第2章 常用逻辑用语-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（苏教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第2章　常用逻辑用语 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.命题“∀x∈R,x+2≤0”的否定是(　　) A.∃x∈R,x+2>0 B.∃x∈R,x+2≤0 C.∀x∈R,x+2>0 D.∀x∉R,x+2>0 2.“|a|>|b|”是“a>b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是(　　) A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形 B.在一元二次方程中,p:ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0 C.p:a∈P∩Q,q:a∈P D.p:a∉P∪Q,q:a∉P 4.下列四个命题是真命题的是(　　) A.∀n∈R,n2≥n B.∃n∈R,∀m∈R,m·n=m C.∀n∈R,∃m∈R,m2<n D.∀n∈R,n2<n 5.命题“关于x的方程ax2+x-1=0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是(　　) A.a=0 B.a≤0 C.-≤a≤0 D.-≤a<0 6.若不等式|x+1|-|x-2|<a成立的充分条件是0<x<1,则实数a的取值范围是(　　) A.a>1 B.a≥1 C.a<-1 D.a≤-1 7.已知关于x的方程x2+ax+b=0,给出下列四个命题: 甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号. 如果只有一个命题是假命题,那么该命题是(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0.若命题¬p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1 D.a≥2 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x2>x,则(　　) A.¬q:∀x≤0,x2≤x B.¬p是真命题 C.p和¬q都是假命题 D.¬p和q都是真命题 10.已知命题p:∃x∈R,ax2-x+1=0,若p为真命题,则实数a的值可以是(　　) A.- B.0 C. D. 11.在整数集Z中,被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={x|x=6n+k,n∈Z},k=0,1,2,3,4,5,则(　　) A.-5∈[5] B.Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5] C.“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]” D.“整数a,b满足a∈[1],b∈[2]”是“a+b∈[3]”的必要不充分条件 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|2a<x<a+3},命题p:∀x∈B,x∈A,若命题p是真命题,则实数a的取值范围是　　　　　.  13.已知p:x2+x-6=0,q:mx+1=0,且q是p的充分不必要条件,则实数m的取值集合是　　　　.  14.已知命题p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1,则实数m的取值范围是　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合A={x|m-1<x<m+1},命题“∃x∈R,x2+ax+1<0”是真命题. (1)求实数a的取值集合B; (2)在(1)的条件下,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 16.(15分)设命题p:x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根,命题q:对任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立. (1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若命题p,q一真一假,求实数m的取值范围. 17.(15分)已知集合A=,B={x|ax-1≥0}. (1)当a=2时,求A∩B; (2)若　　　　,求实数a的取值范围.  从①“x∈B”是“x∈A”的必要条件;②∀x∈A,x∉B;③∃x∈A,x∉B这三个条件中选择一个填入(2)中横线处,并解答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}. (1)判断8,9,10是否属于集合A; (2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件; (3)记集合S={x|x∈A,x=2k,k∈N*},T={x|x=12k+4,k∈N*},求证:T⊆S. 19.(17分)若集合A具有以下性质:①0∈A,1∈A;②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A,则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由; (2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A; (3)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A; 命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有∈A. 答案全解全析 1.A　∀x∈R,x+2≤0的否定为∃x∈R,x+2>0. 2.D　设a=-2,b=0,此时满足|a|>|b|,但不满足a>b,充分性不成立, 设a=2,b=-3,此时满足a>b,但不满足|a|>|b|,必要性不成立, 故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件. 3.A　对于A,等腰三角形不一定是等边三角形,但等边三角形一定是等腰三角形,故p是q的必要不充分条件,故A符合题意. 显然B中p是q的充要条件,故B不符合题意. 对于C,当a∈P∩Q时,a∈P,a∈Q,但a∈P时,不一定得到a∈P∩Q,如图1所示,故p是q的充分不必要条件,故C不符合题意. 　　 对于D,当a∉P∪Q时,a∉P,a∉Q,但a∉P时,不一定得到a∉P∪Q,如图2所示,故p是q的充分不必要条件,故D不符合题意. 4.B　对于A,令n=,则=<,故A中命题是假命题; 对于B,令n=1,则∀m∈R,m×1=m成立,故B中命题是真命题; 对于C,令n=-1,则m2<-1,显然无实数解,故C中命题是假命题; 对于D,令n=-1,则(-1)2<-1,显然不成立,故D中命题是假命题. 5.B　关于x的方程ax2+x-1=0的根为正实数, 则a=0或解得-≤a≤0. 结合选项可知,命题“关于x的方程ax2+x-1=0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是a≤0. 6.B　当0<x<1时,|x+1|-|x-2|=x+1+x-2=2x-1<1. 因为|x+1|-|x-2|<a成立的充分条件是0<x<1,所以a≥1. 7.A　若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一个根为3,又两根之和为2,所以该方程的另一个根为-1,两根异号,符合题意; 若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一个根为1,又两根之和为2,所以该方程的另一个根也为1,两根同号,不符合题意; 若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为1和3,两根同号,不符合题意; 若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为1和3,所以两根之和为4,不符合题意. 综上,甲为假命题. 8.D　若“∀x∈[1,2],x2-a≥0”为真命题,则在x∈[1,2]上,a≤(x2)min,∴a≤1. 若“∃x∈R,x2+2ax+4=0”为真命题,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2. ∵命题¬p和命题q都是真命题,∴即a≥2. 9.BCD　命题q:∃x>0,x2>x,则¬q:∀x>0,x2≤x,故A错误. 当x=0时,|x+1|=1,故p是假命题,则¬p是真命题,故B正确. 当x=2时,x2>x,故q是真命题,则¬q是假命题,故C,D正确. 10.ABC　∵∃x∈R,ax2-x+1=0为真命题,∴方程ax2-x+1=0有实数根, 当a=0时,x=1,符合题意; 当a≠0时,由方程ax2-x+1=0有实数根,得Δ=(-1)2-4a≥0,解得a≤,∴a≤且a≠0. 综上,a≤.结合选项知,实数a的值可以是-,0,. 11.BC　对于A,易知[5]={x|x=6n+5,n∈Z},由6n+5=-5,得n=-=-∉Z,所以-5∉[5],故A错误. 对于B,[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]={x|x=6n1,n1∈Z}∪{x|x=6n2+1,n2∈Z}∪{x|x=6n3+2,n3∈Z}∪{x|x=6n4+3,n4∈Z}∪{x|x=6n5+4,n5∈Z}∪{x|x=6n6+5,n6∈Z}=Z,故B正确. 对于C,必要性:若整数a,b属于同一“类”,则整数a,b被6除所得余数相同,从而a-b被6除所得余数为0,即a-b∈[0]; 充分性:若a-b∈[0],则a-b被6除所得余数为0,则整数a,b被6除所得余数相同, 所以“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”,故C正确. 对于D,若整数a,b满足a∈[1],b∈[2],则a=6n'1+1,n'1∈Z,b=6n'2+2,n'2∈Z,所以a+b=6(n'1+n'2)+3,n'1+n'2∈Z,故a+b∈[3];若a+b∈[3],则可能有a∈[2],b∈[1],故“整数a,b满足a∈[1],b∈[2]”是“a+b∈[3]”的充分不必要条件,故D错误. 12.答案　a≥3 解析　　因为命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,所以B⊆A. 当B=⌀时,a+3≤2a,解得a≥3. 当B≠⌀时,无解. 综上,实数a的取值范围是a≥3. 13.答案　 解析　　由题意得{x|mx+1=0}⫋{x|x2+x-6=0}={2,-3}. 当m=0时,{x|mx+1=0}=⌀,满足题意; 当m≠0时,{x|mx+1=0}=,则-=2或-=-3,解得m=-或m=. 综上,实数m的取值集合是. 14.答案　m>0 解析　　若p为真命题,则对于方程ax2+2x+1=0, 当a=0时,2x+1=0,解得x=-,符合题意; 当a≠0时,设方程ax2+2x+1=0的两个根分别为x1,x2, 若a<0,则Δ=4-4a>0,且x1+x2=->0,x1x2=<0, 此时方程ax2+2x+1=0有一个正实根和一个负实根,符合题意; 若a>0,则由Δ=4-4a=0,得a=1, 此时方程为x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,所以x=-1,符合题意; 由Δ=4-4a>0,得0<a<1,则x1+x2=-<0,x1x2=>0, 此时方程ax2+2x+1=0有两个负实根,符合题意. 综上所述,p为真命题时,a的取值范围是(-∞,1]. 若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1, 则m+1>1,解得m>0. 15.解析　　(1)由命题“∃x∈R,x2+ax+1<0”是真命题,得a2-4>0,解得a<-2或a>2,所以实数a的取值集合B={a|a<-2或a>2}.(5分) (2)显然A≠⌀,由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A⫋B,(8分) 则m+1≤-2或m-1≥2,解得m≤-3或m≥3, 所以实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).(13分) 16.解析　　(1)若命题p为真命题,则对于方程x2+(2m-4)x+m=0,Δ=(2m-4)2-4m=4(m-1)(m-4)>0,解得m>4或m<1, ∴实数m的取值范围为{m|m>4或m<1}.(3分) (2)由(1)知,若命题p为真命题,则m>4或m<1. 若命题q为真命题,则对任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立,即当2≤x≤3时,(x-2)2≥m2-9恒成立,(6分) 当x=2时,y=(x-2)2取得最小值0,所以0≥m2-9,即m2≤9,解得-3≤m≤3.(8分) 当p真q假时,解得m<-3或m>4;(11分) 当p假q真时,解得1≤m≤3.(14分) 综上,实数m的取值范围为{m|m<-3或1≤m≤3或m>4}.(15分) 17.解析　　(1)当a=2时,B={x|2x-1≥0}=.(2分) 又A=={1,2,3},(4分) ∴A∩B={1,2,3}.(6分) (2)若选条件①,则A⊆B.(8分) 当a=0时,B=⌀,与题意不符.(10分) 当a<0时,B=,此时需满足≥3,解得0<a≤,与a<0矛盾,舍去.(12分) 当a>0时,B=,此时需满足≤1,解得a<0或a≥1, ∴a≥1.(14分) 综上,实数a的取值范围为{a|a≥1}.(15分) 若选条件②,则A∩B=⌀.(8分) 当a=0时,B=⌀,满足题意.(10分) 当a<0时,B=,此时需满足<1,解得a<0或a>1,∴a<0.(12分) 当a>0时,B=,此时需满足>3,解得0<a<.(14分) 综上,实数a的取值范围为.(15分) 若选条件③,则A∩∁RB≠⌀.(8分) 当a=0时,B=⌀,则∁RB=R,又A={1,2,3},∴A∩∁RB={1,2,3},满足题意.(10分) 当a<0时,B=,则∁RB=,又A={1,2,3},∴<3,解得a<0或a>,∴a<0.(12分) 当a>0时,B=,则∁RB=,又A={1,2,3},∴>1,解得0<a<1.(14分) 综上,实数a的取值范围为{a|a<1}.(15分) 18.解析　　(1)易知8=32-12,9=52-42,∴8∈A,9∈A.(2分) 假设10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0.(5分) ∵10=2×5或10=1×10,∴或均无整数解,∴10∉A.(8分) (2)证明:易知2k+1=(k+1)2-k2,∴2k+1∈A,即一切奇数都属于A.(10分) 又8∈A,而8∉B, ∴“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件.(12分) (3)证明:∀x∈T,x=12k+4=2(6k+2),k∈N*,则x为偶数.(14分) 令得 ∴x=(3k+2)2-(3k)2∈S,即T⊆S.(17分) 19.解析　　(1)集合B不是“好集”,有理数集Q是“好集”.(2分) 理由如下: 假设集合B是“好集”,因为-1∈B,1∈B,所以-2∈B,与-2∉B矛盾,所以集合B不是“好集”.(4分) 因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,∈Q, 所以有理数集Q是“好集”.(6分) (2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A.(8分) 若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A. 所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.(11分) (3)命题p,q均为真命题.(13分) 理由如下:对任意一个“好集”A,任取x,y∈A, 若x,y中有0或1,则xy∈A. 若x,y均不为0,1,则由定义可知x-1,,∈A, 所以-∈A,即∈A,所以x(x-1)∈A. 由(2)得x(x-1)+x∈A,即x2∈A. 同理,得y2∈A. 若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A. 若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A. 所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,所以∈A. 由(2)得=+∈A,所以xy∈A. 综上,xy∈A. 所以命题p为真命题.(15分) 若x,y∈A,且x≠0,则∈A,所以=y·∈A,所以命题q为真命题.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$