精品解析：河南省天立教育2025-2026学年高二上学期开学联合考试数学试题

天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 高二年级数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的实部与虚部的和为（ ） A. B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意和共轭复数的概念可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】设，则， 由，则， 整理得， 有，解得，所以， 即复数z的实部与虚部之和为. 故选：A 2. 已知向量满足，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及求夹角公式可求解. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以 故选：D 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的位置关系判断AB；根据线面垂直、面面垂直的判定及性质判断CD. 【详解】对于A，由，，则或异面，故A错误； 对于B，由，，则或，故B错误； 对于C，由，，则或， 则在平面内存在直线，而，则，所以，故C正确； 对于D，由，，， 只有当或时，，故D错误. 故选：C. 4. 平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两边平方得，根据两个向量夹角的余弦公式结合均值不等式求得结果. 【详解】由，两边平方得，又， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以与夹角的余弦值的最大值为. 故选：A. 5. 已知中，，，则此三角形为（    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】依题意根据平面向量线性运算得到，即可得到，又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，设，，根据数量积的运算律及定义求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，即，即，所以为等腰三角形， 因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 设，，则， 由，即，所以， 即，即，所以， 又，所以，即与的夹角为， 所以，所以为等边三角形. 故选：B 6. 在直三棱柱中，，，M为的中点，，则该直三棱柱的体积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由题设条件结合线面垂直的判定性质证明，再求出即可求解作答. 【详解】在直三棱柱中，连接，如图， 由，得，而平面，平面，则， 又平面，于是平面， 平面，则，而，平面， 因此平面，又平面，则，有， ，则有，解得， 所以该三棱柱的体积． 故选：A 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ） A. 与相互独立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得． 【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个； 其中事件“  ”包含的样本点有：  ，，，，，共个； 事件  “  ”，包含的样本点有：  ，  ， ， ，，，，，共个， 事件 “”，包含的样本点有：，，，，，， ，，，，，， ，，，，，共个， 所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误； 因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则， 又 ， ，所以， 所以与不相互独立，故A错误； 又事件包含的样本点有： ，，共个， 所以 ， ，则 ， 所以 与  相互独立，故C正确； 事件包含的样本点有：，   ， ，，，共个， 因为，所以 与 不相互独立，故D 错误． 故选：C 8. 在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，中点，利用面面平行的判定定理确定平面，利用余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】如图，取中点，中点，连接， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面，又， 平面，平面，所以平面平面， 即三角形为所得截面， 在中，，， 由余弦定理得， 所以， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标运算判断A；根据两向量垂直的坐标运算判断B；根据向量模长的坐标表示判断C；根据两向量的积的坐标运算判断D. 【详解】因为，， A选项，若，则有，A正确； B选项，若，则有，解得，B正确； C选项，若，则，即，解得，C错误； D选项，，若，则，即，解得，D正确. 故选：ABD 10. 在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ） A. 该班级此次练习数学成绩的均分为118 B. 该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C. 利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D. 从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用均值、方差、分层随机抽样、古典概型等知识逐项判断即可． 【详解】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误； 对于B，该班级此次练习数学成绩的方差 ，故B正确； 对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确； 对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确． 故选BCD． 11. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（ ） A. 满足条件的不可能是直角三角形 B. 面积的最大值为 C. 当时，的内切圆的半径为 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BC 【解析】 【分析】确定，举反例得到A错误，设，则，根据余弦定理结合面积公式计算，B正确，确定，根据等面积法计算得到C正确，计算得到，D错误，得到答案. 【详解】，则， 对选项A：取，则，，故，是直角三角形，错误； 对选项B：设，则，，， ，当时，最大为，正确； 对选项C：时，，， ， ，故，设内切圆的半径为， 则，解得，正确； 对选项D：为锐角三角形，则，即，解得， 且，即，解得，故，错误； 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握余弦定理，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得. 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 故答案为：3. 13. 甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】每轮中甲投中为事件，每轮中乙投中为事件，根据概率乘法公式求解即可. 【详解】每轮中甲投中为事件，每轮中乙投中为事件，则，， 因为甲和乙投中与否互不影响， 则每轮比赛中，共投中一球的概率； 均未投中一球的概率； 所以“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为：. 故答案为： 14. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设． ①若平面是面积为的等边三角形，则； ②若，则； ③若平面为直角三角形，且，则； ④若，则球面的体积； 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，由条件知三边为，推得，判断①；对于②，利用代入易得；对于③，由余弦定理和题设可得，取特殊值即可判断③；对于④，先求得三棱锥的体积，由球面的体积即可判断④． 【详解】对于①，因等边三角形的面积为，则， 又，故，则，故①正确； 对于②，由可得，故，即②正确； 对于③，由余弦定理可知，由可得，， 即，化简得，． 取，则，则，故③错误； 对于④，由可得，故， 由正弦定理，的外接圆半径为，点到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积, 而球面的体积，故④正确； 故答案为：①②④． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三点共线、得，用表示出，根据向量共线可得，进而求得即可求解； （2）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 由三点共线，且，可知， 在等腰梯形中，由，， 可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 则， 分别过作的垂线，垂足分别为， 因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以. 16. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若为的垂心，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得，由余弦定理即可求解， （2）根据垂直关系可得，进而在中利用余弦定理，结合不等式即可求解最大值. 【小问1详解】 由题可得， 结合正弦定理可得，即， ∴，又，∴. 【小问2详解】 设边，上的高分别为，则为与的交点， 则在四边形中，， ∵，∴，故， 在中，，， 则，即， 当且仅当时取等号.∴，故面积的最大值为. 17. 已知复数（i为虚数单位，）， （1）若复平面内表示的点在第一象限，求实数m的取值范围； （2）若，（说明：复数是的共轭复数），求实数m和a的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算及复数的几何意义，列出不等式组求解； （2）根据复数的运算及复数相等，列出方程组求解. 【小问1详解】 由题意知：， 又表示的点在第一象限，所以 ， 解得. 【小问2详解】 由题意知：， 所以，解得 . 18. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数； （3）该市政府希望使至少有的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？ 【答案】（1） （2）万户居民 （3）不符合要求，上调到 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1，即可列式求解； （2）由题意可知用户月均用水费用不超过60元，即用户月均用水不超过，算出频率，得出全市不超过60元的用户数； （3）首先计算抽取的100户居民月均用水量不超过的频率和不超过的频率，从而判断是否符合要求，以及根据比例确定上调到的数量. 【小问1详解】 由直方图可知， , 解得：； 【小问2详解】 居民用水量为时，收费为元， 所以用水费用不超过60元，则用水量小于等于， 由频率分布直方图可知，用水量小于等于的频率为； 万户， 所以全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数为万户. 【小问3详解】 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ，所以现行收费标准不符合要求， 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ， 现行收费标准不符合要求，需将第二阶段用水量的上限至少上调到. 19. 如图，四面体中，是的中点，， （1）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小； （2）求点E到平面ACD的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案； （2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 取AC的中点M，连结OM、ME、OE， 由E为BC的中点知， 则直线OE与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成的角， 在中，， 因为是直角斜边AC上的中线，则， 可得， 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设点E到平面ACD的距离为 因为，即， 在中，，可得， 且，可得， 所以点E到平面ACD的距离为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 高二年级数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的实部与虚部的和为（ ） A. B. 1 C. -1 D. -2 2. 已知向量满足，，，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，，，则此三角形为（    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 在直三棱柱中，，，M为的中点，，则该直三棱柱的体积为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ） A. 与相互独立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 8. 在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ） A. 该班级此次练习数学成绩的均分为118 B. 该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C. 利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D. 从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 11. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（ ） A. 满足条件的不可能是直角三角形 B. 面积的最大值为 C. 当时，的内切圆的半径为 D. 若为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________. 13. 甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为_______. 14. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设． ①若平面是面积为的等边三角形，则； ②若，则； ③若平面为直角三角形，且，则； ④若，则球面的体积； 其中所有正确结论的序号是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 16. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若为的垂心，，求面积的最大值. 17. 已知复数（i为虚数单位，）， （1）若复平面内表示的点在第一象限，求实数m的取值范围； （2）若，（说明：复数是的共轭复数），求实数m和a的值. 18. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数； （3）该市政府希望使至少有的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？ 19. 如图，四面体中，是的中点，， （1）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小； （2）求点E到平面ACD的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $