第5章 函数概念与性质-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（苏教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第5章　函数概念与性质 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=+(x-1)0的定义域为(　　) A. B.∪(1,+∞) C.∪(1,+∞) D. 2.函数y=1-x+的值域为(　　) A. B.[0,+∞) C. D. 3.函数f(x)=的图象大致为(　　) A　　　B C　　　D 4.设函数f(x)的定义域为R,则“函数y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“函数f(x)为奇函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=2 024x3-5x+b+2,则f(a)+f(b)=(　　) A.0 B.-1 C.1 D.2 6.若函数f(x)=的值域为R,则实数m的取值范围为(　　) A.[-3,4] B.[-2,0] C.[-5,0] D.[-5,4] 7.已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,且f(2)=2,则不等式f(x)>x的解集为(　　) A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 8.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f =1,如果对于任意x,y∈(0,+∞),且x<y,都有f(x)>f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为(　　) A.[-4,0) B.[-1,0) C.(-∞,0] D.[-1,4] 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=若f(a)=2,则f(5-a)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 10.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)在(-∞,-2)上单调递增 C.关于x的方程|f(x)|=1有2个解 D.若关于x的不等式f(x)+a+2<0恰有1个整数解,则正实数a的取值范围是(0,1) 11.已知f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,若对任意的x1,x2∈(1,2),且x1≠x2,都有>0,则下列结论正确的是　　(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(2 023)=0 C.f(x)的图象关于点(1,0)对称 D.f <f 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.用max{a,b}表示a,b中的较大者.设f(x)=max{x+2,x2-3x+5},则函数f(x)的最小值是　　　　.  13.已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.  14.已知f(x),g(x)是定义域为R的函数,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,满足f(x)+g(x)=ax2+x+2,若对任意的x1,x2∈(1,2),且x1<x2,都有>-5成立,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)为[-1,1]上的偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2-ax,且f =. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若实数t满足不等式f(t-1)>f(-2t),求t的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)=是R上的奇函数,且f(1)=. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值; (3)若f(x)<m2-2am+对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知M={x∈R|x≠0且x≠1}, fn(x)(n=1,2,…)是定义在M上的一系列函数,满足f1(x)=x, fi+1(x)=fi(i∈N*). (1)求f3(x), f4(x)的解析式; (2)若g(x)为定义在M上的函数,且g(x)+g=1+x. ①求g(x)的解析式; ②若方程(2x-1-m)[2x(x-1)g(x)+3x2+x+1]+8x2+4x+2=0有且仅有一个实数根,求实数m的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=+. (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)设F(x)=[(f(x))2-2]+f(x)(a<0),求F(x)的最大值g(a); (3)对于(2)中的g(a),若-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,求实数m的取值范围. 19.(17分)设a,b∈R,若函数f(x)对定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)对定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=. (1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称; (2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围. 答案全解全析 1.C　要使函数f(x)=+(x-1)0有意义, 则需解得x>,且x≠1, 所以函数f(x)的定义域为∪(1,+∞). 2.C　令t=(t≥0),则x=,所以y=1++t=+t+=, 记g(t)=,则g(t)在[0,+∞)上单调递增, 所以当t=0时,g(t)取得最小值,为, 所以函数y=1-x+的值域为. 3.D　易知函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,C; 当x>0时, f(x)==x-,又y=x在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故D符合. 4.B　取f(x)=3,则y=|f(x)|=3,其图象关于y轴对称,但函数f(x)为奇函数不成立; 若函数f(x)为奇函数,则|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,即y=|f(x)|是偶函数,其图象关于y轴对称,即必要性成立. 因此“函数y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件. 5.A　∵f(x)是[a-4,2a-2]上的奇函数, ∴a-4+2a-2=0,解得a=2,此时定义域为[-2,2]. 又f(0)=b+2=0,所以b=-2,所以f(x)=2 024x3-5x,经检验,满足题意, 所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0. 6.C　在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2-x-4和y=-2x-4的图象,如图所示. 令x2-x-4=-2x-4,得x2+5x=0,解得x=-5或x=0, 所以函数y=x2-x-4和y=-2x-4图象的交点的横坐标为-5和0. 所以要使函数f(x)的值域为R,需满足-5≤m≤0,即实数m的取值范围为[-5,0]. 7.B　不妨设x1<x2,则由x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,<0,得x1 f(x2)<x2 f(x1),所以 >. 构造函数g(x)=,其中x≠0,则g(x1)>g(x2),所以g(x)在(0,+∞)上单调递减. 易知g(x)的定义域关于原点对称,g(-x)===g(x),所以g(x)为偶函数,所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递增. 因为f(2)=2,所以g(2)==1,g(-2)=g(2)=1. 当x>0时,由f(x)>x,得g(x)=>1=g(2),所以0<x<2. 当x<0时,由f(x)>x,得g(x)=<1=g(-2),所以x<-2. 综上,不等式f(x)>x的解集为(-∞,-2)∪(0,2). 8.B　令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=,y=2,得f(1)=f(2)+f ,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2. 由f(-x)+f(3-x)≥-2,可得f(x2-3x)≥f(4). 因为函数f(x)的定义域是(0,+∞),对于任意x,y∈(0,+∞),且x<y,都有f(x)>f(y),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以即解得-1≤x<0, 故不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为[-1,0). 9.BC　当a<0时,令2a+2=2,得a=0,与a<0矛盾. 当0≤a≤4时,令=2,得a=4. 当a>4时,令a2-8a+14=2,得a=2(舍去)或a=6. 综上,当a=4或a=6时,满足f(a)=2. 当a=4时, f(5-a)=f(1)==1. 当a=6时, f(5-a)=f(-1)=2×(-1)+2=0. 综上, f(5-a)=0或1. 10.ACD　易知函数f(x)=的定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞),关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确. 当x∈(-∞,-2)时, f(x)==-=-=-1+,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,故B错误. 作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 求方程|f(x)|=1的解的个数,即求函数y=f(x)的图象与直线y=1和直线y=-1的交点个数和,由图可知,共有2个交点,故方程|f(x)|=1有2个解,故C正确. f(x)+a+2<0,即f(x)<-a-2. 由图可知,当-a-2≥-1时,不等式有无数个整数解;当-a-2<-1时,在区间[0,2)上无整数解,所以只需f(-3)<-a-2≤f(-4),即-3<-a-2≤-2,解得0≤a<1.又a为正实数,所以正实数a的取值范围是(0,1),故D正确. 11.ABC　因为f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,同时也关于直线x=2对称,故C正确; 因为f(1+x)=-f(1-x), f(2+x)=f(2-x), f(1)=0, 所以f(2+x)=f(2-x)=f(1+1-x)=-f[1-(1-x)]=-f(x), 所以f(x+4)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)的值每4个为一组重复出现. 所以f(-1)=f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1)=0, 所以f(2 023)=f(4×506-1)=f(-1)=0,故B正确; 因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(2+x)=-f(2-x)=f[2-(2-x)]=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确; 对任意的x1,x2∈(1,2),且x1≠x2,都有 >0,即1<x1<x2<2时, f(x1)<f(x2),所以f(x)在(1,2)上单调递增, 又f =f , f =f =f =f ,2>>>1,所以f >f ,所以f >f ,故D错误. 12.答案　3 解析　　在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2-3x+5的图象,则f(x)的图象如图中实线部分所示, 由图象可得, f(x)min=f(1)=3. 13.答案　[-5,-2] 解析　　由题意得解得-5≤a≤-2, 所以实数a的取值范围为[-5,-2]. 14.答案　 解析　　由f(x)+g(x)=ax2+x+2,得f(-x)+g(-x)=ax2-x+2. 因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以-f(x)+g(x)=ax2-x+2. 联立得g(x)=ax2+2. 因为对任意的x1,x2∈(1,2),且x1<x2,都有>-5成立, 所以g(x1)-g(x2)<-5x1+5x2,即g(x1)+5x1<g(x2)+5x2. 构造函数h(x)=g(x)+5x=ax2+5x+2,则h(x)在(1,2)上单调递增. 当a<0时,h(x)的图象开口向下,则-≥2,所以-≤a<0. 当a=0时,h(x)=5x+2,在(1,2)上单调递增,满足题意. 当a>0时,h(x)的图象开口向上,则x=-≤1,恒成立. 综上,实数a的取值范围是. 15.解析　　(1)由题意得f =f =,即+a=,解得a=1. 所以当x∈[-1,0]时, f(x)=x2-x.(3分) 当0<x≤1时,-1≤-x<0,所以f(-x)=x2+x,所以f(x)=f(-x)=x2+x.(5分) 综上, f(x)=(6分) (2)易知f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增.(8分) 因为f(t-1)>f(-2t),所以(11分) 解得0≤t<,故t的取值范围是.(13分) 16.解析　　(1)由题意得f(0)=b=0,所以f(x)=. 又f(1)=,所以=,解得a=1.(3分) 所以f(x)=,经检验,符合题意.(4分) (2)任取x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==.(6分) 因为-1≤x1<x2≤1,所以x1-x2<0,x1x2<1,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增,(8分) 所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(1)=.(10分) (3)由(2)及f(x)<m2-2am+对所有的x∈[-1,1]恒成立,得m2-2am+>,即m2-2am>0.(12分) 令g(a)=-2ma+m2. 因为∀a∈[-1,1],g(a)>0恒成立, 所以或解得m<-2或m>2. 故实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).(15分) 17.解析　　(1)由题意知f2(x)=1-, f3(x)=f2=, f4(x)=f3=x.(2分) (2)①利用(1)中的结论,用替换x两次, 得 (5分) 消去g,g,可得g(x)=(x≠0,x≠1).(8分) ②由①及题意可得方程(2x-1-m)(x3+2x2+x)+8x2+4x+2=0有且仅有一个实数根,整理,得m==有且仅有一个实数根.(10分) 令t=x+,则x2+=t2-2. ∵x≠0,且x≠1,且当x=-1时,方程不成立,即-1不是方程的根, ∴t∈(-∞,-2)∪(2,+∞), ∴m===2-5在(-∞,-2)∪(2,+∞)上有且仅有一个实数根.(12分) 令λ=t+2,则λ∈(-∞,0)∪(4,+∞),m=2-5, 即=λ+在(-∞,0)∪(4,+∞)上有且仅有一个实数根. 画出y=λ+,λ∈(-∞,0)∪(4,+∞)的图象,如图所示: 由图可知=-2或>,解得m=-5-4或m>.(15分) 18.解析　　(1)由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1, ∴函数f(x)的定义域为[-1,1].(1分) ∵(f(x))2=(+)2=2+2,且∈[0,1], ∴(f(x))2=(+)2∈[2,4],∴f(x)=+∈[,2], ∴函数f(x)的值域为[,2].(3分) (2)F(x)=[(f(x))2-2]+f(x)=a++, 令t=f(x)=+,则t∈[,2],=t2-1,(4分) ∴a++=a+t=at2+t-a,t∈[,2],(6分) 令φ(t)=at2+t-a,t∈[,2],则g(a)为函数φ(t)=at2+t-a,t∈[,2]的最大值.(8分) 易得函数y=φ(t),t∈[,2]的图象是开口向下的抛物线的一段. ①若-∈(0,],即a≤-,则g(a)=φ()=;(9分) ②若-∈(,2),即-<a<-,则g(a)=φ=-a-;(10分) ③若-∈[2,+∞),即-≤a<0,则g(a)=φ(2)=a+2.(11分) 综上,g(a)=(12分) (3)由(2)易得g(a)min=. 要使-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立, 则-m2+2nm+≤g(a)min=在n∈[-1,1]上恒成立, 所以m2-2nm≥0在n∈[-1,1]上恒成立.(14分) 令h(n)=m2-2nm,n∈[-1,1], 若m=0,则h(n)=0≥0对任意n∈[-1,1]恒成立; 若m≠0,则有或所以m≥2或m≤-2. 综上,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).(17分) 19.解析　　(1)证明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞), ∴g(-2-x)=,(3分) ∴g(x)+g(-2-x)=+=10,(5分) 即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立,∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(7分) (2)g(x)==5-,易知g(x)在上单调递增, ∴g(x)在x∈上的值域为[-1,4]. 记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A. 若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,则A⊆[-1,4].(10分) ∵当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1, ∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心(1,2). ①当≤0,即m≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递增,∴函数h(x)在[0,2]上单调递增. 易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,则A=[m+1,3-m]. 由A⊆[-1,4],得解得m≥-1,又m≤0,∴-1≤m≤0.(12分) ②当0<<1,即0<m<2时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增.由对称性知,h(x)在上单调递增,在上单调递减. 结合对称性,知A=[h(2),h(0)]或A=. ∵0<m<2,∴h(0)=m+1∈(1,3). 又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m∈(1,3). 易知当m∈(0,2)时,h=-+m+1∈(1,2). 又h+h=4,∴h=-m+3,∴h∈(2,3), ∴当0<m<2时,A⊆[-1,4]恒成立.(14分) ③当≥1,即m≥2时,函数h(x)在[0,1]上单调递减.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递减,∴函数h(x)在[0,2]上单调递减. 易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,则A=[3-m,m+1]. 由A⊆[-1,4],得解得m≤3,又m≥2,∴2≤m≤3.(16分) 综上可知,实数m的取值范围为[-1,3].(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$