第十九章 二次函数和反比例函数（复习讲义）数学北京版九年级上册

第十九章 二次函数和反比例函数（复习讲义） ①掌握二次函数的相关概念，学会用二次函数表示数量关系； ②掌握二次函数的图象与性质，理解二次函数的单调性；掌握二次函数的对称轴、顶点坐标、最值等概念； ③掌握二次函数与方程、不等式之间的关系；学会运用图象解方程或不等式的解集； ④掌握反比例函数的概念、图象和性质； ⑤掌握反比例函数的k值意义，学会用k值找到反比例函数的图形面积； ⑥理解反比例函数的实际应用问题； 重点一、二次函数的概念 二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 重点二、二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 重点三、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 重点四、二次函数与各项系数关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 重点五、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 重点六、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 重点七、反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 2. 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 3. 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 重点八、反比例函数的k值意义 1. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 重点九、反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型一 二次函数的相关概念 1．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 2．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 题型二 根据二次函数的定义求参数 5．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 6．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 7．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 8．已知关于的函数． （1）若这个函数是一次函数，则的值为 ． （2）若这个函数是二次函数，则的取值范围是 ． 题型三 二次函数的图象与性质 9．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 11．已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为 ． 12．已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 题型四 一般式、顶点式、交点式 13．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 14．已知一条抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 15．选择最优解法，设出下列二次函数的表达式： （1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为 ． （2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为 ． （3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为 ． 16．已知抛物线经过点，且对称轴为轴，求此抛物线对应的二次函数解析式． 题型五 二次函数图象与各项系数符号 17．如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于，，的符号判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 19．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 填序号 20．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有两个根，，则．正确的结论是 （写序号）． 题型六 求二次函数对称轴 21．抛物线经过点和，则它的对称轴为 ． 22．已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 23．二次函数图象上两点，则此抛物线的对称轴是直线 ． 24．二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 题型七 求二次函数值 25．用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格： … 0 1 2 … … … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时，？（   ） A． B． C． D．0 26．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的横坐标 ． 28．如图，已知二次函数的图象经过． (1)求二次函数的顶点坐标； (2)自变量在什么范围内，随的增大而减小？ (3)当时，请根据图象直接写出的取值范围． 题型八 二次函数图象的平移问题 29．下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 30．把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线．试确定a，h，k的值． 31．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 32．已知关于的二次函数，该函数图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标； (2)这个二次函数图象与轴的交点坐标是______； (3)将这个二次函数的图象沿轴平移，使其顶点恰好落在轴上，请直接写出平移后的函数表达式____________． 题型九 抛物线与坐标轴的交点 33．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 34．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到新的抛物线与轴的交点坐标为 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 36．已知二次函数，当时，；当时，． (1)求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； (2)此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 题型十 根据二次函数的图象确定方程的根 37．已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 38．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．已知点，，在二次函数（）的图象上，则方程的解为 ． 40．二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 题型十一 根据交点确定不等式的解集 41．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 42．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 43．如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ． 44．抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)抛物线顶点坐标为___________． (3)当时，自变量x的取值范围是___________． (4)当时，求的取值范围． 题型十二 图形类实际问题 45．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 46．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 47．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 48．如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． (1)若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ (2)当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 题型十三 销售类实际问题 49．某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件． (1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________． (2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 50．2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 51．“十一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从10月1日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（10月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表： 第x天 5 10 15 20 日销售量y（件） 50 60 70 80 (1)直接写出y与x的函数关系式 ； (2)设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？ (3)求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3072元的共有多少天？ 52．沈阳故宫周边某文创店销售特色书签，每盒成本为30元．经市场调研，当售价为40元1盒时，每月可销售200盒；售价每上涨1元，月销售量就减少5盒．设每盒书签的售价为元（），月利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)当售价为多少元时，月利润最大，最大月利润是多少； (3)该文创店想使月利润不低于2280元请结合售价与销量的实际情况，求文创店确定售价的取值范围 ． 题型十四 拱桥、投球与喷水问题 53．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 54．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 55．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 56．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系． 下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据： x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/米 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则 ．（填“”，“”或“”） 题型十五 反比例函数的相关概念 57．若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 58．如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 59．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 60．已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 题型十六 求反比例函数解析式 61．已知y是x的反比例函数，且时，． (1)求出y与x之间的函数表达式． (2)当时，求y的值． 62．如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断，，是否在反比例函数的图象上． 63．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求与的函数解析式； (2)当时，求的值． 64．已知与成反比例函数关系，且当时，．求： (1)y与x的函数关系式； (2)当时，y的值． 题型十七 反比例函数的增减性求参数 65．在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 66．已知是双曲线上的两点，当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 67．已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是 ． 68．已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 题型十八 反比例函数的k值意义 69．如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 70．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C在y轴上，连接，．若的面积为2，则（   ） A．4 B． C． D．2 71．如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 ． 72．如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 题型十九 一次函数与反比例函数结合 73．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 74．如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 75．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ． 76．如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 题型二十 反比例函数的实际应用 77．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 78．如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 79．如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． 信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为． 图③ (1)该容器内氧气的质量为________． (2)求容器内氧气的密度关于体积V的函数解析式． (3)若该容器的体积V为，求氧气的密度． 80．近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 题型二十一 反比例函数与几何综合 81．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 82．如图，直线与双曲线交于点 (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 83．如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 84．已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 基础巩固通关测 1．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则的值（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 2．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k是常数，）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·模拟预测）已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线 ． 5．（2024·北京·模拟预测）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 6．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和都在反比例函数的图象上，当时，都有，则的取值范围为 ． 7．（2025·北京·一模）如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么 ． 8．（2024·北京·模拟预测）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 9．（2024·北京·模拟预测）如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m． 10．（2024·北京·模拟预测）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 11．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且 (1)当时，求的值； (2)若，求的取值范围；若点，，在抛物线上，判断，与的大小关系且说明理由． 12．（2025·北京·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 13．（2025·北京·模拟预测）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； (2)连接，，则的面积为______． (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 14．（2025·北京门头沟·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，若直线与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，，当时，直接写出的取值范围． 15．（24-25九年级下·北京东城·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 能力提升进阶练 16．（2025·北京·模拟预测）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 17．（2025·北京·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点A的横坐标是1．将直线向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·北京大兴·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，⑤若方程的解是或，其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．（2025·北京门头沟·模拟预测）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 20．（2025·北京·模拟预测）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2025·北京东城·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 22．（2025·北京朝阳·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点D，作矩形，点分别在x轴和y轴上，且，若矩形的面积为24，则k的值是 ． 23．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 24．（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为 ． 25．（2025·北京·模拟预测）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 26．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象都经过点． (1)求该正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，直接写出的取值范围． 27．（2025·北京海淀·一模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 28．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)若为抛物线上一点，求的值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 29．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是种酶对面粉拉伸面积的影响表． 种酶添加量() 面粉拉伸面积() (1)根据表格中数据，发现可以用函数刻画面粉拉伸面积和种酶添加量之间的关系， ①当时，与满足_____________关系；(填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”) ②当时，与满足二次函数关系，且当_____________时，最大； (2)结合（1）中的判断，请你求出当时面粉拉伸面积与种酶的添加量的函数关系式． (3)当面粉拉伸面积不小于且不大于时达到的效果较好，请直接写出达到效果较好时的的取值范围． 30．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求a的值； (2)已知是抛物线上两点．当时，对于，都有，求a的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 二次函数和反比例函数（复习讲义） ①掌握二次函数的相关概念，学会用二次函数表示数量关系； ②掌握二次函数的图象与性质，理解二次函数的单调性；掌握二次函数的对称轴、顶点坐标、最值等概念； ③掌握二次函数与方程、不等式之间的关系；学会运用图象解方程或不等式的解集； ④掌握反比例函数的概念、图象和性质； ⑤掌握反比例函数的k值意义，学会用k值找到反比例函数的图形面积； ⑥理解反比例函数的实际应用问题； 重点一、二次函数的概念 二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 相互联系 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 重点二、二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 重点三、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 重点四、二次函数与各项系数关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 重点五、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 重点六、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 重点七、反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 2. 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 3. 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 重点八、反比例函数的k值意义 1. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 重点九、反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 题型一 二次函数的相关概念 1．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；（1）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为：，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 3．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 题型二 根据二次函数的定义求参数 5．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 6．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 7．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ，， 解得：， 故答案为：1． 8．已知关于的函数． （1）若这个函数是一次函数，则的值为 ． （2）若这个函数是二次函数，则的取值范围是 ． 【答案】 0 且 【分析】本题主要考查了一次函数的定义以及二次函数的定义，解题的关键是应用定义得到有关字母系数的等式或不等式． （1）由一次函数的定义可得，且，进而求解即可； （2）由二次函数的定义可得，，进而求解即可． 【详解】解：（1）这个函数是一次函数， 且， 解得：(已舍去)． 故答案为：． （2）这个函数是二次函数， ， 解得且． 故答案为：且． 题型三 二次函数的图象与性质 9．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 10．已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据顶点在轴上求出的值，再分析抛物线的性质，结合给定的的取值范围，确定函数值的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标、对称轴、开口方向以及函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． ∵顶点在轴上，轴上的点纵坐标为 ∴，解得． ∴抛物线解析式为，其对称轴为，开口向上． 当时，有最小值； 当时，； 当时，． ∵在中，时最小为，时最大为 ∴函数值的取值范围是． 故答案为：． 11．已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上坐标点的特征，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 根据题干条件可以得到关于两点横坐标的关系式，进行求解即可． 【详解】解：点,都在二次函数上， ， 即 解得 故答案为： ． 12．已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的增减性，求出结果即可； （3）根据平移的特点，得出答案即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图所示： （2）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象． 题型四 一般式、顶点式、交点式 13．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出再结合顶点为即可得出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为． 该抛物线的解析式为∶ ． 故选∶B 14．已知一条抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出抛物线的解析式，然后利用点A的坐标求出常数项，利用纵坐标相同的点B与点C ，求出对称轴进而得知抛物线一次项系数与二次项系数的关系式，点D带入解析式即可求出. 【详解】解：设抛物线的解析式为 将点A(0,10)代入解析式得 ， 得， 故解析式为； 点B()和C()的纵坐标相同， 即点B与点C关于抛物线的对称轴对称。 对称轴为两点横坐标的中点为 已知抛物线的对称轴公式为， 将D(3,1)代入解析式： 整理得 又 解得； . 故抛物线的解析式为. 故选：C. 【点睛】本题考查了抛物线的对称性及已知点坐标求抛物线的解析式，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键. 15．选择最优解法，设出下列二次函数的表达式： （1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为 ． （2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为 ． （3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式： （1）根据抛物线与y轴的交点坐标，即可求解； （2）根据抛物线的顶点坐标，即可求解； （3）根据抛物线的最大值为6，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点， ∴可设抛物线的表达式为； 故答案为：； （2）∵抛物线的顶点坐标， ∴可设抛物线的表达式为； 故答案为：； （3）∵二次函数有最大值6， ∴可设抛物线的表达式为． 故答案为：． 16．已知抛物线经过点，且对称轴为轴，求此抛物线对应的二次函数解析式． 【答案】 【分析】该题考查了待定系数法求二次函数解析式，可设抛物线对应的二次函数解析式为代入求解即可． 【详解】解：根据题意，可设抛物线对应的二次函数解析式为， 把代入得， 解得：， 则抛物线解析式为． 题型五 二次函数图象与各项系数符号 17．如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定、、的符号，从而判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的正半轴相交， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ∴，，，，故B、C、D错误，不符合题意；A正确，符合题意； 故选：A． 18．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于，，的符号判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向下；对称轴在轴左侧，，同号；抛物线与轴的交点即为的值． 根据开口方向可得，根据对称轴及抛物线与轴的交点可得，，即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在轴左侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于轴正半轴， ∴， 综上所述：，，． 故选：A． 19．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 填序号 【答案】①④ 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当时，当时，的范围，确定代数式的符号． 【详解】解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故错误； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①④． 20．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有两个根，，则．正确的结论是 （写序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】此题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键，依次根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①由图象可知：， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵图形与x轴有两个交点， ∴， ∴， 故②错误； ③由函数图象可得，当时，，故③正确； ④当时，y最大，且， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵设方程的两根为， 则，故⑤正确， 故答案为：③④⑤． 题型六 求二次函数对称轴 21．抛物线经过点和，则它的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】此题考查抛物线的对称性，根据抛物线经过的两点纵坐标相等，得对称轴为该两点横坐标和的一半，由此得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴它的对称轴为直线， 故答案为：直线． 22．已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察和，得与关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：依题意，因为抛物线经过，两点，且和两点的纵坐标相等， 所以和关于对称轴对称， 即， 故答案为：． 23．二次函数图象上两点，则此抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解对称点的特征，本题属于基础题型．由于两点的纵坐标相等，故对称轴是两点横坐标之和的一半． 【详解】解：函数的图象上有两点, 且两点的纵坐标相等， 关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为：直线， 故答案为：3． 24．二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据抛物线的对称性求得即可； （3）根据表格中数据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵点关于直线的对称点为 ∴， 故答案为：； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时， 故答案为：． 题型七 求二次函数值 25．用“描点法”画二次函数的图象时，列了如下表格： … 0 1 2 … … … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数当时，？（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由表格数据得二次函数的对称轴为直线，再结合与关于直线对称，即可作答． 【详解】解：观察表格数据得和时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴关于直线对称为， 即该二次函数当时，， 故选：B 26．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线轴对称性，解答关键是利用数形结合解答问题．求出函数的对称轴的表达式，利用函数的对称性即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的横坐标 ． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线的对称性，熟练掌握抛物线对称轴的相关知识是解题的关键．根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为，即， 故答案为：3． 28．如图，已知二次函数的图象经过． (1)求二次函数的顶点坐标； (2)自变量在什么范围内，随的增大而减小？ (3)当时，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点A坐标代入得出c的值，然后配成顶点式，进而问题可求解； （2）由（1）结合二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的对称性求出点A的对称点坐标，然后问题可求解 【详解】（1）解：把代入， 得：， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：∵该抛物线对称轴为直线，且，开口向上， ∴当时，随的增大而减小； （3）解：由二次函数的对称性可知点对称点为， ∴当时，则x的取值范围为． 题型八 二次函数图象的平移问题 29．下列二次函数的图像是由二次函数的图像怎样平移得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)向右平移3个单位长度 (2)向左平移1个单位长度 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据“左加右减”可以得解； （2）根据“左加右减”可以得解． 【详解】（1）解：的图像向右平移3个单位长度得到的图像； （2）解：的图像向左平移1个单位长度得到的图像． 30．把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线．试确定a，h，k的值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移特点，得出，，，然后再求出，，即可． 【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线， ∴，，， ∴，，． 31．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)抛物线是由抛物线向左平移2个单位； (3)当时，y随x的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据对称轴，可得的值，根据抛物线过点，可得a值； （2）根据顶点式，即可说明需要移动的单位和方向； （3）根据函数图象及函数的增减性回答即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即抛物线解析式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度得到的； （3）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． 32．已知关于的二次函数，该函数图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标； (2)这个二次函数图象与轴的交点坐标是______； (3)将这个二次函数的图象沿轴平移，使其顶点恰好落在轴上，请直接写出平移后的函数表达式____________． 【答案】(1)； (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数求解析式及二次函数的性质、利用函数与方程的关系解方程、配方法的应用、图形的平移等． （1）代入点的坐标可求，进而可求解析式及顶点坐标； （2）令，可求与轴交点坐标； （3）将二次函数转化为顶点式，依据其顶点恰好落在y轴上可得结果． 【详解】（1）解：该二次函数图象经过点， ， 解得． 二次函数的表达式为． 二次函数顶点坐标为． （2）解：令，则． 解得，， 该二次函数图象与轴的交点坐标为，． （3）解：， 平移后要使其顶点恰好落在轴上， 则需将函数图像向左平移1个单位长度， 可得函数的表达式为：． 题型九 抛物线与坐标轴的交点 33．已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题可知，的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 34．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到新的抛物线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得到平移后的解析式，在根据抛物线与坐标轴的交点的计算即可求解． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后的解析式为， 当时，， ∴平移后的解析式与轴的交点坐标为， 故答案为： ． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 36．已知二次函数，当时，；当时，． (1)求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； (2)此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了抛物线和x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，把时，；当时，代入，求得a、c的值即可求得； （2）令，解方程求得A、B点的坐标，令，解方程求得C点的坐标即可． 【详解】（1）解：把时，；当时，代入， 得，解得， ∴二次函数表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：令，则， 解得，， ∵在的左边， ∴，， 令，则， ∴． 题型十 根据二次函数的图象确定方程的根 37．已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据表格信息求解的对称轴为直线，再进一步求解即可. 【详解】解：由表格信息可得：的对称轴为直线， 而当时，， 根据对称性可得： 当时，， ∴的解为：，； 故选：A 38．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 39．已知点，，在二次函数（）的图象上，则方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程．由可得，进而得到二次函数为，由二次函数的对称性可得二次函数的对称轴为直线，把方程转化为，即可得为二次函数图象上的点，得到是方程的一个解，利用对称性即可得到方程的另一个解，即可求解． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴二次函数为， ∵，在二次函数的图象上， ∴二次函数的对称轴为直线， 由方程可得，， ∵点为二次函数图象上的点， ∴是方程的一个解， 即为方程的一个解， 设方程的另一个解为， 由可得，， ∴方程的另一个解为， ∴方程的解为或， 故答案为：或． 40．二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性得二次函数与轴的另一个交点坐标是，即可作答． （2）运用数形结合思想，得出当时，则的取值范围为，即可作答． （3）结合图象的开口方向以及最高点的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，对称轴是， 则， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标是， ∴方程的两个根是，； （2）解：由图课得出二次函数图象的开口向下， 由（1）得二次函数与轴的交点坐标是和， ∴当时，则的取值范围为， ∴不等式的解集是． （3）解：∵二次函数的图象的最高点，且图象开口向下 ∴当方程有两个实数根，则的取值范围是． 题型十一 根据交点确定不等式的解集 41．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 42．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 43．如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系． 由二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点，然后观察图象，即可求得答案． 【详解】解：由图象可知，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点与坐标原点， 当时，的图象在下方，因此； 由与轴交于点，可知当时，； ∴当时，． 故答案为：． 44．抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)抛物线顶点坐标为___________． (3)当时，自变量x的取值范围是___________． (4)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程、不等式（组）的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）令，求解出的的值即点和点的横坐标； （2）化为顶点式即可求解； （3）先求出点的坐标，利用当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方，结合图象即可求解； （4）求出函数的最小值，及和时，的值，再结合函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：令， 化简得：， 解得：，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， 所以抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：令中， 得， ∴， ∵当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴根据图象可得或， 故答案为：或； （4）解：∵，， ∴当时，取最小值， 又∵当时，，当时，， ∴结合图象可得当时，的取值范围为， ∴的取值范围为． 题型十二 图形类实际问题 45．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 46．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 47．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【答案】(1)秒或秒后,的面积等于； (2)大；9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． （1）设秒后,的面积等于,分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为列出方程求得时间即可； （2）根据，当时，即可取得最大值9． 【详解】（1）解：设秒后,的面积等于,则,,, 根据题意得： ， 解得:或， 答：秒或秒后,的面积等于； （2）解：∵ ， ，开口向下， ∴当时，取得最大值9， ∴经过3秒，的面积最大，最大值是9． 故答案为：大；9． 48．如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． (1)若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ (2)当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 【答案】(1)5米 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用， 对于（1），解：设，则，根据面积相等列出方程，求出解，再根据题意可得符合题意的解； 对于（2），设，则，可得二次函数，再求出a的取值范围，然后讨论二次函数的最大值即可. 【详解】（1）解：设，则，根据题意，得 ， 整理，得， 解得. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 所以围栏段的长为5米； （2）解：设，则，种植园的面积为S， 根据题意，得，且， 即. ∵，可知抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，（）. 所以当时，种植园的最大面积是，. 题型十三 销售类实际问题 49．某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为元，日销售量为y件． (1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________． (2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】本题考査一次函数在销售问题的应用，二次函数在销售问题中的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，据此即可求解； （2）设日销售利润为元，日销售利润每件所获利润日销售量，据此即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：设日销售利润为W元． 由题意，得． ∵， ∴当时，(元)． 答：该商场应将每件售价定为70元，才能使日销售利润最大，最大利润为8000元． 50．2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 (2)；W的最大值为4500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 51．“十一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从10月1日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（10月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表： 第x天 5 10 15 20 日销售量y（件） 50 60 70 80 (1)直接写出y与x的函数关系式 ； (2)设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？ (3)求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3072元的共有多少天？ 【答案】(1) (2)第20天利润最大，最大利润为3200元 (3)这一个月中，超市该商品的日销售利润不低于3072元的共有17天 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设，再把，代入计算，即可作答． （2）结合题意，进行列式整理得结合二次函数的图象性质进行分析，得第20天利润最大，最大利润为3200元，即可作答． （3）依题意，得出，故解得或，因为，所以开口图像向下，即时，，所以从第12天开始到第28天日销售利润不低于3072元，即可作答． 【详解】（1）解：观察表格可知，y是x的一次函数，设， 把，代入， 得， 解得：， ∴y与x的函数关系式， 故答案为：； （2）解：根据题意可得， ∵， ∴当时，W有最大值为3200元； ∴第20天利润最大，最大利润为3200元； （3）解：由（）得， 令时，， ∴ 解得或， ∵ ∴开口图像向下 ∴时， ∵x为整数， ∴从第12天开始到第28天日销售利润不低于3072元， 则（天） ∴这一个月中，超市该商品的日销售利润不低于3072元的共有17天． 52．沈阳故宫周边某文创店销售特色书签，每盒成本为30元．经市场调研，当售价为40元1盒时，每月可销售200盒；售价每上涨1元，月销售量就减少5盒．设每盒书签的售价为元（），月利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)当售价为多少元时，月利润最大，最大月利润是多少； (3)该文创店想使月利润不低于2280元请结合售价与销量的实际情况，求文创店确定售价的取值范围 ． 【答案】(1)； (2)当销售单价定为55元时，所获利润最大．最大利润是3125元； (3)文创店确定售价的取值范围是． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据该日用品每盒售价为40元时，每月的销售量为200个，销售单价每提高1元，销售量就会减少5个，求得销售量，再根据利润=（售价-进价）×数量求出关于x的关系式即可； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可得，结合售价与销量的实际情况，求解即可． 【详解】（1）解：设每盒书签的售价为元（），则销售量为； 由题意得：； （2）解：由（1）整理得， ∵， ∴当时，有最大值3125， ∴当销售单价定为55元时，所获利润最大．最大利润是3125元； （3）解：由题意得：， ∴， ∵， 解得． 答：文创店确定售价的取值范围是． 题型十四 拱桥、投球与喷水问题 53．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答． （2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故设该抛物线的函数表达式为， ∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度， 即， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵该抛物线的函数表达式为， ∴设， 则， ∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为， ∴， ∴灯带总长度， ∵， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即， 故的长为． 54．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 (3)1 【分析】本题考查的是二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）计算当时，y的值与比较即可得出答案； （3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，        设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得，         ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，   ∴球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 55．体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【答案】圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【分析】本题主要考查二次函数的应用．求出函数解析式中时x的值，结合可得最终的x的值，从而得出的长． 【详解】解：当时，， 解得，， ∵， ∴，即． 答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 56．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系． 下面是水流高度y和水平距离x之间的几组数据： x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/米 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0 (1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式； (2)由于调整了水压，水流喷出高度y与水平距离x之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】(1)2米 (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法，顶点坐标的应用． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）分别求出点，，即可求解． 【详解】（1）解：水流喷出的最大高度为2米． 由题意可得，抛物线经过点和， 将上述两个点坐标代入中，得 ， 解得 ， ∴函数关系式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点，即， 对于， 当时，， 解得：， ∴点，即， ∵， 即． 故答案为： 题型十五 反比例函数的相关概念 57．若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 58．如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 59．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 60．已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握正比例函数，反比例函数是关键． （1）根据正比例函数的定义，可得且，进而即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得，， ∴． （2）解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得， ∴． 题型十六 求反比例函数解析式 61．已知y是x的反比例函数，且时，． (1)求出y与x之间的函数表达式． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据函数值的计算求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 因为时，， 所以有，解得， 所以y与x的函数表达式为． （2）解：把代入，得． 62．如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断，，是否在反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点A不在该反比例函数图象上，点B，C在该反比例函数图象上 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，判断点是否在反比例函数图象上，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出点P的坐标． （1）用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特点，逐个进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点． 设， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴不在该反比例函数图象上； ∵， ∴在该反比例函数图象上； ∵， ∴在该反比例函数图象上． 63．已知是的反比例函数，且当时，． (1)求与的函数解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，已知自变量求函数值， （1）设，将，代入求出即可； （2）将代入解析式求出的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 当时，， ， 与的函数解析式为； （2）当时，． 64．已知与成反比例函数关系，且当时，．求： (1)y与x的函数关系式； (2)当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数，求函数值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，列式，再把和代入代入进行计算，即可作答． （2）根据（1）得出，再结合，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系 ∴ 把和代入 得 即 ∴ ∴； （2）解：依题意，把代入 得出 题型十七 反比例函数的增减性求参数 65．在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象增减性与的关系是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，当反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，得到，解得，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大， ，解得． 故选：D． 66．已知是双曲线上的两点，当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的概念及增减性，解题的关键是根据函数在特定区间内的增减趋势判断比例系数的符号． 根据反比例函数，当时，y随x的增大而增大即可解题． 【详解】：∵当时，有，即y随x的减小而减小， ∴函数图像在第二、四象限，且反比例函数系数， ∴． 故选：D． 67．已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，结合得出反比例函数图象分布在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，且， ∴， ∵， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限， ∴， 故答案为：． 68．已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（为常数）中，当时，在每一象限内随的增大而减小；当时，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质，当反比例函数（为常数）中时，在每一支上随的增大而增大，所以通过这个性质列关于的不等式求解． （2）先把代入函数解析式得到具体的反比例函数，再分别求出和时对应的的值，最后根据反比例函数的单调性确定的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大 ； （2）解：当时，反比例函数为 当时，，解得 当时，，解得 反比例函数在时，随的增大而减小 当时，． 题型十八 反比例函数的k值意义 69．如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可． 【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 70．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C在y轴上，连接，．若的面积为2，则（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题综合考查了反比例函数系数k的几何意义，同底等高三角形的面积相等，重点掌握反比例函数系数k的几何意义． 连接，根据，可得，即可求解． 【详解】解∶如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴． 故选：A 71．如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，最基本的思路是通过点的坐标去求解．由正方形的面积可求的长度，从而可求出A，B两点的横坐标，结合长度列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为9， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：3． 72．如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 题型十九 一次函数与反比例函数结合 73．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称，其交点也关于原点对称这一特性，或通过联立函数解析式求解交点坐标． 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称；已知点则其关于原点对称的点A的坐标为． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴它们的交点A、B也关于原点对称． ∵关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，且点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：D． 74．如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握数形结合是关键． 所求不等式的解集为双曲线在直线上方对于的自变量x的取值范围，根据两个函数图象及交点横坐标直接写出不等式解集即可． 【详解】解：由题意可知，，两点的横坐标分别为1和3， 不等式的解集为：或． 故选：C． 75．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的求值，根据函数解析式，可得，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 76．如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】(1)直线的函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）结合点和点的坐标及三角形的面积公式即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 将点和点代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． 将点坐标代入得， ， 所以反比例函数的解析式为． （2）∵， ∴中边上的高线长为2， ∵， ∴， ∴的面积为：． （3）由， 解得：，， ∴点的横坐标为． 直线：和反比例函数交于，B两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为． 题型二十 反比例函数的实际应用 77．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】(1) (2)半径为米 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 78．如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)减少，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据表格中变量的变化规律写出y与x之间的函数表达式，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． （1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）当时，求出对应x的值即可； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 与x之间的函数表达式为 故答案为：； （2）解：当时，得， 解得， 当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为； （3）解：托盘中应减少砝码．理由如下： ，， 随x的增大而减小， 当托盘B向右移动时x增大， 托盘中的砝码质量y应该减小， 托盘中应减少砝码． 79．如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． 信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为． 图③ (1)该容器内氧气的质量为________． (2)求容器内氧气的密度关于体积V的函数解析式． (3)若该容器的体积V为，求氧气的密度． 【答案】(1)8 (2) (3)氧气的密度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据代入，可求； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入（2）中解析式可求结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）解：根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． （3）解：该容器的体积V为， ． 答：氧气的密度为． 80．近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 【答案】(1)； (2)50； 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式和已知自变形的值、求函数值，解题的关键是注意计算的正确性． （1）先设反比例的函数表达式，根据图象上点的横纵坐标代入求出值即可； （2）把代入（1）中求出函数表达式即可． 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：， 由图象可知点在反比例图象上， ∴， ∴该反比例函数的表达式为：； （2）解：当时，， （度）， ∴佳佳的眼镜度数增加了50度． 题型二十一 反比例函数与几何综合 81．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 82．如图，直线与双曲线交于点 (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法求出双曲线对应的函数表达式即可； （2）先求出点B的坐标，再求出铅锤高，利用面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ， ， ， ∴双曲线对应的函数表达式为； （2）解：根据平移特征可知，平移后直线解析式为，联立方程组得： ，解得， ∴， 如图，过点作轴的垂线交于点， 在直线中，当时，， ∴， ∴ ∴． 83．如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，矩形的判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则四边形为平行四边形； （2）同（1）作出平行四边形，再由两点距离计算公式可证明，进而得到，据此可证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形 （2）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形； 根据勾股定理得，， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形是矩形． 84．已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 【答案】(1)一次函数解析式为：；反比例函数表达式； (2)或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和面积问题，数形结合和准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与轴交点的坐标为，得到，根据和面积相等列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 将点代入反比例函数表达式得，则 将点、的坐标代入一次函数解析式得到 解得 ∴一次函数解析式为：； （2）当时，，解得，， ∴直线与轴交点的坐标为，故； 或 点坐标为或 基础巩固通关测 1．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则的值（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，先将点A、B代入反比例函数解析式求出，，再相加即可. 【详解】解：∵点A、B在反比例函数图象上 ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B. 2．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键． 由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可． 【详解】解：由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数的图象在二四象限，不满足条件， 故选：． 3．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k是常数，）的图象上．下列各点中，在该反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．首先利用待定系数法求出k的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于k的值的就在反比例函数图象上，反之则不在． 【详解】解：∵点在反比例函数， ∴， A．在x轴上，而反比例函数图象与坐标轴没有交点，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024·北京·模拟预测）已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，再根据对称轴计算公式求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为2和， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 5．（2024·北京·模拟预测）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当时的自变量的值，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过，， 故， 解得：， 故抛物线解析式为： 由题意可得：当时， ， 解得： ∴米． 故答案为： 6．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和都在反比例函数的图象上，当时，都有，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第二、四象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·北京·一模）如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键．由过点作轴于点，利用反比例函数的几何意义表示出三角形与三角形面积，由三角形面积减去三角形面积表示出三角形面积，将已知三角形面积代入求出的值即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点， ，， ，即， 解得：， 故答案为：1． 8．（2024·北京·模拟预测）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 【答案】， 【分析】此题考查抛物线与坐标轴的交点问题．根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：由题意可知： 二次函数的对称轴是， 关于的对称点是． 则一元二次方程的两个实数根是，． 故答案为：，． 9．（2024·北京·模拟预测）如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m． 【答案】 10 3 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由图可知，要求的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可；要求铅球推出的过程中最大高度，即求得顶点的纵坐标即可． 【详解】解：将代入， ， 整理得：， ， 解得：或（舍去） ∴铅球推出的水平距离的长是． ∵， ∴顶点的坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是． 故答案为：10；3． 10．（2024·北京·模拟预测）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，令，由题意可得，，进而可得答案． 【详解】解：令， 由题意可得，， 解得． ∴k的取值范围为． 11．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且 (1)当时，求的值； (2)若，求的取值范围；若点，，在抛物线上，判断，与的大小关系且说明理由． 【答案】(1)1 (2)； 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的对称轴， 对于（1），根据时，可得，再根据抛物线的对称轴得出答案； 对于（2），先根据，可得，再根据，可得，进而得出答案；然后求出点关于对称轴对称的点，进而确定自变量的取值范围，接下来结合二次函数图象的性质得出答案. 【详解】（1）解：当时，， 即. ∵抛物线的对称轴是； （2）解：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 即； 点关于对称轴对称的点的坐标是， ∵， ∴. ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴左侧函数值y随着x的增大而增大. ∵， ，在对称轴的左侧， ∴. 12．（2025·北京·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 13．（2025·北京·模拟预测）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； (2)连接，，则的面积为______． (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为， (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质． （1）依据点A、B在反比例函数图象上，求出点A、B的坐标，再根据点B在一次函数图象上求出一次函数解析式； （2）依据题意，分别作轴于点D，作轴于点E，从而可得，结合A，B两点的坐标，分别求得，，，进而计算可以得解； （3）依据题意，根据一次函数和反比例函数图象，可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方．进而可以判断得解． 【详解】（1）解：把点代入中，得：， ∴点A的坐标为 把点代入中，得： ∴点B的坐标为 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数的解析式为 （2）如图，分别作轴于点D，作轴于点E， ∴ ． 又∵，， ∴，，． ． 故答案为：． （3）根据一次函数和反比例函数图象，得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， ∴的解集为或． 14．（2025·北京门头沟·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，若直线与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点，求出点的坐标，然后把点代入反比例函数，即可； （2）根据题意，画出直线，则直线与一次函数交于点，则；根据直线与反比例函数的图象分别交于点，得，根据，即可． 【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． （2）如下图： ∵过点作平行于轴的直线， ∴点，点的纵坐标为：， ∵直线与一次函数交于点， ∴， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴， ∵， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质． 15．（24-25九年级下·北京东城·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）把图像的一个交点的横坐标为代入一次函数，计算出交点坐标，再代入反比例函数即可求解； （2）根据题意联立方程组求出一次函数与反比例函数的交点，再根据反比例函数值大于一次函数的函数值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为， ∴代入一次函数得，， ∴交点坐标为， 把交点坐标代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：由（1）得，反比例函数解析式为，函数图像经过第一、三象限， ∴联立方程组得，，解得，或， ∴一次函数与反比例函数的交点是，， 若当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值， ∴，解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数图像的特点，交点的意义，函数值比较大小的方法，不等式的性质即可求解． 能力提升进阶练 16．（2025·北京·模拟预测）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ②当时， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； 综上，正确结论是②③． 故选：C． 17．（2025·北京·模拟预测）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点A的横坐标是1．将直线向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正比例函数的解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据直线向下平移m个单位长度，可得直线解析式为，所以点D的坐标为，过点C作轴于点F，根据，可得，所以，可得点C的坐标，然后利用反比例函数即可解决问题． 【详解】解：∵点A在正比例函数的图象上，A的横坐标是1， ∴A的纵坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数为， ∵直线向下平移m个单位长度， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点D的坐标为， 如图，过点C作轴于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在直线上， ∴， ∴， ∴点C的坐标是． ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 18．（2025·北京大兴·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，⑤若方程的解是或，其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和二次函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴为直线可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ，故②正确； ∵当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线过另一点， ∵抛物线向左平移2个单位长度得到， ∴方程的解是和，故⑤正确， 其中正确的结论是：①②④⑤，共4个， 故选：C． 19．（2025·北京门头沟·模拟预测）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，A不正确； B、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，B不正确； C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上， ∴当时，，故C正确； D、，二次函数的最小值是，D不正确； 故选：C． 20．（2025·北京·模拟预测）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上， ， 对称轴为直线， 符号相同， ， 与y轴的交点在之间（不含端点）， ， ， 故①不正确； 对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， 与轴交于另一点为， 当时，， 故②不正确； 由题意可得方程的两个根为， ， ， ， ， ， 故③正确； 若方程两根为， 则直线与抛物线的交点的横坐标为， 直线过第一、二、三象限且过点， 直线与抛物线的交点在第一，三象限， 如图所示， 由图象可知， 故④正确； 综上所述，正确的结论是③④，有个， 故选：B． 21．（2025·北京东城·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与k的几何意义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质证明，故，因为矩形的面积为14，即，因为点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．进行列式计算，即可作答． 【详解】解：分别过点作轴，轴，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵轴，作轴， ∴， ∴， 即， ∵矩形的面积为14， 则， 即， ∴， ∵点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上． ∴， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 22．（2025·北京朝阳·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点D，作矩形，点分别在x轴和y轴上，且，若矩形的面积为24，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求解反比例函数的解析式，先证明，，，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴， 故答案为： 23．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．先建立直角坐标系，求出函数解析式，根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【详解】解：先以所在直线为轴建立直角坐标系，二次函数的图像过，设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为：， 当时，， 当时，， 桶高米，设可以摆放个桶 ， 解得， 故至少要摆个桶， 故答案为：． 24．（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得求出，连接，过点A作轴交于点E，连接，证明四边形是平行四边形，得出，结合二次函数的对称性得到，由两点之间线段最短，当三点共线时，有最小值，再根据平行四边形的性质得到，运用两点距离公式列式计算即可作答． 【详解】解：令，则或， 将代入，则， ∴， ∴抛物线的对称轴为， 如图，连接，过点A作轴交于点E，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∵点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）， ∴， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 25．（2025·北京·模拟预测）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． (1)求的值； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 26．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象都经过点． (1)求该正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键 （1）将点坐标代入两个函数解析式求出 和值即可； （2）当时，，，根据题意，解出不等式解集即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点， ，， 正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：； （2）当时，，， 当时，对于x的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值， ， 解得： 27．（2025·北京海淀·一模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为； (2)16 (3)点E的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； （2）解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积； （3）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为． 28．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)若为抛物线上一点，求的值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将代入求解即可； （2）首先求出抛物线与x轴的交点为和，然后得出抛物线开口向上，然后根据题意得，进而求解即可． 【详解】（1）∵为抛物线上一点 ∴ 解得； （2）当时， 解得或 ∴抛物线与x轴的交点为和 ∵ ∴抛物线开口向上 ∵存在，使得 ∴ 解得： ∴的取值范围． 29．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是种酶对面粉拉伸面积的影响表． 种酶添加量() 面粉拉伸面积() (1)根据表格中数据，发现可以用函数刻画面粉拉伸面积和种酶添加量之间的关系， ①当时，与满足_____________关系；(填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”) ②当时，与满足二次函数关系，且当_____________时，最大； (2)结合（1）中的判断，请你求出当时面粉拉伸面积与种酶的添加量的函数关系式． (3)当面粉拉伸面积不小于且不大于时达到的效果较好，请直接写出达到效果较好时的的取值范围． 【答案】(1)①一次函数；② (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数实际应用，能够根据表格将变量关系抽象为所学函数关系，并用待定系数法求表达式，和实际问题结合求解． （1）①由表格中数据可知，当时，与之间存在一次函数关系，②函数的对称轴为直线，即当时，最大，即可求解； （2）由待定系数法即可求解； （3）由题意，结合（1）、（2），由当面粉拉伸面积不小于组不大于时，达到效果较好，应当在范围内，即，即可求解． 【详解】（1）解：①由表格中数据可知，当时，与之间存在一次函数关系， ②函数的对称轴为直线，即当时，最大， 故答案为：一次函数；； （2）时，与存在二次函数关系，设，把点，，可得： ， 解得：， ∴； （3）由题意，结合（1）、（2），由当面粉拉伸面积不小于组不大于时，达到效果较好， 应当在范围内，即． 令，则或．令，则或， ， 抛物线开口向下． 当面粉拉伸面积不小于组不大于时，或． 综上所述，函数关系式为，达到效果较好时的的取值范围为或． 30．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求a的值； (2)已知是抛物线上两点．当时，对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a的取值范围为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解不等式组． （1）把点代入抛物线中解方程即可； （2）根据a的正负情况，利用二次函数的增减性数形结合画出图形分类讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线中， 得， 解得（与题意不符，舍去）或， 故； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， 抛物线对称轴为直线． 当时，开口向上，，则位于对称轴的右侧， ∵在给定条件下总有，如图1所示， 则，解得； 当时，开口向下，， ∴，则必在对称轴的左边， ∵在给定条件下总有，如图2所示， 则，解得， 从而； 综上可得：a的取值范围为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$