第7章 三角函数-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（苏教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第7章　三角函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A.4 B.2 C. D. 2.已知α为第三象限角,sin α=-,则cos(π-α)+sin=(　　) A.0 B.1 C. D. 3.函数f(x)=的图象大致为(　　) 4.已知函数f(x)=sin(ω>0),直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,且f(x)在上单调,则ω=(　　) A.2 B.5 C.6 D.11 5. 已知函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数,则(f(x))2+=(　　) A.5 B.2 C. D. 6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若g(x)=f(x)+1在上有且仅有3个零点,则ω的最小值为(　　) A. B.3 C. D. 7.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)在区间上单调,且f=f=-f,当x=时, f(x)取到最大值2,若将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>1的解集为(　　) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 8.已知函数f(x)=4,若存在实数x1,x2,…,xn,当x1<x2<…<xn时,|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=2 021,则正整数n的最小值为(　　) A.505 B.506 C.507 D.508 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知θ∈,sin θ+cos θ=,则下列结论正确的有(　　) A.θ∈ B.cos θ= C.tan θ=- D.cos θ-sin θ= 10.已知函数f(x)=sin+cos,下列说法中正确的是(　　) A. f(x)=sin B.函数f(x)的最大值为 C.函数f(x)的最小正周期是π D. f(x)在上单调递增 11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,将其图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点中心对称 B.函数f(x)在上单调递增 C.当x∈时,函数f(x)的最大值为 D.函数g(x)=f(x)-在上恰有3个不同的零点 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若函数f(x)=tan(ω≠0)的最小正周期是,则ω=　　　　.  13.已知角α的终边上有一点P(m,2m),m≠0,则=　　　　　.  14.已知函数f(x)=sin在上单调递增,且f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合.若方程f(x)=-在上的解为x1,x2,则f(x1+x2)=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若f(α)=2,分别求和4sin2α-3sin αcos α的值. 16.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式及f(x)图象的对称中心; (2)若f =,求cos的值; (3)先将f(x)的图象的纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向右平移个单位长度,得到h(x)的图象,求函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间. 17.(15分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图,筒车的半径r=4 m,轴心O距离水面2 m,筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间. (1)将点P到水面的距离z(单位:m,在水面下,z为负数)表示为时间t(单位:min)的函数; (2)已知盛水筒Q与盛水筒P相邻,Q位于P的逆时针方向一侧.若盛水筒P和Q均在水面上方,且距离水面的高度相等,求时间t. 18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若关于x的方程+2asin-2a+2=0在上有解,求实数a的取值范围. 19.(17分)对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质. (1)若f(x)=sin x与g(x)=cos 2x具有“m关联”性质,求m的取值范围; (2)已知a>0, f(x)是定义在R上的奇函数,且满足: ①在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1; ②对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0. 求证:y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质. 答案全解全析 1.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为×2×=1,可得α=2. 2.C　由题意得cos α=-=-,所以cos(π-α)+sin=-2cos α=. 3.A　易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)===f(x), 所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D; 当x∈(0,π)时,sin x>0,2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B. 4.B　当x∈时,ωx-∈,又f(x)在上单调,所以-≤,所以0<ω≤10. 因为直线x=为f(x)图象的一条对称轴,所以-=+kπ(k∈Z), 解得ω=5+6k(k∈Z).结合0<ω≤10,得ω=5. 5.D　因为函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数, 所以2f(-x)-sin(-x)=2f(x)-sin x,即f(x)-f(-x)=sin x,① f(-x)-cos(-x)=-f(x)+cos x,即f(x)+f(-x)=2cos x,② 联立①②可得f(x)=(sin x+2cos x), 所以f ==(cos x-2sin x), 因此(f(x))2+=(sin x+2cos x)2+(cos x-2sin x)2=(sin2x+4sin xcos x+4cos2x)+(cos2x-4sin xcos x+4sin2x)=. 6.A　由题图知, f(0)=2sin φ=,即sin φ=,又<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2sin,所以g(x)=2sin+1. 令g(x)=0,得sin=-. 因为≤x≤π,所以+≤ωx+≤ωπ+. 因为g(x)=f(x)+1在上有且仅有3个零点, 所以解得≤ω≤3,所以ω的最小值为. 7.A　∵f(x)在区间上单调,∴≥-=,即T≥, ∴≥,∴0<ω≤3. ∵f =f ,∴直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴. ∵f =-f ,∴是函数f(x)图象的一个对称中心. ∵T≥,∴直线x=和是函数f(x)图象相邻的对称轴和对称中心,∴×=-,又ω>0,∴ω=2. ∵函数f(x)的最大值为2,∴f(x)=2sin(2x+φ). ∵当x=时, f(x)取到最大值2,∴2×+φ=+2kπ,k∈Z, ∴φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin. 根据题意可知g(x)=2sin, ∵g(x)>1,∴2sin>1,即sin>, ∴+2kπ<x+<+2kπ,k∈Z,解得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z, ∴不等式g(x)>1的解集是,k∈Z. 8.C　易知f(x)=4∈[0,4],所以f(x)min=0, f(x)max=4,所以|f(x1)-f(x2)|≤4,当且仅当f(x1)与f(x2)中一个为0,另一个为4时取得最大值4. 为使满足|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=2 021的正整数n最小,只需|f(xi)-f(xi+1)|(1≤i≤n-1,i∈N*)尽可能多的取得最大值4,又505×4=2 020<2 021,所以至少需要506个|f(xi)-f(xi+1)|(1≤i≤n-1,i∈N*)才能使|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=2 021,此时n-1=506,解得n=507. 9.ACD　对sin θ+cos θ=的等号两边分别平方,得sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=,因为sin2θ+cos2θ=1,所以2sin θcos θ=-<0, 又θ∈,所以θ∈,sin θ<0,cos θ>0. 易得(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,cos θ-sin θ>0, 所以cos θ-sin θ=.与sin θ+cos θ=联立,解得sin θ=-,cos θ=, 所以tan θ==-. 10.BD　∵cos=cos=cos-+x=sin, ∴f(x)=sin,故A不正确;函数f(x)的最大值是,故B正确;函数f(x)的最小正周期是2π,故C不正确;当x∈-,时,x+∈,⫋,∴函数f(x)在区间-,上单调递增,故D正确. 11.ABD　由题意得ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),将其图象向右平移个单位长度,得到函数f=sin2+φ=sin2x-+φ的图象.因为f为偶函数,所以-+φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<, 所以φ=-,所以f(x)=sin. 对于A, f =sin=0,故A正确. 对于B,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=0时,-≤x≤,因为⫋,所以函数f(x)在上单调递增,故B正确. 对于C,当x∈时,-≤2x-≤,所以-≤sin≤1,所以函数f(x)的最大值为1,故C错误. 对于D,令g(x)=f(x)-=sin-=0,得2x-=2kπ+,k∈Z或2x-=2kπ+,k∈Z,所以x=kπ+,k∈Z或x=kπ+,k∈Z,所以函数g(x)=f(x)-在上的零点为x=,x=,x=,共3个,故D正确. 12.答案　2或-2 解析　　由题知,T==,即|ω|=2,解得ω=±2. 13.答案　-3 解析　　由角α的终边上有一点P(m,2m),可得tan α=2, 则====-3. 14.答案　 解析　　设f(x)的最小正周期为T,则T≥-=,故T≥. 因为f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合,所以T=π,即=π,解得ω=±2. 若ω=-2,则f(x)=sin=-sin, 当x∈时,2x-∈, 所以f(x)在上单调递减,与题意不符. 若ω=2,则f(x)=sin, 当x∈时,2x+∈, 所以f(x)在上单调递增,满足要求. 综上, f(x)=sin. 当x∈时,2x+∈(π,2π),则由f(x)图象(图略)的对称性得=,所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=f =sin=sin=. 15.解析　　(1)f(α)= ==-tan α.(5分) (2)结合(1)知tan α=-2, 所以===3,(9分) 4sin2α-3sin αcos α====.(13分) 16.解析　　(1)由题图可知,A=2,T=-=,所以T==π,又ω>0,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(2分) 又函数f(x)的图象过点,所以2=2sin,所以+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(5分) 令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z, 所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z.(7分) (2)由(1)及题意,得f =2sin=,即sin=. 因为-=, 所以cos=cos=-sin=-.(10分) (3)易得h(x)=sin=-cos 2x.(12分) 因为x∈,所以2x∈, 令π≤2x≤,解得≤x≤, 所以函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间为.(15分) 17.解析　　(1)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 设P(x,y),则点P到水面的距离z=y+2,=sin α,其中α是以Ox为始边,OP为终边的角. 由点O到水面的距离为2 m,半径r=4 m,知∠P0Ox=.(2分) 由该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,得∠P0OP=×t=πt,则α=πt-,则y=rsin α=4sin,则z=4sin+2,t≥0.(5分) (2)由筒车上均匀分布了12个盛水筒,得∠POQ=. 设Q(xQ,yQ),则=sin,由(1)知,α=πt-,(7分) 所以yQ=4sin=4sin πt,又P点的纵坐标y=4sin,所以sin πt=sin,(10分) 则πt=πt-+2kπ或πt=π-+2kπ,k∈Z,解得t=k+,k∈N. 由盛水筒P和Q均在水面上方,得4sin πt>-2,即sin πt>-,(13分) 则2kπ-<πt<2kπ+,k∈Z,则t=2k+,k∈Z, 由t>0得t=2k+,k∈N.(15分) 18.解析　　(1)由题图可得A=2,最小正周期T=4×=π,则ω===2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(3分) 因为f =2sin=2,所以sin=1,所以φ+=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=, 所以f(x)=2sin.(6分) (2)由+2asin-2a+2=0,可得sin2+2a·sin-2a+2=0,即sin2-2acos-2a+2=0, 即1-cos2-2acos-2a+2=0, 即cos2+2acos+2a-3=0,其中x∈.(10分) 因为x∈,所以<2x+<π, 令t=cos,则t∈,t2+2at+2a-3=0, 则关于t的方程t2+2at+2a-3=0在上有解.(13分) 由t2+2at+2a-3=0可得2a=, 令s=t+1,则s∈,t=s-1,则2a==-s+2, 令h(s)=-s+2,s∈, 因为函数y=,y=2-s在上均单调递减, 所以函数h(s)=-s+2在上单调递减,所以h(s)>h=, 所以2a>,解得a>,故实数a的取值范围是.(17分) 19.解析　　(1)由题意可知f(x)=sin x∈[-1,1],g(x)=cos 2x∈[-1,1],故f(x1)+g(x2)∈[-2,2],则m的取值范围为[-2,2].(2分) (2)证明:因为在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1, f(x)是定义在R上的奇函数,所以在[-2a,0]上,当且仅当x=-时, f(x)取得最小值-1.(4分) 由对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0,可知f(x)的图象关于点(a,0)对称. 易得f(a+x)=-f(a-x)=f(x-a),即f(x+2a)=f(x),故2a为函数f(x)的周期,故f(x)∈[-1,1].(8分) 易知sin πx∈[-1,1],cos πx∈[-1,1]. 当f(x)=1时,x=+2na,n∈Z, 当sin πx=1时,x=+2k,k∈Z, 若+2na=+2k,则a=,k,n∈Z,此时y1=sin πx+f(x)=2,取得最大值;(11分) 当f(x)=-1时,x=-+2pa,p∈Z, 当cos πx=1时,x=2t,t∈Z, 若-+2pa=2t,则a=,t,p∈Z,此时y2=cos πx-f(x)=2,取得最大值.(14分) 由于a=≠,故sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)<4, 即不存在x1∈R,x2∈R,使得sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)=4, 所以y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$