专题02 二次函数基本性质 14个题型（期中专项训练）九年级数学上学期北京版

专题02 二次函数基本性质 题型1 二次函数定义 题型8 y=ax2+bx+c的图象性质 题型2 二次函数定义求参 题型9 一次函数、二次函数图象综合判断 题型3 y=ax2的图象性质 题型10 根据二次函数图象判断式子符号 题型4 y=ax2+k的图象性质 题型11 二次函数对称性求对称轴 题型5 y=a（x-h）2+k的图象性质（常考点） 题型12 二次函数对称性求函数值 题型6 y=ax2+bx+c化顶点式（易错点） 题型13 二次函数的最值（难点） 题型7 画出y=ax2+bx+c的图象 题型14 二次函数综合（难点） 题型一 二次函数定义（共3小题） 1．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：， 即：， 与是一次函数关系，与是二次函数关系， 故选：D． 2．用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出与，与的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为，即扇形的弧长； 圆锥的侧面积，即扇形的面积， 所以是的一次函数，是的二次函数， 故选：C． 3．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】B 【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】由题意得， ∴y是x的一次函数。      ， ∴z是x的二次函数． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义并且正确的列出函数关系式是解题的关键． 题型二 二次函数定义求参（共3小题） 4．若是关于的二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 5．若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握解二次函数的定义是解题关键．由二次函数的定义列出关于的一元二次方程和不等式，解方程与不等式即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得：， 故选：A． 6．若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键． 题型三 y=ax2的图象性质（共4小题） 7．已知点在抛物线图象上，则 ． 【答案】1 【分析】将代入抛物线，进行计算即可得到答案． 【详解】解：点在抛物线图象上， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象上的点满足该解析式是解此题的关键． 8．点，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于基本题型，掌握比较的方法是解答关键． 把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，求出，的值即得答案． 【详解】解：把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得：，， ∴． 故答案为：． 9．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 10．在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 题型四 y= ax2+k的图象性质（共3小题） 11．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了的性质．根据二次函数的顶点为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 12．平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 ． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线对称； ③图形G的面积为S，满足．    【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③． 【详解】解：如图，    由图形可知，图形关于原点对称，不关于直线对称，故①正确，②错误； 观察图形，图形的面积大于两个的面积，小于的面积， 所以，图形的面积满足，故③正确． 故答案为：①③． 13．下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性． 【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小， A、C选项说法错误， 当时，随增大而增大， B选项说法正确，D选项说法错误， 故选：B． 题型五 y= a（x-h）2+k的图象性质（共3小题） 14．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标．据此求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 15．抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（   ） A．，开口向上 B．，开口向下 C．，开口向上 D．，开口向下 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上， 故选：A． 16．抛物线上三点分别为，，，则，，的大小关系为 （用“＞”号连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入各的值，求出，，的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出，，的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ， ． 故答案为：． 题型六 y= ax2+bx+c化顶点式（共3小题） 17．将函数化为顶点式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．根据配方法将一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 18．用配方法把二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】先把解析式化为顶点式，再根据顶点式的性质即可得到答案． 【详解】解：， 顶点坐标为，对称轴为直线． 【点睛】本题考查了将二次函数的解析式化为顶点式及的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 19．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，y随着x的增大而增大可得m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴，则m的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 20．已知二次函数． (1)补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … … 3 0 … (2)点______该函数的图象上（填“在”或“不在”）． 【答案】(1)见解析 (2)不在 【分析】本题主要考查了画二次函数图象、二次函数图象上点的坐标等知识点，掌握用描点法作出函数图象是解题的关键． （1）先补充列表，然后描点、连线即可完成作图； （2）把代入函数解析式求得函数值进行判断即可． 【详解】（1）解：补全表格如下： x … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … 画出该二次函数的图象如下： （2）解：把代入函数解析式得，， ∴不在函数图象上． 故答案为：不在． 题型七 画出y= ax2+bx+c的图象（共3小题） 21．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … (1)在坐标系中画出该抛物线的图象； (2)该抛物线的对称轴是______． 【答案】(1)见解析 (2)轴 【分析】本题考查了画函数图象，二次函数的性质； （1）根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：描点连线如图所示， （2）解：对称轴为轴， 故答案为：轴． 22．在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．    (1)求的值； (2)求该函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； (3)见解析 【分析】（1）将点代入求出表达式，然后将点代入求得的表达式即可求出m的值； （2）根据的性质求解即可； （3）首先根据表达式列表，然后描点，然后画出图象即可． 【详解】（1）将代入，得 解得， ∴ 将代入得， 解得； （2）∵ ∴该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）∵ ∴列表如下： x 0 1 2 y 8 2 0 2 8 画图如下：    【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，求抛物线与坐标轴的交点，画二次函数图象，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 题型八 y= ax2+bx+c的图象性质（共5小题） 23．已知某个二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 4 … 若点，在此图象上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，根据点A、B横坐标判断即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， 抛物线的对称轴为直线， ∵点，在此图象上， ∴点到直线的距离比点到直线的距离要大， ∵抛物线的开口向上， ∴． 故答案为：． 24．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．，故，即可判断A；抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，即可判断B；抛物线和x轴有两个交点，即可判断C；从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，即可判断D． 【详解】解：A．从函数图象看，，故，故A错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意； C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误，不符合题意； D．从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，正确，符合题意， 故选：D． 25．在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了抛物线的对称轴，解一元一次方程，二次函数的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式，掌握抛物线的性质和对称轴公式是解题关键． （1）由题意可得抛物线的对称轴为，再利用抛物线的对称轴公式可得的值； （2）对于任意的，随的增大而减小，分类讨论和时的取值范围，当时不能满足，都有，当时可以满足对于，都有的条件，使得对称轴，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，且， 对称轴为：， 即， 解得． （2）解：由题意可得，对于任意的，随的增大而减小， ①当时，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴的左侧满足题意，而在对称轴的右侧都有，故不符合题意； ②当时，对于任意的，随的增大而减小， 从而， 解得：． 26．二次函数自变量和函数值的部分对应值如下表所示．当时，的取值范围是，则的取值范围是（    ） x … -3 -1 1 … y … 8 n 8 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出抛物线的开口向上，对称轴是直线，根据抛物线的性质求解． 【详解】解：，时，的值都是， 抛物线的对称轴是直线． 当时，的取值范围是， 抛物线的开口向上， ． 故选：D 27．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所给表格，利用待定系数法求出次二次函数的表达式，再结合二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：由表格得，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵, ∴开口向上，故①正确 ∵， ∴顶点为：，故②错误， 当时，，故③正确， ∵对称轴为直线，且开口向上， ∴抛物线上距离对称轴越远的点，其函数值越大， ∵，且， ∴，故④正确， ∴正确的为①③④， 故选：C． 题型九 一次函数、二次函数图象综合判断（共5小题） 28．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，直线，则的解集为 ． 【答案】 【分析】首先确定抛物线和x轴的另一个交点，然后画出直线的图象，然后根据直线在抛物线下方的图象部分求解即可． 【详解】解：由图象可得，抛物线的对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，，当时，， ∴直线经过点和点， 如图画出直线的图象和补全抛物线图象， ∴由图象可得，直线在抛物线下方的图象部分为． ∴的解集为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的图象综合问题，解题的关键是根据题意正确画出一次函数和二次函数的图象． 29．已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B． (1)求顶点A的坐标； (2)求点B的纵坐标（用含a的代数式表示）； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时．直接写出a的取值范围． 【答案】(1)（1，1） (2)a+1 (3)， 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得． （2）二次函数与y轴交于点B，故将x=0代入即可求得B点纵坐标． （3）由题意可作出图象见解析，当和时满足条件，即可解得a的取值范围． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ 故顶点坐标为（1，1）． （2）将x=0代入有 故B点纵坐标为a+1 （3）二次函数中a=a，b=-2a，c=a+1 对称轴 联立二次函数与直线有 ∴ ∴ ∴ 解得x=0或2 故二次函数与直线交点的横坐标为0和2 则有二次函数与直线的图象如图所示 当a＞0时，直线在二次函数上方且围成的封闭区域 内（不包含边界）只有2个整点需要令x=1时，即可． 将x=1代入有 化简得 故 当a＜0时，直线在二次函数上方且围成的封闭区域 内（不包含边界）只有2个整点需要令x=1时，即可． 故 综上所述，当，时满足函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，第三问结合函数的图象和性质作图运用数形结合思想判断是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， 所以a的取值范围为． 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 31．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．          (1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)n的值为或． 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图像即可； （2）分直线过“镜面函数”图像与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为函数的“镜面函数”的图像．    （2）解：如图，    对于，当时，， 函数与轴的交点坐标为； 当直线经过点时，； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得，， 此时，， 解得， 综上，n的值为或． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 题型十 根据二次函数图象判断式子符号（共5小题） 32．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得，，，即得，即可判断①；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断②；由对称轴可判断③；由有两个实数根，可知抛物线与直线相交，结合图象可判断④；由顶点坐标可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵对称轴， ∴，故③正确； 若有两个实数根，则抛物线与直线相交， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，故④正确； ∵抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，取最大值， ∴， 即，故⑤正确； 综上，说法正确的是②③④⑤， 故选：． 33．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向判断①②，对称性，增减性判断③，根据时，取得最大值，判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；， 抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵时，取得最大值， ∴对于任意实数t，； 即，故④正确； 故答案为：①③④共3个， 故选：D． 34．下表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： 2 8 1 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论： ①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，根据到对称轴距离比较二次函数值大小求出，再根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：由表格数据可知，该二次函数对称轴为直线，点关于对称轴的对称的点为 若时，开口向上，离对称轴越近值越小， ∵， ∴， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，，符合题意； 当时，，解得，，符合题意； 若时，开口向下，离对称轴越近值越大， ∵， ∴， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得，不符合题意； ∴，当时；当，， ∴①错误，②正确； ∵时，开口向上，当时函数值随增大而增大， 当代入得，当时， ∴，即正确； 故故③正确； ∵当时二次函数有最低点， ∴当时函数值随增大而增大，此时记二次函数的图象为图形，存在直线与图形最多有一个交点， ∴时存在直线与图形有两个交点， ∵， ∴，故④正确． 综上②③④正确． 故答案为：②③④． 35．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】①④ 【分析】观察到抛物线开口向下，则，因为抛物线对称轴是直线，所以当时，随的增大而减小，根据对称性得，所以，因为越靠近对称轴的所对应的函数值越大，所以．本题考查二次函数图与系数的关系，二次函数的性质，关键是利用函数的图象和性质解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确； 抛物线对称轴是直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 故②错误； ，对称轴是直线， ∴， ， 故③错误； 抛物线开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵点在函数的图象上， ， ， 故④正确． 故答案为：①④． 36．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的增减性可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，由即可得出，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①错误； ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵若， ∴， ∴时的函数值小于时的函数值， ∵横坐标是的点的对称点的横坐标为， ∴时的函数值等于时的函数值， ∴时的函数值小于时的函数值， 故③错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线经过点， ∴，即， ∴， ∴， ∵点的对称点是， ∴点一定在此抛物线上，故④正确． 故选：C． 题型十一 二次函数对称性求对称轴（共3小题） 37．若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，， ∴对称轴为直线 故选：C． 38．已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键． 根据抛物线经过点，，求出对称轴，再根据抛物线性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为， ∵， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵，是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且， ∴根据对称性可得P点对称点， ∴或． 故答案为：或． 39．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上任意两点． (1)若时，满足，则抛物线的对称轴为直线______； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等： （1）根据题意可得点M和点N关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性求出对称轴即可； （2）先求出对称轴为直线，进而得到当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，设抛物线上的点关于直线的对称点为再分当时，当时，当时，三种情况结合利用增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，满足， ∴点M和点N关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ①当时，设抛物线上的点关于直线的对称点为 ，对于，都有， ， ； ②当时，若对于，都有， ， ； ③当时，， 当．不符合题意，舍去， 综上所述：或． 题型十二 二次函数对称性求函数值（共5小题） 40．已知二次函数． (1)将其化为的形式为___________； (2)该二次函数图象与y轴的交点坐标为___________； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，用配方法把二次函数的一般形式转化为二次函数的顶点坐标式．解决本题的关键是根据二次函数的对称性判断何时函数值取最大值． 利用配方法可得：； 令时，求y即可； 根据二次函数的解析式可以判断函数图像开口向上开口向上，对称轴为，根据在范围之内，可得，有最小值，最小值为，和与的距离可得当时，有最大值，最大值为， 【详解】（1）， 整理得：， ， ； （2）解：当时，可得：， 故与y轴交点坐标为 （3）解：的开口向上，对称轴为， 而在范围之内， 有最小值，最小值为， ，， 当时，有最大值，最大值为， ． 41．点在二次函数的图象上，与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，以及二次函数对称性得关于直线的对称点是是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴关于直线的对称点是， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 42．若，，为二次函数图象上的三点，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．首先根据二次函数的解析式得到抛物线的对称轴为且开口向上，其中点和在对称轴左侧，在对称轴右侧，找到点关于对称轴的对称点，然后再根据二次函数的性质得到． 【详解】解：二次函数的对称轴为，且开口向上， 在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 和在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点是， ， 故选：B． 43．函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得对称轴是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，根据二次函数的图象的对称性以及已知条件可得时，，当和时y值相等，都是0，进而求得的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线在时，它的图象位于x轴的下方，当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的上方， ∵和到对称轴直线的距离相等， ∴当和时y值相等，都是0，则， ∴． 故答案为：． 44．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1) （用含a的式子表示）； (2)已知点，在抛物线上，若，求出a的值； (3)已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）首先根据，得出点，关于对称轴直线对称，据此列式求解即可； （3）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； 故答案为：； （2）解：∵点，在抛物线上，且， ∴对称轴为直线， 由题意得，解得； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴． 题型十三 二次函数的最值（共5小题） 45．二次函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，由二次函数的顶点式根据二次函数的性质解答即可．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数，且二次项系数， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，有最大值， ∴二次函数的最大值是． 故答案为：． 46．已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题的关键． 根据二次函数的对称轴为直线，若，当时，函数y取得最大值，得；若，根据与关于对称轴对称，得当时，y随x增大而增大，得当时，y取得最大值，得． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴为直线． ∴当时， 在范围内，当时，函数y取得最大值． ∴； 当时， ∵与关于对称轴对称，当时，y随x增大而增大，且， ∴在范围内，当时，y取得最大值． ∴． ∴a的值为2或． 故答案为：2或． 47．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数图象和性质； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，再结合自变量的取值范围求出函数值y的最小值和最大值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， 将代入函数关系式，得． 当时，离对称轴越远函数值越大，且时，， ∴当时，函数值y的取值范围为：． 48．已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求二次函数的解析式． 【答案】(1)当时，函数有最小值，最小值为； (2)或． 【分析】（1）当，时，确定抛物线的解析式，配方求函数的最小值即可； （2）当时，得，代入解析式变形配方式，根据函数的最小值为，解方程得到b值，继而可得二次函数的解析式． 本题考查了抛物线的最值，配方解题，解一元二次方程方程，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时， 二次函数解析式为， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为． （2）解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴当时，函数的最小值为， ∴， 解得或； ∴函数解析式为或． 49．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A． (1)求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）； (2)若点在抛物线上，且，求m的取值范围； (3)当时，函数y的最小值等于6，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标； （2）根据函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此建立不等式求解即可； （3）分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1，3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点A的坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，且， ∴， ∴或， ∴； （3）解：∵二次函数图象的开口向上， ∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，且二次函数的对称轴为， 分类讨论： ①当，即时， 则当时二次函数取得最小值为， 又∵二次函数最小值为6， ∴，解得或， 又∵， ∴； ②当，即时， 则当时二次函数取得最小值为， 又∵二次函数最小值为6， ∴，解得或， 又∵， ∴或都不符合题意； ③当，即时， 则当时二次函数取得最小值为， 又∵二次函数最小值为6， ∴，解得或， 又∵，故符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的最值问题，二次函数的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 6 / 6zxxk.com 1 / 7zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数基本性质 题型1 二次函数定义 题型8 y=ax2+bx+c的图象性质 题型2 二次函数定义求参 题型9 一次函数、二次函数图象综合判断 题型3 y=ax2的图象性质 题型10 根据二次函数图象判断式子符号 题型4 y=ax2+k的图象性质 题型11 二次函数对称性求对称轴 题型5 y=a（x-h）2+k的图象性质（常考点） 题型12 二次函数对称性求函数值 题型6 y=ax2+bx+c化顶点式（易错点） 题型13 二次函数的最值（难点） 题型7 画出y=ax2+bx+c的图象 题型一 二次函数定义（共3小题） 1．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 2．用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 3．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 题型二 二次函数定义求参（共3小题） 4．若是关于的二次函数，则m的值为 ． 5．若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 6．若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 题型三 y=ax2的图象性质（共4小题） 7．已知点在抛物线图象上，则 ． 8．点，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 9．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，已知点和点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是 ． 题型四 y= ax2+k的图象性质（共3小题） 11．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 12．平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 ． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线对称； ③图形G的面积为S，满足．    13．下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 题型五 y= a（x-h）2+k的图象性质（共3小题） 14．二次函数的图象的顶点坐标是 ． 15．抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（   ） A．，开口向上 B．，开口向下 C．，开口向上 D．，开口向下 16．抛物线上三点分别为，，，则，，的大小关系为 （用“＞”号连接）． 题型六 y= ax2+bx+c化顶点式（共3小题） 17．将函数化为顶点式，结果是（   ） A． B． C． D． 18．用配方法把二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 19．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值可以是 （写出一个即可）． 20．已知二次函数． (1)补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … … 3 0 … (2)点______该函数的图象上（填“在”或“不在”）． x … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … 题型七 画出y= ax2+bx+c的图象（共3小题） 21．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … (1)在坐标系中画出该抛物线的图象； (2)该抛物线的对称轴是______． 22．在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．    (1)求的值； (2)求该函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象． x 0 1 2 y 8 2 0 2 8 题型八 y= ax2+bx+c的图象性质（共5小题） 23．已知某个二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 4 … 若点，在此图象上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 24．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 25．在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 26．二次函数自变量和函数值的部分对应值如下表所示．当时，的取值范围是，则的取值范围是（    ） x … -3 -1 1 … y … 8 n 8 … A． B． C． D． 27．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 2 0 2 … 下列判断：①函数图象开口向上；②函数图象的顶点坐标是；③当时，；④在函数图象上有两点，，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型九 一次函数、二次函数图象综合判断（共5小题） 28．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，直线，则的解集为 ． 29．已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B． (1)求顶点A的坐标； (2)求点B的纵坐标（用含a的代数式表示）； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时．直接写出a的取值范围． 30．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是 ． 31．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．          (1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象； (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值． 题型十 根据二次函数图象判断式子符号（共5小题） 32．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 33．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 34．下表记录了二次函数中两个变量与的三组对应值： 2 8 1 点，在该函数图象上．若当时，，下列四个结论： ①；②；③；④若记二次函数的图象为图形，存在直线与图形有两个交点，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，对称轴是直线，下面四个结论中：①；②当时，随的增大而增大；③点的坐标为；④若点在函数的图象上，则；其中正确的是 （只填写序号）． 36．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型十一 二次函数对称性求对称轴（共3小题） 37．若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 38．已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 39．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上任意两点． (1)若时，满足，则抛物线的对称轴为直线______； (2)若对于，都有，求的取值范围． 题型十二 二次函数对称性求函数值（共5小题） 40．已知二次函数． (1)将其化为的形式为___________； (2)该二次函数图象与y轴的交点坐标为___________； (3)当时，的取值范围是___________． 41．点在二次函数的图象上，与的大小关系是 ． 42．若，，为二次函数图象上的三点，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 43．函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 ． 44．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1) （用含a的式子表示）； (2)已知点，在抛物线上，若，求出a的值； (3)已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 题型十三 二次函数的最值（共5小题） 45．二次函数的最大值是 ． 46．已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ． 47．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围． 48．已知二次函数（b、c为常数）． (1)当，时，求函数的最小值； (2)当时，函数的最小值为，求二次函数的解析式． 49．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A． (1)求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）； (2)若点在抛物线上，且，求m的取值范围； (3)当时，函数y的最小值等于6，求m的值． 2 / 11zxxk.com 1 / 11zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $