第3章 不等式-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（苏教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第3章　不等式 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.设a,b,m都是正数,且a<b,记x=,y=,则(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x与y的大小与m的取值有关 2.已知a>b>0,则下列结论中正确的有(　　) A.> B.> C.若d<c<0,则ad<bc D.ab<ba 3.已知实数a>1,b>0,a+b=3,则+的最小值为(　　) A. B. C. D. 4.“-3<m<1”是“不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0对任意的x∈R恒成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知关于x的不等式组的解集中恰有两个整数解,则实数k的取值范围为(　　) A.(-10,-8)∪(6,8) B.[-10,-8)∪(6,8] C.(-10,-8]∪[6,8) D.[-10,-8]∪[6,8] 6.已知正实数a,b满足2a+b=3ab,则下列结论中错误的是(　　) A.ab的最大值是 B.2a+b的最小值是 C.a+2b的最小值是3 D.b-的最小值为2-3 7.已知长为a,宽为b的长方形,如果它的面积与边长为k1的正方形的面积相等,它的周长与边长为k2的正方形的周长相等,它的对角线长与边长为k3的正方形的对角线长相等,它的面积和周长的比与边长为k4的正方形的面积和周长的比相等,那么k1,k2,k3,k4的大小关系为(　　) A.k1≤k4≤k2≤k3 B.k3≤k1≤k2≤k4 C.k4≤k1≤k3≤k2 D.k4≤k1≤k2≤k3 8.设实数x,y满足x>,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立,则实数k的最大值为(　　) A.12 B.24 C.2 D.4 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(1,2),则下列说法正确的是(　　) A.a>0 B.b+c>0 C.关于x的不等式ax2+cx+b<0的解集为(-3,1) D.若c3+bc+a≤0,则a+b+2c的最大值为1 10.已知实数x,y满足x2+y2+xy=4,则(　　) A.-2≤y≤2 B.-≤x+y≤ C.-4≤x-y≤4 D.≤x2+y2≤8 11.已知正数a,b,c满足若a,b,c恰好是三角形的三条边长,则a的可能取值为(　　) A. B. C. D.2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a+b=10,c=6,则此三角形面积的最大值为　　　　.  13.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为　　　　.  14.已知正实数a,b满足(1+a2)=72,则(1+a)b的最小值为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知正实数a,b,c满足a2+b2+c2=3. (1)若a=1,证明:+≥2; (2)求ab+bc+ca的最大值. 16.(15分)设命题p:对任意的x∈[1,4],不等式x2-4x+2≥m2-3m恒成立;命题q:存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立. (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若p,q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知a>0,b>0,且(a+b)=1. (1)求+的最小值; (2)是否存在a,b,使得+的值为?并说明理由. 18.(17分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态? (2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种: ①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元; ②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元. 如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案?为什么? 19.(17分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R). (1)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1<0(m∈R)的解集为⌀,求实数m的取值范围; (2)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0的解集为D,且{x|-1≤x≤1}⊆D,求实数m的取值范围. 答案全解全析 1.A　因为a<b,所以b-a>0, 因为a>0,b>0,m>0,所以x-y=-=>0,即x>y. 2.C　若c=0,则,无意义,故A错误; 因为a>b>0,所以0<<,故B错误; 若d<c<0,则-d>-c>0,又a>b>0,所以-ad>-cb>0,即ad<bc,故C正确; 若a=3,b=2,则ab=9>ba=8,故D错误. 3.B　因为a>1,所以a-1>0,又a+b=3,所以a-1+b=2,所以+=[(a-1)+b]=≥=,当且仅当=,即a=5-2,b=2-2时取等号,所以+的最小值为. 4.A　对于不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0, ①当m=1时,不等式为-1<0,恒成立; ②当m≠1时,若不等式对任意的x∈R恒成立,则解得-3<m<1. 综上所述,若不等式对任意的x∈R恒成立,则m的取值范围为{m|-3<m≤1}. ∵{m|-3<m<1}⫋{m|-3<m≤1},∴“-3<m<1”是“不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0对任意的x∈R恒成立”的充分不必要条件. 5.C　解x2-x-2>0,得x<-1或x>2. 解2x2+(k+2)x+k=0,得x=-或x=-1. 当k≥2时,解2x2+(k+2)x+k≤0,得-≤x≤-1.因为不等式组的解集中恰有两个整数解,所以-4<-≤-3,解得6≤k<8. 当k<2时,解2x2+(k+2)x+k≤0,得-1≤x≤-.因为不等式组的解集中恰有两个整数解,所以4≤-<5,解得-10<k≤-8. 综上,实数k的取值范围为(-10,-8]∪[6,8). 6.A　对于A,3ab=2a+b≥2,所以3≥2,所以ab≥,当且仅当a=,b=时取等号,故A中结论错误. 对于B,结合A知2a+b=3ab≥,当且仅当a=,b=时取等号,故B中结论正确. 对于C,因为2a+b=3ab,所以+=3,所以3(a+2b)=(a+2b)·=5++≥5+2=9,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+2b≥3,故C中结论正确. 对于D,b-=b+-3≥2-3=2-3,当且仅当b=时取等号,故D中结论正确. 7.D　由题意得ab=①,a+b=2k2②,=k3③,=④,且a,b>0, 易知a+b≥2,a2+b2≥,≤=,当且仅当a=b时等号全部成立, 则由①②得2k2≥2k1,所以k2≥k1⑤, 由②③得2≥,所以k3≥k2⑥, 由①④得≤,所以k4≤k1⑦, 综合⑤⑥⑦可得k4≤k1≤k2≤k3. 8.B　令a=2x-3,b=y-3,因为x>,y>3,所以a>0,b>0, 则k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2可转化为k≤, 即+≥k,而+=+≥+=12≥24=24,当且仅当a=b=3时等号同时成立,所以k≤24,所以实数k的最大值为24. 9.ACD　由题意得整理,得所以b+c=-a<0,故A正确,B错误. ax2+cx+b=ax2+2ax-3a=a(x2+2x-3)<0,又a>0,所以x2+2x-3<0,解得-3<x<1,故C正确. c3+bc+a=8a3-6a2+a=a(8a2-6a+1)≤0,又a>0,所以8a2-6a+1≤0,解得≤a≤,所以≤a+b+2c=a-3a+4a=2a≤1,故a+b+2c的最大值为1,故D正确. 10.BCD　对于A,由题可知关于x的方程x2+yx+y2-4=0必有实数根,所以Δ=y2-4(y2-4)≥0,解得-≤y≤,故A错误;对于B,因为x2+y2+xy=(x+y)2-xy=4,又xy≤,所以≤4,解得-≤x+y≤,当且仅当x=y=时,不等式x+y≤的等号成立,当且仅当x=y=-时,不等式-≤x+y的等号成立,故B正确;对于C,因为x2+y2+xy=(x-y)2+3xy=4,又-xy≤,所以≤4,解得-4≤x-y≤4,当且仅当x=-y=2时,不等式x-y≤4的等号成立,当且仅当x=-y=-2时,不等式-4≤x-y的等号成立,故C正确;对于D,由xy≤可知x2+y2+xy=4≤,即≤x2+y2,当且仅当x=y=±时,等号成立,由x2+y2+xy=4得x2+y2-4=-xy,又-xy≤,所以x2+y2-4≤=,所以≤4,即x2+y2≤8,当且仅当-x=y=±2时,等号成立,所以≤x2+y2≤8,故D正确. 11.BC　由题意得所以0<a<2,所以a一定不是唯一的最大边长. 不妨设c最大,则≤c<2,所以方程x2+(a-4)x+a2=0有两个正根,且在≤x<2时有解,所以解得-1<a≤. 结合选项,a的可能取值为,. 12.答案　12 解析　　依题意得p===8, 所以三角形的面积为=4≤4×=4×=12,当且仅当8-a=8-b且a+b=10,即a=b=5时等号成立, 故此三角形面积的最大值为12. 13.答案　{a|a≤2} 解析　　当a>1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a}, ∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤1,解得a≤2,∴1<a≤2; 当a=1时,A={x|(x-1)2≥0}=R,B={x|x≥0},A∪B=R,符合题意; 当a<1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤a或x≥1}, ∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤a,恒成立,∴a<1. 综上,a的取值范围为{a|a≤2}. 14.答案　8 解析　　因为(1+a2)=72,所以b2+a2b2-4=72,所以b2=,所以(1+a)2b2=[(1+a2)+2a]·=72+4+=72+4++8=80+4+≥80+2=80+48=128,当且仅当4=,即a+=6,即a=3±2时取等号,所以(1+a)b的最小值为=8. 15.解析　　(1)证明:由a=1,得b2+c2=2,(2分) 则+=(b2+c2)=1++≥2, 当且仅当b=c=1时,等号成立.(6分) (2)因为ab≤(a2+b2),bc≤(b2+c2),ac≤(a2+c2),当且仅当a=b=c=1时,等号同时成立,(9分) 所以ab+bc+ac≤a2+b2+c2=3,即ab+bc+ca的最大值为3.(13分) 16.解析　　(1)由题意得,在x∈[1,4]上,(x2-4x+2)min≥m2-3m.(2分) 易知当x=2时,y=x2-4x+2取得最小值,为-2,(3分) ∴-2≥m2-3m,解得1≤m≤2. 故当p为真命题时,实数m的取值范围是1≤m≤2.(5分) (2)存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立, 即在x∈上,≥0,(7分) 易知当x=0时,y=x2-x+m-取得最大值,为m-,(8分) ∴m-≥0,解得m≥, ∴当q为真命题时,实数m的取值范围是m≥.(10分) 由(1)知当p为真命题时,实数m的取值范围是1≤m≤2. 若p为假命题,q为真命题,则解得m>2;(12分) 若p为真命题,q为假命题,则解得1≤m<.(14分) 综上所述,1≤m<或m>2.(15分) 17.解析　　∵a>0,b>0,且(a+b)=1,∴a+b=,(2分) 又a+b≥2,(4分) ∴≥2,∴ab≤.(6分) (1)∵a>0,b>0,∴+≥2=≥4,当且仅当a=b=时取等号.(8分) (2)不存在.理由如下:∵a>0,b>0,∴+≥2=,当且仅当2a=3b时,等号成立,又ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立,∴+>,(12分) ∵<,∴不存在a,b,使得+的值为.(15分) 18.解析　　(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为=++40,x∈[70,100].(2分) 又++40≥2+40=2×40+40=120,当且仅当=,即x=80时,等号成立,(4分) 所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(5分) 因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.(6分) (2)若该企业采用补贴方案①,设该企业每日获利y1元, 由题可得y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900.(8分) 因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(10分) 若该企业采用补贴方案②,设该企业每日获利y2元,由题可得y2=130x-=-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850.(12分) 因为x∈[70,100],所以当x=90时,企业获利最大,最大利润为850元.(14分) 答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可.(17分) 答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案①只需要企业日加工处理量为70吨即可获得最大利润,所以选择补贴方案①.(17分) 答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案②能够为社会做出更大的贡献,所以选择补贴方案②.(17分) 19.解析　　(1)①当m+1=0,即m=-1时,x-2<0,解得x<2,不符合题意,舍去;(2分) ②当m+1≠0,即m≠-1时,需满足 解得m≥.(4分) 综上,实数m的取值范围是.(6分) (2)由题意得,对任意的x∈[-1,1],不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0恒成立,即对任意的x∈[-1,1],m(x2-x+1)≥-x2+1恒成立.(8分) ∵x2-x+1=+>0恒成立, ∴对任意的x∈[-1,1],m≥=-1+恒成立, ∴m≥,x∈[-1,1].(10分) 设t=2-x,则t∈[1,3],x=2-t, ∴===,(13分) ∵t+≥2,当且仅当t=时取等号, ∴≤=,当且仅当x=2-时取等号,(15分) ∴当x=2-时,-1+取得最大值,最大值为-1+=, ∴实数m的取值范围是.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$