于C,令y=,得f(x)+f=f(1)=0,故f(2)+f=f(3)+f =…=f(2 024)+f =0, 故f(2)+f +f(3)+f +…+f(2 024)+f =0,C错误; 对于D,因为f =-1,f(x)+f=0,所以f(2)=1, 令x=y=2,得f(4)=2f(2)=2, f(x)-f(x-2)≥2即f(x)≥2+f(x-2)=f(4)+f(x-2)=f(4x-8), 由B知f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,故所以x∈,D正确. 12.答案　|x-1|(答案不唯一) 解析　由f(1-x)=f(1+x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,结合f(x)在(1,+∞)上单调递增,可得满足条件的一个函数为f(x)=|x-1|(答案不唯一). 13.答案　 解析　由题意可知-x2+ax-1≥0在上恒成立,则解得a≥,所以实数a的取值范围为. 14.答案　 解析　当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],又 x∈(0,1]时,f(x)=-x(x-1), 所以f(x+1)=-(x+1)(x+1-1)=-x(x+1), 又f(x+1)=f(x),所以当x∈(-1,0]时,f(x)=2f(x+1)=-2x(x+1); 当x∈(-2,-1]时,f(x)=2f(x+1)=-2×2(x+1)[(x+1)+1]=-4(x+1)·(x+2), 依此类推,可作出f(x)的部分图象,如图所示: 结合上图,要使f(x)≤,则需x≥x1, 由-4(x+1)(x+2)=,解得x1=-或x1=-(舍去),所以m≥-, 故m的取值范围为. 15.解析　(1)f(x)在(2,+∞)上单调递增.(2分) 证明:∀x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2)=(x1x2-3),(4分) 因为2<x1<x2,所以x1x2>4,x1-x2<0,(6分) 因此(x1x2-3)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递增.(8分) (2)命题“∀a∈R,f(a2+2a+4)≥4”是真命题.(10分) 由题意可知∀a∈R,a2+2a+4=(a+1)2+3≥3,且f(3)=4, 由(1)可知f(x)在(2,+∞)上单调递增, 所以f(a2+2a+4)≥f(3),即f(a2+2a+4)≥4.(12分) 所以命题“∀a∈R,f(a2+2a+4)≥4”是真命题.(13分) 16.解析　(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x,所以f(-1)=-f(1)=-3.(3分) (2)因为当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x, 所以当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],且f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.(5分) 因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2+2x,(7分) 所以f(x)=(8分) (3)易知当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x单调递增,且f(x)≥f(0)=0, 因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,所以函数f(x)在[-2,0)上单调递增,且f(x)<f(0)=0,所以函数f(x)在[-2,2]上单调递增.(11分) 由f(2a-1)+f(4a-3)>0可得f(2a-1)>-f(4a-3)=f(3-4a), 所以解得<a≤,(14分) 故实数a的取值范围是.(15分) 17.解析　(1)p(6)=60-16=44,(2分) p(6)的实际意义:当发车时间间隔为6分钟时,该路无人驾驶公交车的载客量为44人.(5分) (2)∵p(t)=t∈N, ∴当5≤t<10时,y=-10=110-≤110-2=38,当且仅当6t=,即t=6时,等号成立,此时y的最大值为38;(9分) 当10≤t≤20时,y=-10=-10, 易知y=-10在t∈[10,20]上单调递减, ∴当t=10时,y取得最大值,为28.4.(13分) ∵38>28.4,∴当发车时间间隔为6分钟时,该路无人驾驶公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.(15分) 18.解析　(1)因为二次函数f(x)满足f(0)=f(1),所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x=,(1分) 又f(x)的最小值是,所以可设f(x)=a+(a≠0),由f(0)=1得a=1,所以f(x)=x2-x+1.(3分) (2)由f(x)=x+m得m=x2-2x+1,即直线y=m与函数y=x2-2x+1,x∈(-1,2)的图象有且只有一个交点,(5分) 作出函数y=x2-2x+1在x∈(-1,2)上的图象(图略), 易得当m=0或m∈[1,4)时二者只有一个交点,所以m的取值范围是{0}∪[1,4).(7分) (3)由题意知g(x)=x2-2tx+1.假设存在实数t满足条件,则对任意的x1,x2∈[4,5]都有|g(x1)-g(x2)|<4成立,即<4,故有[g(x)]max-[g(x)]min<4,x∈[4,5].(9分) g(x)=x2-2tx+1=(x-t)2-t2+1,x∈[4,5], 当t≤4时,[g(x)]max-[g(x)]min=g(5)-g(4)<4,即9-2t<4,解得t>,所以<t≤4;(11分) 当4<t≤时,[g(x)]max-[g(x)]min=g(5)-g(t)<4,即t2-10t+21<0,解得3<t<7,所以4<t≤;(13分) 当<t≤5时,[g(x)]max-[g(x)]min=g(4)-g(t)<4,即t2-8t+12<0,解得2<t<6,所以<t≤5;(15分) 当t>5时,[g(x)]max-[g(x)]min=g(4)-g(5)<4,即2t-9<4,解得t<,所以5<t<. 综上所述,实数t的取值范围为.(17分) 19.解析　(1)y=|f(x)-g(x)|=|x2+x+1|=,x∈[0,1],(1分) 因为x∈[0,1],所以+∈[1,3], 则y=+∈[1,3],(3分) 所以函数f(x),g(x)的“偏差”为3.(4分) (2)令t=f(x)-g(x)=+1-(kx+1)=-kx,x∈[1,2],(5分) 因为k>0,所以t=-kx在[1,2]上单调递减,∴t∈-2k,1-k.(6分) 由题意知y=|t|,t∈-2k,1-k,且ymax=2. 当-2k≤|1-k|,即0<k≤时,ymax=|1-k|=2,解得k=3或k=-1,均不符合题意;(7分) 当-2k>|1-k|,即k>时,ymax=-2k=2,解得k=或k=-(舍去).(9分) 综上,k=.(10分) (3)y=|f(x)-g(x)|=|x2-x-(2x+b)|=|x2-3x-b|=--b,x∈[0,3], 因为x∈[0,3],所以--b∈--b,-b,(12分) 由y=--b,得ymax=max|b|,--b, 令|b|≥--b,即b2≥,解得b≤-,(14分) 故ymax=(16分) 故当b的值为-时,函数f(x)与g(x)的“偏差”取得最小值,为.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$