期末综合检测-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（湘教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 期末综合检测 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=(　　) A.{-2,-1,0,1}　　　　B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0}　　　　D.{-3,-2,-1 } 2.某大学工程学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200人,要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本,则应抽取博士生的人数为(　　) A.20　　　　B.25　　　　 C.40　　　　D.50 3.函数y=+ln(x-4)的定义域为(　　) A.(4,7)　　　　B.(4,7]　　　　 C.(-∞,7]　　　　D.(4,+∞) 4.已知a,b是实数,则“a>b>0且c<d<0”是“<”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数f(x)=ln的图象大致是(　　) 6.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin ωx的图象只要将f(x)的图象(　　) A.向右平移个单位长度　　　　B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度　　　　D.向左平移个单位长度 7.定义域为R的函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x), f(4)=0,且∀x1,x2∈[3,+∞),当x1≠x2时,>0,则不等式(x-3)f(x)<0的解集为(　　) A.(-∞,2)∪(4,+∞)　　　　B.(2,3)∪(4,+∞) C.(2,3)∪(3,4)　　　　D.(-∞,2)∪(3,4) 8.已知a=,b=,c=log34,d=log45,则a,b,c,d的大小关系为(　　) A.b>a>d>c　　　　B.b>c>a>d　　　　C.b>a>c>d　　　　D.a>b>d>c 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列命题是真命题的是(　　) A.若幂函数f(x)=xα的图象过点,则α=- B.∃x∈(0,1),>lox C.∀x∈(0,+∞),lox>lox D.命题“∃x∈R,sin x+cos x<1”的否定是“∀x∈R,sin x+cos x≥1” 10.下列说法不正确的是(　　) A.函数f(x)=在定义域内是减函数 B.若g(x)是奇函数,则一定有g(0)=0 C.已知x>0,y>0,且+=1,若x+y>m2+3m恒成立,则实数m的取值范围是(-4,1) D.已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是[-3,-1] 11.已知函数f(x)=方程[f(x)]2-mf(x)-1=0有4个不同的实数根,则下列选项正确的是(　　) A.函数f(x)的零点的个数为2 B.实数m的取值范围为 C.函数f(x)无最值 D.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则f的值为　　　　　.  13.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是　　　　.  14.已知实数a>0,b>0,且满足ab-a-2b-2=0,则(a+1)(b+2)的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设全集U=R,函数f(x)=log3(-x2+6x-5)的定义域为集合A,集合B={x|2-a<x<1+2a},其中a∈R. (1)当a=1时,求∁U(A∩B); (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围. 16.(15分)从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图). (1)求频率分布直方图中a的值; (2)试估计该小学学生的平均身高; (3)若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取24人参加一项活动,求从身高在[140,150]内的学生中选取的人数.(同一组中的数据用该组区间的组中值作代表) 17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤.若f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为,f(0)=1,求解下列问题. (1)求f(x)的解析式并求f(x)的单调递增区间; (2)请完善表格,然后利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象,并求f(x)在区间上的最值. ωx+φ x f(x) 18.(17分)已知二次函数f(x)的图象经过原点,对称轴为直线x=1,方程f(x)+1=0有两个相等实根. (1)求f(x)的解析式; (2)若对任意x∈,2f(log2x)+m≥0恒成立,求实数m的取值范围; (3)若函数g(x)=与h(x)=k·3x-k-2的图象有且只有一个公共点,求实数k的取值范围. 19.(17分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时, f(x)=-2x2-4x-3. (1)求f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=. ①若∀x∈R,不等式f(m)≤g(x)+恒成立,求实数m的取值范围; ②已知包含实数0的区间D,若∀x1,x2,x3∈D, f(g(x1)), f(g(x2)), f(g(x3))可作为一个三角形的三边长.将区间[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)记为I,定义‖I‖=b-a,设M={y|y=g(x),x∈D},求‖M‖. 答案与解析 1.C　因为集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},所以M∩N={-2,-1,0}. 2.A　由题意得应抽取博士生的人数为×180=20. 3.B　由题意,得解得4<x≤7,故函数的定义域为(4,7]. 4.A　c<d<0⇒<<0⇒->->0, 又∵a>b>0,∴->->0⇒<,故充分性成立, 反过来,不妨取a=-1,d=1,b=1,c=2,则<,但a>b>0且c<d<0不成立,故必要性不成立. 故“a>b>0且c<d<0”是“<”的充分而不必要条件. 5.B　由x->0得-1<x<0或x>1,故函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(1,+∞), 又函数y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增, 所以函数f(x)=ln在(-1,0)和(1,+∞)上均单调递增. 6.A　由题图可知,=-=,所以T=π,所以ω==2,从而f(x)=sin(2x+φ), 又f=sin=-1,因此+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin,所以为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,只需将函数f(x)的图象向右平移个单位长度即可. 7.D　因为f(3+x)=f(3-x),所以直线x=3是函数f(x)图象的对称轴. 又因为∀x1,x2∈[3,+∞),当x1≠x2时,>0, 所以f(x)在[3,+∞)上单调递增,在(-∞,3]上单调递减. 由f(4)=0得f(2)=0, 所以当x∈(-∞,2)时,x-3<0, f(x)>0,满足(x-3)f(x)<0, 当x∈[2,3]时,x-3≤0, f(x)≤0,不满足(x-3)f(x)<0, 当x∈(3,4)时,x-3>0, f(x)<0,满足(x-3)f(x)<0, 当x∈[4,+∞)时,x-3>0, f(x)≥0,不满足(x-3)f(x)<0, 所以不等式(x-3)f(x)<0的解集为(-∞,2)∪(3,4). 8.C　a==(2. 函数y=在[0,+∞)上单调递增,<2<3, 所以<(2<,即b>a>. 函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,log43>0,log45>0,所以2=log416>log415=log43+log45=+2·>2·,所以log43×log45<1,即log45<=log34,即c>d. 函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且4<3, 所以log34<log33=,即c<. 综上,b>a>>c>d. 9.BD　选项A中,4=⇒2-α=22⇒α=-2,故A错误; 选项B中,在同一平面直角坐标系中作出y=与y=lox的图象,设两图象交点的横坐标为x0,则0<x0<1,且当x0<x<1时,>lox,故B正确; 选项C中,当x=2时,lox=lo2=-1, lox=lo2=-log32>-log33=-1,故C错误; 显然选项D正确. 10.ABD　函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,但在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数,故A中说法不正确; 当g(x)是奇函数时,g(0)可能无意义,故B中说法不正确; 由+=1,x>0,y>0,得x+y=(x+y)=2++≥2+2=4,当且仅当x=y时取等号,依题意得m2+3m<4,解得-4<m<1,故C中说法正确; 因为f(x)是增函数,所以解得-3≤a≤-2,故D中说法不正确. 11.ABC　作出f(x)的图象,如图所示, 由图可知, f(x)有x=-2和x=1两个零点,无最值,且在(0,+∞)上不单调,故A,C正确,D错误.令t=f(x),由方程[f(x)]2-mf(x)-1=0有4个不同的实数根,得方程t2-mt-1=0有2个实数根,设这两根分别为t1,t2,t1<t2,易知t1t2=-1. 结合图象可知t1<0,0<t2≤2,所以t1=-≤-, 所以f(x)≤-或0<f(x)≤2. 由[f(x)]2-mf(x)-1=0,得m=f(x)-, 易知函数y=x-在和(0,2]上单调递增, 当f(x)=-时,m=,当f(x)=2时,m=, 所以m≤,故B正确. 12.答案　 解析　由题图得A=2,=-=,故T=π,故ω==2, 由f=2sin=2,得+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又-π<φ<0,所以φ=-,故f(x)=2sin, 所以f=2sin=2sin=2×=. 13.答案　65 解析　由题图得,成绩在[20,60)内的频率是(0.005+0.010)×20=0.3,成绩在[20,80)内的频率为0.3+0.020×20=0.7,故第40百分位数一定位于[60,80)内, 则这次数学测试成绩的第40百分位数为60+×20=65. 14.答案　25 解析　因为ab-a-2b-2=0,所以b=, 因为b>0,所以>0,又a>0,所以a>2, 又b==1+, 所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=a+2b+2+2a+b+2=3a+3b+4 =3a++7=3(a-2)++13≥2+13=25, 当且仅当3(a-2)=,即a=4时,等号成立, 故(a+1)(b+2)的最小值为25. 15.解析　(1)由题意得,-x2+6x-5>0,解得1<x<5,所以A={x|1<x<5},当a=1时,B={x|1<x<3}.(1分) 则A∩B={x|1<x<3},(3分) 所以∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥3}.(6分) (2)由(1)知,A={x|1<x<5}, 由“x∈A”是“x∈B”的充分条件,得A⊆B,(9分) 所以解得a≥2. 综上,实数a的取值范围是{a|a≥2}.(13分) 16.解析　(1)因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1, 所以10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1, 解得a=0.030.(4分) (2)根据题中频率分布直方图,计算样本数据的平均数为(105×0.005+115×0.035+125×0.030+135×0.020+145×0.010)×10=124.5(cm). 所以估计该小学学生的平均身高为124.5 cm.(8分) (3)由题图知,此三个范围内的学生总人数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,(10分) 其中身高在[140,150]内的学生人数为100×10×0.010=10,(13分) 所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为×24=4.(15分) 17.解析　(1)设f(x)的最小正周期为T,∵f(x1)=2,f(x2)=0,|x1-x2|的最小值为,∴=,即T==π,解得ω=2.(2分) 由f(0)=1,可得2sin φ=1,则sin φ=, ∴φ=+2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),(4分) 又|φ|≤,∴φ=,∴f(x)=2sin.(6分) 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(8分) (2)完善表格: ωx+φ 0 π 2π x - f(x) 0 2 0 -2 0 (10分) 描点,连线如图: (13分) 由图可知,当x=时,f(x)取最大值,最大值为2;当x=时,f(x)取最小值,最小值为f=2sin=-.(15分) 18.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(x)的图象经过原点,∴f(0)=c=0. ∵f(x)图象的对称轴为直线x=1, ∴-=1①.(2分) ∵f(x)+1=ax2+bx+1=0有两个相等实根, ∴Δ=b2-4a=0②. 由①②且a≠0可得a=1,b=-2, ∴f(x)=x2-2x.(4分) (2)由题可得2[(log2x)2-2log2x]+m≥0对任意x∈恒成立. 令t=log2x,则t∈[-1,3],m≥-2t2+4t对任意t∈[-1,3]恒成立.(6分) 易知当t=1时,y=-2t2+4t取得最大值2,∴m≥2,即实数m的取值范围为[2,+∞).(8分) (3)∵g(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点, ∴=k·3x-k-2只有一个实数根,即(k-1)·(3x)2-k·3x-1=0只有一个实数根.(10分) 令n=3x,则n>0,(k-1)n2-kn-1=0只有一个正实数根.(12分) 若k=1,则n=-,不符合题意,舍去; 若k≠1,则方程的两个根异号或方程有两个相等的正实数根,(14分) ∴<0或 解得k>1或k=-3. 综上,实数k的取值范围是{k|k=-3或k>1}.(17分) 19.解析　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0,(1分) 当x>0时,-x<0, ∴f(x)=-f(-x)=-[-2(-x)2-4(-x)-3]=2x2-4x+3.(3分) 综上, f(x)=(4分) (2)①g(x)+=+=, 令t=ex+e-x,则t∈[2,+∞),g(x)+=, 易知y=在[2,+∞)上单调递增, ∴当t=2时,ymin=,∴=, ∵不等式f(m)≤g(x)+恒成立,∴f(m)≤,(7分) 当m<0时, f(m)=-2m2-4m-3=-2(m+1)2-1<0≤恒成立; 当m=0时, f(m)=0≤恒成立; 当m>0时, f(m)=2m2-4m+3,令2m2-4m+3≤,则≤m≤. 综上,m的取值范围是(-∞,0]∪.(10分) ②不妨设f(g(x1))≤f(g(x2))≤f(g(x3)). 由已知得f(g(x1))+f(g(x2))>f(g(x3)), 则∀x∈D,都有2f(g(x))min>f(g(x))max.(13分) 由①可得g(x)≥1,令k=g(x),则k≥1, f(g(x))=f(k)=2k2-4k+3=2(k-1)2+1≥1, ∴f(g(x))min=1,(15分) ∵2f(g(x))min>f(g(x))max, ∴2>2k2-4k+3,即2k2-4k+1<0,解得1-<k<1+, 又k≥1,所以1≤k<1+,即1≤g(x)<1+, ∴M=,则‖M‖=.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$