18.5分式方程　讲义　　-2025-2026学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“分式方程”核心知识点，从分式方程的概念（分母含未知数，与整式方程区分）入手，梳理解法（转化整式方程、验根步骤），延伸至含字母分式方程的解法（注意限制条件），最终落脚于实际应用（列方程解决问题），构建完整学习支架。 资料亮点在于例题选自各地模拟题与月考题，情境真实，助学生用数学眼光观察现实问题，解法强调转化思想与验根环节，发展推理意识，应用题“审设列解验答”步骤规范，提升模型意识，课中辅助教师讲解，课后分层练习助学生查漏补缺。

18.5 分式方程 【学习目标】 1．理解分式方程的定义，能识别分式方程与整式方程的区别． 2．掌握分式方程的解法，能规范求解含数字系数或字母系数的分式方程． 3．能列分式方程解决实际问题，并检验解的合理性． 【新知探究】 知识梳理1 分式方程的概念 知识梳理2 分式方程的解法 知识梳理3 含字母的分式方程的解法 知识梳理4 分式方程的应用 知识梳理1 分式方程的概念 1．分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程． 2．分式方程必须满足的条件： （1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未知数． 三者缺一不可． 【例1】　（2025春•滕州市校级月考）下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【例2】　（2025•闵行区模拟）在下列方程中，分式方程是（　　） A． B． C． D． 【例3】　（2025春•崇明区期中）在下列方程中，分式方程是（　　） A． B． C． D． 【例4】　（2025春•永春县期中）下列方程：①1；②，③，④5，是分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【例5】　（2025春•良庆区校级月考）下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 知识梳理2 分式方程的解法 1．解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． 2．解分式方程的一般方法和步骤： （1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； （2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等； （3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． 3．解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解． 【例6】　（2025春•长安区校级月考）解方程：． 【例7】　（2025春•金凤区校级月考）解方程： （1）； （2）． 【例8】　（2025•城东区校级三模）解方程：． 【例9】　（2025•南安市一模）解分式方程： ． 【例10】　（2025春•上海校级月考）解方程：． 知识梳理3 含字母的分式方程的解法 1．含字母的分式方程：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程． 2．含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件． 【例11】　（2023秋•万年县期末）关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是（　　） A．a≠3 B．a≠0 C．a≠3且a≠0 D．a＝3且a＝1 【例12】　（2024秋•荣昌区校级月考）关于x的分式方程3的解是负数，则字母m的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜﹣3 D．m＜﹣3且m≠﹣2 【例13】　（2025春•高县期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥3且m≠6 B．m＜3 C．m＞﹣3且m≠3 D．m≤﹣3且m≠﹣6 【例14】　（2025春•普宁市校级月考）若方程1的解与3的解相同，则a等于（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【例15】　（2025•宿城区二模）已知关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围是 　　 ． 知识梳理4 分式方程的应用 列分式方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量． 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性． 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程． 解：解所列出的分式方程． 验：既要检验所得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求． 答：写出答案． 【例16】　（2024秋•安顺期末）某校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购买排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价高60%，用500元购买的排球数量比用720元购买的足球数量多1个，求排球和足球的单价各是多少元？小宇同学根据题意得到方程，则方程中未知数x所表示的是（　　） A．足球的单价 B．排球的单价 C．足球的数量 D．排球的数量 【例17】　（2025•大同模拟）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，…．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“…”表示的条件为（　　） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 【例18】　（2025春•丽水期中）某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修10m，结果延期15天完成 B．每天比原计划多修10m，结果提前15天完成 C．每天比原计划少修10m，结果延期15天完成 D．每天比原计划少修10m，结果提前15天完成 【例19】　（2025春•光明区期末）某工厂加工1500个零件后，采用了新工艺，工效提升了50%，这样再加工1500个相同的零件就比之前少用10小时．求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？（请列分式方程求解） 【例20】　（2025•五华区校级模拟）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒农药比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药的亩数． 【课后巩固】 一、选择题（共10小题） 1．（2025•海珠区校级二模）马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42公里，在比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早40分钟，若乙的平均速度为x km/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•寿县期末）关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．方程的解是x＝m﹣5 B．当m＜5时，方程的解是负数 C．当m＞5时，方程的解是正数 D．以上说法均不正确 3．（2025春•东坡区校级期中）已知关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 4．（2022秋•夏邑县期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 5．（2022秋•利川市期末）分式方程有解，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠1 C．m≠0或m≠1 D．m≠0且m≠1 6．（2022秋•扶沟县校级期末）疫情期间，某学校用4000元钱到药店去采购75%的酒精消毒液，经过协商议价，实际每瓶降价20%，结果比用原价多买了200瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　） A． B． C． D． 7．（2022秋•丰南区校级期末）已知关于x的方程的两个解分别为a，，则方程的解是（　　） A．a， B．，a+1 C．，a+1 D．a， 8．（2025•清镇市模拟）代数式与的值相等，则x的值为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．6 9．（2024秋•海口期末）某工厂原计划完成120个零件，每天生产x个，采用新技术后，每天可多生产2个零件，结果提前3天完成．可列方程（　　） A． B． C． D． 10．（2025春•乾县校级期末）若关于x的分式方程的解为x＝4，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣9 C．﹣6 D．2 二、填空题（共10小题） 11．（2025春•碑林区校级月考）已知关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是　 　 ． 12． （2025春•九台区校级月考）若分式方程无解，则a的值为　 　 ． 13． （2025•西城区校级三模）方程的解为 　 　 ． 14． （2025春•兴隆台区月考）方程的解是　 　 ． 15．（2025春•庐阳区校级期末）已知关于x的方程． （1）若a＝3，则方程的解是 　 　 ． （2）若方程无解，则a的值是 　 　 ． 16．（2025春•宝鸡期末）已知和互为相反数，则x的值为　 　 ． 17． （2025春•徐汇区校级月考）若关于x的方程的解是x＝﹣1，则m的值为　 　 ． 18． （2025春•永寿县校级期末）某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克　 　 元． 19． （2025春•曲沃县期末）某企业积极响应政府号召，更新生产线，淘汰落后产能，已知生产线更新后每天比更新前多生产200件产品，生产线更新后生产1200件产品的时间与更新前生产800件产品的时间相同，若设更新后生产线每天生产x件产品，则可列方程为　 　 ． 20． （2025春•寿县期末）已知关于x的分式方程的解为2，则m＝　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025•让胡路区校级一模）2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送50kg物品，每个甲型机器人运送2000kg物品所用的时间与每个乙型机器人运送1500kg物品所用的时间相等．求甲，乙两种机器人每小时分别运送多少物品？ 22．（2025春•金安区校级期末）关于x的方程． （1）当k＝3时，求该方程的解； （2）若该方程无解，求k的值． 23．（2024秋•岳麓区校级期末）解方程 （1） （2）． 24． （2025春•碑林区校级月考）解方程：． 25． （2025春•南海区校级月考）口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年佛山市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年佛山全市范围内以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的，已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和10.2公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 26．（2025•扬州三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A，B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．问这两种型号的数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 学科网（北京）股份有限公司 $$