第1章 集合-【突破课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册同步单元达标检测卷（苏教版）

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 高中同步达标检测卷 第1章　集合 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x∈N|x≤4},B={x|x(x-1)>0},则A∩B=(　　) A.{2,3,4} B.{1,2,3,4} C.[1,4) D.(1,4] 2.已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则集合B的真子集个数为　　(　　) A.3 B.7 C.8 D.15 3.已知集合A={x||x|≤2},B={a,0},且B⊆A,则实数a的取值范围是(　　) A.[-2,2] B.[-2,0)∪(0,2] C.(-2,2) D.(-2,0)∪(0,2) 4.对于非空数集M,定义f(M)表示该集合中所有元素的和.给定集合S={1,2,3,4},定义集合T={f(A)|A⊆S,A≠⌀},则集合T中元素的个数是　(　　) A.1 B.10 C.11 D.15 5.已知全集为U,集合M,N与全集U满足M⫋N⫋U,则下列运算结果为U的是(　　) A.M∪N B.(∁UN)∪(∁UM) C.M∪(∁UN) D.N∪(∁UM) 6.已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B∩A=B,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(-∞,-1)∪[0,+∞) D.∪(0,1) 7.设S是实数集R的一个非空子集,如果对于任意的a,b∈S(a与b可以相等,也可以不相等),a+b∈S且a-b∈S,那么称S是“和谐集”,则下列命题中为假命题的是(　　) A.存在一个集合S,它既是“和谐集”,又是有限集 B.集合S={x|x=k,k∈Z}是“和谐集” C.若S1,S2都是“和谐集”,则S1∩S2≠⌀ D.对任意两个不同的“和谐集”S1,S2,总有S1∪S2=R 8.已知A={a1,a2,a3,a4},B={,,},且a1<a2<a3<a4,其中ai∈Z(i=1,2,3,4),若A∩B={a2,a3},a1+a3=0,且A∪B的所有元素之和为56,则a3+a4=(　　) A.8 B.6 C.7 D.4 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.若集合M={x|x=2m-1,m∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z},P={x|x=4p-3,p∈Z},则下列结论正确的是(　　) A.M=P B.M=N C.N∩P=P D.N∩P=N 10.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A,B是U的两个子集,且满足A∪B=U,A∩(∁UB)={1,4},(∁UA)∩B={5,6,7},则(　　) A.2∈A B.2∉B C.A∩B={2,3} D.A∪(∁UB)={1,2,3,4} 11.某校校运会先后举办射击比赛和游泳比赛,高三某班的45名同学中,只参加了其中一项比赛的同学有20人,两项比赛都没参加的有19人,则两项比赛中参加人数最多的一项比赛的参赛人数可能是(　　) A.15 B.17 C.21 D.26 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知集合U={1,2,3,4,5},A={2,3},B={x|x=2k,k∈Z},则B∩(∁UA)=　　　　.  13.集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至多有1个元素,则a的取值范围是　　　　　.  14.定义集合P={x|a≤x≤b}的“长度”是b-a,其中a,b∈R.已知集合M=,N=,且M,N都是集合{x|1≤x≤2}的子集,则集合M∩N的“长度”的最小值是　　　　;若m=,集合M∪N的“长度”大于,则n的取值范围是　　　　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设全集U=R,集合A={x|x2+4x+a=0},B={x|x2+bx-2=0}. (1)若集合A中恰有一个元素,求实数a的值; (2)若(∁UA)∩B={2},(∁UB)∩A={-3},求A∪B. 16.(15分)已知集合A={x|x2-6x+5=0},B={x|ax-1=0}. (1)若a=1,求A∩(∁ZB); (2)从①A∪(∁RB)=R;②A∩B=B;③B∩(∁RA)=⌀这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答. 若　　　　,求实数a的所有可能取值构成的集合C.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 17.(15分)已知集合A={x|-4≤x≤3},B={x|m-1≤x<2m+1}. (1)若A∩B=B,求实数m的取值范围; (2)若不存在实数x,使x∈A,x∈B同时成立,求实数m的取值范围. 18.(17分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2+2(m+1)x+m2-5=0}. (1)若A∩B=B,求实数a的值; (2)若A∩C=C,求实数m的取值范围. 19.(17分)非空集合A是正实数集的子集,满足对任意的x∈A,总有∉A,记集合T(A)=(x,y)x∈A,y∈A,∈A. (1)求证:对任意的x∈A,(x,x)∉T(A); (2)若T(A)中只有1个元素(a,b),求证:a=b2; (3)若集合A={a,b,c,d,e},且a<b<c<d<e,T(A)中恰有10个元素,求证:c2=ae. 答案全解全析 1.A　易得A={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4},B={x|x(x-1)>0}={x|x<0或x>1},故A∩B={2,3,4}. 2.B　易得B={0,1,2},所以集合B的真子集个数为23-1=7. 3.B　集合A={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},B={a,0},因为B⊆A,所以实数a的取值范围是[-2,0)∪(0,2]. 4.B　由题意知A是S的非空子集. 当A中的元素个数为1时, f(A)可取1,2,3,4; 当A中的元素个数为2时, f(A)可取3,4,5,6,7; 当A中的元素个数为3时, f(A)可取6,7,8,9; 当A中的元素个数为4,即A=S时, f(A)=10. 综上所述,T={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},即集合T中有10个元素. 5.D　如图, 因为M⫋N⫋U,所以M∪N=N≠U,故A错误; 因为(∁UN)∪(∁UM)=∁U(M∩N)=∁UM≠U,故B错误; 因为M⫋N⫋U,所以M∪(∁UN)≠U,故C错误; 因为M⫋N⫋U,所以N∪(∁UM)=U,故D正确. 6.A　①当a<0时,B={x|ax+1≤0}=,因为B∩A=B,所以B⊆A,又A={x|x<-1或x≥3},所以-≥3,解得-≤a<0; ②当a=0时,B={x|ax+1≤0}=⌀,满足B⊆A; ③当a>0时,B={x|ax+1≤0}=,因为B∩A=B,所以B⊆A,又A={x|x<-1或x≥3},所以-<-1,解得0<a<1. 综上,a∈. 7.D　如S={0}既是和谐集,又是有限集,故A中命题是真命题; 设x1=k1,x2=k2,k1,k2∈Z,则x1+x2=(k1+k2)∈S,且x1-x2=(k1-k2)∈S,∴S={x|x=k,k∈Z}是和谐集,故B中命题是真命题; 任意和谐集中一定含有0,∴S1∩S2≠⌀,故C中命题是真命题; 取S1={x|x=2k,k∈Z},S2={x|x=3k,k∈Z},则S1,S2均是和谐集,但5∉S1,5∉S2,∴S1∪S2不是实数集,故D中命题是假命题. 8.A　由a1+a3=0得a1=-a3,所以=,又a1<a2<a3<a4,所以a1<0,a3>0. 因为A∩B={a2,a3}⊆{,,},所以a2≥0. ①若a2>0,由a2∈Z,得a2≥1,则a4>a3>1, 所以a2≤,a3<=,a4<, 所以>a3>a2,即∉{a2,a3},从而{a2,a3}={,}, 所以所以a3===,所以a3=0或a3=1,与a3>a2≥1矛盾. ②若a2=0,则a4>a3>a2=0,又a3,a4∈Z,故>a4, 所以>a3>a2,即∉{a2,a3},从而{a2,a3}={,}, 所以a2=0=,a3==,所以a3=0或a3=1, 又a3>a2=0,所以a3=1,a1=-a3=-1, 则A={-1,0,1,a4},B={1,0,}, 易得A∪B={-1,0,1,a4,},所以-1+0+1+a4+=56, 所以a4=7或a4=-8(舍),所以a3+a4=8. 9.BC　因为M={x|x=2m-1,m∈Z},N={x|x=2(n+1)-1,n∈Z},所以M=N.因为P={x|x=2(2p-1)-1,p∈Z},2p-1为奇数,所以P⊆M,故P⊆M=N,从而N∩P=P. 10.ACD　∵A∩(∁UB)={1,4},∴1,4∈A且1,4∉B.∵(∁UA)∩B={5,6,7},∴5,6,7∈B且5,6,7∉A.∵A∪B=U,∴2∈A,2∉B或2∈B,2∉A或2∈A,2∈B.若2∈A,2∉B或2∈B,2∉A,则2∈[A∩(∁UB)]或2∈[(∁UA)∩B],不符合题意,∴2∈A,2∈B.同理,可得3∈A,3∈B. 综上,A={1,2,3,4},B={2,3,5,6,7}. 所以A∩B={2,3},A∪(∁UB)={1,2,3,4}. 11.BCD　设只参加一项比赛的20名同学中,参加射击比赛的有x人,参加游泳比赛的有y人,则x,y∈N,且x+y=20①. 由题设条件知,两项比赛均参加的有45-20-19=6(人), 故参加射击比赛的有(x+6)人,参加游泳比赛的有(y+6)人. 不妨设参加射击比赛的人数最多(包含参加两项比赛的人数相等的情况),则x+6≥y+6②. 由①②可得x≥10,故x+6≥16,因为x≤20,所以x+6≤26,故16≤x+6≤26,所以结合选项可知,两项比赛中参加人数最多的一项比赛的参赛人数可能是17,21,26. 12.答案　{4} 解析　　根据题意,得∁UA={1,4,5},又B={x|x=2k,k∈Z}={…,0,2,4,6,…},所以B∩(∁UA)={4}. 13.答案　a=0或a≥ 解析　　当a=0时,A={x∈R|-3x+2=0}=,符合题意; 当a≠0时,需Δ=9-8a≤0,解得a≥. 综上所述,a的取值范围是a=0或a≥. 14.答案　; 解析　　因为集合M是集合{x|1≤x≤2}的子集,所以解得1≤m≤.同理,得解得≤n≤2. 要使M∩N的“长度”最小,只需m取最小值、n取最大值或m取最大值、n取最小值即可. 当m=1,n=2时,M∩N=,其“长度”为-=. 当m=,n=时,M∩N=,其“长度”为-=. 故集合M∩N的“长度”的最小值是. 当m=时,M=. 因为集合M∪N的“长度”大于,所以>n-+或n>+,解得n<或n>,又≤n≤2,故≤n<或<n≤2,所以n的取值范围为n≤n<或<n≤2. 15.解析　　(1)由题意得Δ=16-4a=0,解得a=4.(3分) (2)∵(∁UA)∩B={2},∴2∈B,∴4+2b-2=0,解得b=-1.(6分) ∵(∁UB)∩A={-3},∴-3∈A,∴9-12+a=0,解得a=3.(9分) 故A={x|x2+4x+3=0}={-1,-3},B={x|x2-x-2=0}={-1,2},(11分) ∴A∪B={-3,-1,2}.(13分) 16.解析　　(1)当a=1时,B={x|x-1=0}={1}.(2分) 因为A={x|x2-6x+5=0}={1,5},所以A∩(∁ZB)={5}.(5分) (2)若选①,当a=0时,B=⌀,所以∁RB=R,满足A∪(∁RB)=R.(8分) 当a≠0时,B=,(10分) 若A∪(∁RB)=R,则=1或=5,解得a=1或a=.(14分) 综上,C=.(15分) 若选②,因为A∩B=B,所以B⊆A.(7分) 当a=0时,B=⌀,满足B⊆A;(9分) 当a≠0时,B=,(10分) 因为B⊆A,所以=1或=5,解得a=1或a=.(14分) 综上,C=.(15分) 若选③,当a=0时,B=⌀,满足B∩(∁RA)=⌀;(8分) 当a≠0时,B=,(10分) 因为B∩(∁RA)=⌀,所以=1或=5,解得a=1或a=.(14分) 综上,C=.(15分) 17.解析　　(1)因为A∩B=B,所以B⊆A.(1分) 因为A={x|-4≤x≤3},B={x|m-1≤x<2m+1}, 所以当B=⌀时,m-1≥2m+1, 解得m≤-2;(3分) 当B≠⌀时,m-1<2m+1,解得m>-2, 又B⊆A,所以解得-3≤m≤1,所以-2<m≤1.(5分) 综上,实数m的取值范围为(-∞,1].(6分) (2)因为不存在实数x,使x∈A,x∈B同时成立,所以A∩B=⌀.(8分) 当B=⌀时,由(1)得m≤-2;(10分) 当B≠⌀时,m-1<2m+1,解得m>-2, 又A∩B=⌀,所以m-1>3或2m+1≤-4,解得m>4或m≤-, 所以m>4.(14分) 综上,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪(4,+∞).(15分) 18.解析　　(1)解x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.(2分) 解x2-ax+a-1=0,得x=1或x=a-1.(4分) 因为A∩B=B,所以B⊆A,(5分) 所以a-1=1或a-1=2,解得a=2或a=3.(7分) (2)由(1)知A={1,2}.因为A∩C=C,所以C⊆A.(8分) 当C=⌀时,Δ=4(m+1)2-4(m2-5)<0,解得m<-3.(10分) 当C={1}时,无解.(12分) 当C={2}时,解得m=-3.(14分) 当C={1,2}时,无解.(16分) 综上,实数m的取值范围是(-∞,-3].(17分) 19.证明　(1)假设x0∈A,(x0,x0)∈T(A). 由题意得x0>0,=1∈A.(2分) 因为对任意的x∈A,∉A,所以取x=1∈A,得1=∉A,矛盾, 所以假设不成立,故对任意的x∈A,(x,x)∉T(A).(5分) (2)由(a,b)∈T(A),得a,b>0,a,b∈A,∈A,(7分) 显然=b,由定义知∈T(A),(9分) 又T(A)中只有一个元素,所以必有(a,b)=,即b=, 所以a=b2.(11分) (3)易得A的二元子集有{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e},共10个. 由于对任意的x∈A,∉A,所以1∉A, 同时,若(p,q)∈T(A),则∈A,从而∉A,所以必有(q,p)∉T(A).(12分) 因为T(A)中恰有10个元素,所以A的每个二元子集中的元素组成的数对都是T(A)中的一个元素,即对任意的p,q∈A,若p≠q,则(p,q)∈T(A)或(q,p)∈T(A),即∈A或∈A.(14分) 若a<1<e,则<a<e<,此时∉A且∉A,与上述结果矛盾, 所以0<a<e<1或1<a<e.(15分) 当0<a<e<1时,A中所有元素都小于1, 于是对任意的p,q∈A,若p>q>0,则1<,故∉A,所以必有∈A, 此时a<<<<,故a,,,,是A中五个不同的元素, 所以=b,=c,=d,=e,解得e2=d,e3=c,e4=b,e5=a, 因此c2=e6=ae.(16分) 当1<a<e时,A中所有元素都大于1, 于是对任意的p,q∈A,若p>q>0,则1>,故∉A,所以必有∈A, 此时<<<<e,故,,,,e是A中五个不同的元素, 所以=a,=b,=c,=d,解得a2=b,a3=c,a4=d,a5=e, 因此c2=a6=ae. 综上所述,c2=ae.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$