期末综合测试-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（苏教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 期末综合测试 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知集合A={x|x>4},B={x|x<2m},且A⊆∁RB,则实数m的取值范围是　　(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.(-∞,3] D.(-∞,4] 2.“-1<a<0”是“不等式ax2+ax-1<0对任意的实数x恒成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知某种蔬菜的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)近似满足y=ekx+b(k,b为常数,e为自然对数的底数),若该品种蔬菜在5 ℃时的保鲜时间为216小时,在25 ℃时的保鲜时间为24小时,则在15 ℃时,该品种蔬菜的保鲜时间大约为(　　) A.120小时 B.96小时 C.72小时 D.64小时 4.函数f(x)=2xlog3|x|-2x+的部分图象大致为(　　) 5.已知函数f(x)=在定义域上是单调函数,则实数k的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.(1,+∞) 6.已知函数f(x)=sin(ω>0),若f(x)在区间上没有零点,则当ω取最大值时, f=(　　) A.- B.0 C. D.1 7.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), f(0)=1, f(3x+1)=-f(-3x+1),则f(k)=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 8.已知a=,b=,c=log34,d=log45,则a,b,c,d的大小关系为(　　) A.b>a>d>c B.b>c>a>d C.b>a>c>d D.a>b>d>c 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知实数a,b,c,则下列结论正确的是(　　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2>ab D.若a>b>1,则a->b- 10. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长或缩短为原来的(k>0),得到g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　) A.若k=2,则g(x)的最小正周期为π B.若k=,则为g(x)的图象的一个对称中心 C.若g为偶函数,则k的最小值为1 D.f(x)的单调递增区间为,m∈Z 11.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)为增函数 B.∀x1,x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|<1 C.若f(x)<在x∈[n,+∞)上恒成立,则自然数n的最小值为2 D.若关于x的方程2m(f(x))2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)有三个不同的实数根,则-8≤m<-4 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知tan(5π+α)=2,则的值为　　　　.  13.已知函数f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  14.用M(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记M(x)=min{f(x),g(x)}.设函数f(x)=ex-1+x-2,g(x)=-x2+(a-1)x-a.若对于任意的x∈R,都有M(x)≤0,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=x2-ax-a,g(x)=(a+1)x2-(1+2a)x-a+1(a∈R). (1)若f(x)在区间[0,2]上的最大值为2,求实数a的值; (2)当a>0时,求不等式f(x)>g(x)的解集. 16.(15分)若函数f(x)满足f(x+3)=-f(x)且f(5+x)=f(-x)(x∈R),则称函数f(x)为“M函数”.已知函数g(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<为“M函数”. (1)求函数g(x)的解析式; (2)将函数g(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再将所得图象向左平移a(a>0)个单位长度,得到的图象关于y轴对称,求实数a的最小值; (3)讨论h(x)=g(x)-在[m,m+3](m∈R)上零点的个数. 17.(15分)已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1). (1)试判断函数f(x)的奇偶性; (2)当a=2时,求函数f(x)的值域; (3)若g(x)=x-2,∀x1∈[-4,4],∃x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)≥2,求实数a的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值; (2)解关于x的不等式f(x2+2x-3)+f(1-3x)<0; (3)是否存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域是?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),点P在其图象上. (1)若函数g(x)=mf(2x)+(2m-1)f(x)有最小值,求实数m的取值范围; (2)设函数h(x)=若存在非零实数x0,使得h(-x0)=h(x0),求实数λ的取值范围. 答案全解全析 1.B　易得∁RB={x|x≥2m}.因为A⊆∁RB,所以2m≤4,解得m≤2. 2.A　当a=0时,不等式为-1<0,显然恒成立; 当a≠0时,需满足解得-4<a<0. 综上所述,-4<a≤0. 所以“-1<a<0”是“不等式ax2+ax-1<0对任意的实数x恒成立”的充分不必要条件. 3.C　由题意得两式相除,得e-20k=9, 所以e15k+b=e25k+b·e-10k=e25k+b·(e-20k=24×3=72, 所以在15 ℃时,该品种蔬菜的保鲜时间大约为72小时. 4.B　因为f(x)=2xlog3|x|-2x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=-2xlog3|x|+2x-=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除C,D.又f(1)=-2+1=-1<0,故排除A. 5.D　因为函数y=1-x在(-∞,0]上单调递减,函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以y==(1-x在(-∞,0]上单调递增. 因为f(x)在定义域上是单调函数,所以当x>0时,y=logk(x+k)也单调递增,所以解得k>1. 6.C　∵x∈,ω>0,∴ωx-∈. ∵f(x)在区间上没有零点,∴π≥kπ且-≤(k+1)π,k∈Z,解得4k+1≤ω≤2k+,k∈Z. ∵ω>0,∴取k=0,则1≤ω≤,∴ωmax=,此时f(x)=sin,∴f=sin =. 7.D　令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,故f(x)为偶函数. 因为f(3x+1)=-f(-3x+1),所以令x=0,则f(1)=-f(1),所以f(1)=0. 由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0, 所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称, f(2)=-f(0)=-1. 因为f(x+1)+f(-x+1)=0,所以f(x+2)=-f(-x),又f(x)为偶函数, 所以f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4, 故f(3)=f(-1)=f(1)=0, f(4)=f(0)=1, 故f(k)=f(0)+[f(1)+f(2)+…+f(2 024)]=1+506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=1+506×(0-1+0+1)=1. 8.C　a==(2. 函数y=在[0,+∞)上单调递增,<2<3,所以<(2<,即b>a>. 函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,log43>0,log45>0,所以2=log416>log415=log43+log45=+2·>2·,所以log43×log45<1,即log45<=log34,即c>d. 函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且4<3,所以log34<log33=,即c<. 综上,b>a>>c>d. 9.ACD　对于A,若ac2>bc2,则c2>0,由不等式的基本性质可得a>b,故A正确; 对于B,若a>b,不妨取a=1,b=-1,则a2=b2,故B错误; 对于C,若a<b<0,则由不等式的基本性质可得a2>ab,故C正确; 对于D,因为a>b>1,所以ab>1,a-b>0, 则-=a-b+=a-b-=>0, 所以a->b-,故D正确. 10.BCD　由题图可得A=2.由f(x)的图象过点(0,1),得2sin φ=1, ∴sin φ=.又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.根据函数f(x)的图象关于直线x=对称及“五点作图法”可得ω·+=,解得ω=2,故f(x)=2sin.所以g(x)=2sin. 对于A,当k=2时,g(x)=2sin,则g(x)的最小正周期T==,故A错误. 对于B,当k=时,g(x)=2sin,由g=0,得点是g(x)的图象的一个对称中心,故B正确. 对于C,g=2sin,因为g是偶函数,所以+=+nπ,n∈Z,所以k=1+3n,n∈Z,又k>0,所以k的最小值为1,故C正确. 对于D,令2mπ-≤2x+≤2mπ+,m∈Z,得mπ-≤x≤mπ+,m∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,m∈Z,故D正确. 11.BCD　当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),所以f(x-1)=, 又f(x)=f(x-1),所以当x∈[1,2)时, f(x)=; 当x∈[2,3)时,x-1∈[1,2),所以f(x-1)=, 又f(x)=f(x-1),所以当x∈[2,3)时, f(x)=; 当x∈[3,4)时,x-1∈[2,3),所以f(x-1)=, 又f(x)=f(x-1),所以当x∈[3,4)时, f(x)=; 由此可知,当x∈[n,n+1)时, f(x)=, 作出函数y=f(x)的部分图象,如图①所示: 图① 由图①可知,函数f(x)不是增函数,故A错误; 易知f(x)∈[0,1),所以∀x1,x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|<1,故B正确; 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象和直线y=,如图②所示: 图② 由图②可知,当x∈[2,+∞)时, f(x)<恒成立,所以自然数n的最小值为2,故C正确; 令t=f(x),则t∈[0,1),方程2m(f(x))2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)等价于2mt2+(m+2)t+1=0(m∈R),即(mt+1)(2t+1)=0,解得t=-或t=-(舍去),在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象,直线y=和直线y=,如图③所示: 图③ 由图③可知,当-∈,即-8≤m<-4时,关于x的方程2m(f(x))2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)有三个不同的实数根,故D正确. 12.答案　3 解析　　由tan(5π+α)=2,得tan α=2, 所以===3. 13.答案　(1,4) 解析　　设t=4-ax. 因为a>0且a≠1,所以函数t=4-ax在[0,1]上单调递减. 又函数f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1)在[0,1]上单调递减, 所以函数y=logat在定义域上单调递增,且对任意的x∈[0,1],t=4-ax>0恒成立,所以a>1,且tmin=4-a>0,所以1<a<4, 故实数a的取值范围是(1,4). 14.答案　(-∞,3+2] 解析　　因为函数y=ex-1,y=x-2在R上均单调递增,所以f(x)=ex-1+x-2在R上单调递增,且f(1)=0,所以当x≤1时, f(x)≤f(1)=0,当x>1时, f(x)>f(1)=0. 又M(x)≤0,所以当x>1时,g(x)≤0恒成立, 即当x>1时,a(x-1)≤x2+x,即a≤恒成立. 因为x>1,所以x-1>0,所以==(x-1)++3≥3+2,当且仅当x-1=,即x=1+时,等号成立,∴a≤3+2,故实数a的取值范围为(-∞,3+2]. 15.解析　　(1)函数f(x)=x2-ax-a的图象的对称轴为直线x=,(1分) 当≤1,即a≤2时, f(x)max=f(2)=4-3a=2,解得a=;(3分) 当>1,即a>2时, f(x)max=f(0)=-a=2,解得a=-2,不满足a>2.(5分) 综上,a=.(6分) (2)由题知,g(x)-f(x)=ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)<0,而a>0, 因此不等式为(x-1)<0,(8分) 当<1,即a>1时,不等式(x-1)<0的解集为; 当=1,即a=1时,不等式(x-1)<0的解集为⌀; 当>1,即0<a<1时,不等式(x-1)<0的解集为.(11分) 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为; 当a=1时,原不等式的解集为⌀; 当0<a<1时,原不等式的解集为.(13分) 16.解析　　(1)由f(x+3)=-f(x)得f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数. 由f(5+x)=f(-x)得f(5-x)=f(x),所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴.(2分) 因为函数g(x)为“M函数”,所以ω==,又因为直线x=是g(x)图象的一条对称轴,所以×+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,所以g(x)=2sin.(5分) (2)易得将g(x)的图象变换后得到的图象对应的解析式为y=2sin=2sin.(6分) 因为y=2sin的图象关于y轴对称,所以πa-=kπ+(k∈Z),解得a=k+(k∈Z).(8分) 因为a>0,所以k=0时,a取得最小值,为.(9分) (3)结合(1)得h(x)=2sin-.(10分) 令h(x)=0,得sin=,所以x-=2kπ+或x-=2kπ+(k∈Z),解得x=6k+2或x=6k+3(k∈Z). 因为h(x)的最小正周期T==6,所以当x∈[m,m+3]时,h(x)至多有2个零点.(12分) 若(k∈Z),则6k≤m≤6k+2(k∈Z),此时h(x)在[m,m+3]上零点的个数为2; 若(k∈Z),则6k+2<m≤6k+3(k∈Z),此时h(x)在[m,m+3]上零点的个数为1; 当6k+3<m<6k+5(k∈Z)时,6k+6<m+3<6k+8(k∈Z),此时h(x)在[m,m+3]上零点的个数为0; 当6k+5≤m<6k+6(k∈Z)时,6k+8≤m+3<6k+9(k∈Z),此时h(x)在[m,m+3]上零点的个数为1.(14分) 综上,k∈Z,当6k+3<m<6k+5时,h(x)在[m,m+3]上零点的个数为0;当6k+2<m≤6k+3或6k+5≤m<6k+6时,h(x)在[m,m+3]上零点的个数为1;当6k≤m≤6k+2时,h(x)在[m,m+3]上零点的个数为2.(15分) 17.解析　　(1)易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 因为f(-x)=loga=loga=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2分) (2)当a=2时, f(x)=log2. 因为2x>0,所以=2x+≥2,当且仅当2x=1,即x=0时取等号, 所以f(x)=log2≥log22=1,即函数f(x)的值域为[1,+∞).(5分) (3)因为∀x1∈[-4,4],∃x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)≥2, 所以f(x)min≥g(x)min+2.(7分) 在函数y=g(x)+2=x-2+2(x∈[0,4])中,令t=,则t∈[0,2],原函数等价为h(t)=t2-2t+2,所以y=g(x)+2在[0,4]上的最小值等于h(t)在[0,2]上的最小值. 易知h(t)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增, 所以h(t)在[0,2]上的最小值为h(1)=1.(9分) 因为f(x)为偶函数,所以f(x)在[-4,4]上的最小值等于f(x)在[0,4]上的最小值.设v(x)=,则f(x)=logav(x). 任取x1,x2∈[0,4],且x1<x2,则v(x1)-v(x2)=-=(-), 因为0≤x1<x2≤4,所以-<0,x1+x2>0,>1,1->0, 所以(-)<0,即v(x1)<v(x2), 所以v(x)=在[0,4]上单调递增.(12分) 当0<a<1时,函数f(x)=logav(x)在[0,4]上单调递减, 所以f(x)min=f(4)=loga=loga, 所以loga≥1,解得a≥(舍去). 当a>1时,函数f(x)=logav(x)在[0,4]上单调递增, 所以f(x)min=f(0)=loga2,所以loga2≥1,解得a≤2, 又a>1,所以1<a≤2.(14分) 综上,实数a的取值范围为(1,2].(15分) 18.解析　　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0,即=0,解得a=1.(2分) 经检验,满足题意,∴a=1.(3分) (2)由(1)知, f(x)=.任取x1,x2∈R且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-= =. ∵x1<x2,∴-<0,又+1>0,+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数.(6分) 原不等式可化为f(x2+2x-3)<-f(1-3x),即f(x2+2x-3)<f(3x-1), ∴x2+2x-3<3x-1,∴x2-x-2<0,∴-1<x<2, ∴原不等式的解集为(-1,2).(9分) (3)假设存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域是,则即 ∴方程2xf(x)=k,即2x·=k有两个不相等的实数根, ∴方程-(k+1)2x-k=0有两个不相等的实数根.(13分) 令2x=t,则t>0,故方程t2-(k+1)t-k=0有两个不相等的正根, 故解得-3+2<k<0, ∴存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域是, 此时k的取值范围为(-3+2,0).(17分) 19.解析　　(1)由题意可知, f(-2)=a-2=,因为a>0,且a≠1,所以a=2, 所以f(x)=2x,则g(x)=mf(2x)+(2m-1)f(x)=22xm+(2m-1)2x.(2分) 令s=2x(s>0),则原函数即为y=ms2+(2m-1)s, 当m=0时,y=-s,在(0,+∞)上无最小值,不符合题意; 当m≠0时,要使得函数y=ms2+(2m-1)s在(0,+∞)上有最小值, 则需所以0<m<. 故实数m的取值范围是.(5分) (2)由(1)知f(x)=2x,所以h(x)= ①当0<|x0|≤2时,由h(-x0)=h(x0),得-λ·-4=-λ·-4,所以λ==+, 不妨设t=,0<x0≤2,则t∈(1,4],λ=t+, 由对勾函数的性质可知,函数y=t+在(1,4]上单调递增, 则λ=t+∈;(9分) ②当2<|x0|<3时,不妨设x0∈(2,3), 由h(-x0)=h(x0),得cos=-λ·-4, 所以λ=-, 令m(x)=,p(x)=2x-,其中x∈(2,3), 任取x1,x2∈(2,3),且x1<x2,则<<<, 易知余弦函数y=cos x在上单调递减, 所以cos>cos>0,则cos+4>cos+4>0, 因为>>0,所以>>0, 由不等式的基本性质可得>>0,即m(x1)>m(x2), 所以函数m(x)=在(2,3)上单调递减, 又因为函数y=2x在(2,3)上单调递增, 所以函数p(x)=2x-在(2,3)上单调递增, 又p(2)=4-=,p(3)=8-=, 所以当x∈(2,3)时,p(x)∈,即λ∈;(13分) ③当|x0|≥3时,不妨设x0≥3,由h(x0)=h(-x0),可得-λ·-4=2,则λ=-,令q(x)=2x-,x∈[3,+∞), 因为函数y=2x,y=-在[3,+∞)上单调递增, 所以函数q(x)=2x-在[3,+∞)上单调递增, 则q(x)≥q(3)=8-=,即λ≥. 综上所述,实数λ的取值范围是(2,+∞).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$