21.4 二次函数的应用导学案 2025-2026学年沪科版 数学九年级上册

21.4　第2课时　运动物体中的二次函数问题 素养目标 1.会用二次函数解决物体抛物线运动轨迹问题. 2.会用二次函数解决实际生活中汽车的制动问题. 3.进一步体会数学建模思想,增强用数学知识解决实际问题的能力. ◎重点:解决抛物线形运动轨迹问题. 【预习导学】 知识点一：“抛物线”运动轨迹   阅读课本本课时“例3”,回答下列问题: (1)在例3第(1)问中,我们是如何快速得到二次函数表达式h=10t-×10t2的? (2)求出的t有两个值,应如何取舍? 归纳总结　当实际问题中已给出二次函数的表达式时,由自变量x的值可求出它所对应的　 　,由函数y的值可求出它所对应的　 　;利用　 　可以确定函数y的最大(或小)值.  知识点二：汽车刹车制动问题 认真阅读课本中本课时“*例4”,完成: 1.为什么说制动距离y(单位:m)与制动时车速x(单位:km/h)具有二次函数关系? 2.怎样求y与x之间的函数表达式? 　　3.怎样判断汽车是否超速? 归纳总结　(1)根据表格数据,求出二次函数的表达式,并根据实际问题,确定自变量的取值范围;(2)在自变量的取值范围内,可运用　 　求出二次函数的最大值或最小值,也可求出任意一组x与y的对应值.  1.铅球运动员掷铅球的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系式为y=-x2+x+,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m 2.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-2x2+8x(单位:米)的一部分.若想求出水喷出的最大高度,则需要将抛物线配方成顶点式　 　,由于抛物线开口向下,故当水喷偏离出水点　 　米时,喷出的水达到最大高度是　 　米.  【合作探究】 任务驱动一 1.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出.把球看成点,其运行的高度y(单位:米)与运行的水平距离x(单位:米)满足关系式y=a(x-6)2+2.6,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)球能否越过球网? (3)球会不会出界?请说明理由. 任务驱动二 2.已知某型汽车在干燥的路面上停止行驶时所需的刹车距离s与刹车时的车速v之间有下表所示的对应关系. 速度v/(km/h) 48 64 80 96 112 … 刹车距离s/m 22.5 36 52.5 72 94.5 … 　　(1)请你以汽车刹车时的车速v为自变量,刹车距离s为函数,在如图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象. 　　(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么? (3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请从表格所给的数据中选择三对,求出抛物线的函数关系式. (4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确. 方法归纳交流　以现实的生活为背景,对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”进行探究,解这类问题的关键是正确地进行数学建模,根据已知条件恰当建立平面直角坐标系,结合问题中的数据求出函数关系式,利用函数性质去解决问题. 1.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2,则最佳加工时间为 ( ) A.3 min B.3.75 min C.5 min D.7.5 min 2.如图,杂技团进行杂技表演,一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-x2+bx+1的一部分,当跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时,身体离地面最高.若人梯到起跳点A的水平距离为4米,则人梯BC的高为　 　米.  　　 3.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m,在如图所示的平面直角坐标系中,则此抛物线的表达式为　 　.  参考答案 【预习导学】 知识点一 (1)题中已给出二次函数模型h=v0t-gt2. (2)如果快攻就取t=0.3,如果来不及在0.3 s时扣球就取t=1.7. 归纳总结　y值　x值　顶点坐标 知识点二 1.用所给数据描点,这些点在一条抛物线附近,由此得出y与x具有二次函数关系. 2.利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式. 3.将制动距离y=46.5代入函数表达式中,求出相应车速x,再与最高限速110 km/h比较. 归纳总结　(2)配方法或公式法 对点自测 1.C 2.y=-2(x-2)2+8　2　8 【合作探究】 任务驱动一 1.解:(1)把点A(0,2)代入关系式得2=a(-6)2+2.6,解得a=-, 则y与x之间的关系式为y=-(x-6)2+2.6. (2)∵当x=9时,y=-×(9-6)2+2.6=2.45>2.43, ∴球能越过球网. (3)∵当x=18时,y=-×(18-6)2+2.6=0.2>0, ∴球会出界. 任务驱动二 2.解:(1)描点连线,画出函数的图象大致如下: (2)图象可看成是一条抛物线,这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数的关系式为s=av2+bv+c, 把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c, 得482a+48b+c=22.5,642a+64b+c=36,962a+96b+c=72, 解得a=,b=,c=0, ∴s=v2+v. (4)当v=80时,v2+v=×802+×80=52.5. ∵s=52.5,∴s=v2+v, 当v=112时,v2+v=×1122+×112=94.5. ∵s=94.5, ∴s=v2+v,经检验,所得结论是正确的. 素养小测 1.B 2.3.4 3.y=-0.2x2+3.5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.4　第1课时　建立二次函数模型解决实际问题 素养目标 1.建立二次函数模型,解决几何图形面积的最值问题. 2.会用二次函数解决拱桥、隧道等抛物线形物体的相关问题. 3.体会数学建模的思想,感受数学的应用价值. ◎重点:建立二次函数模型. 【预习导学】 知识点一：图形面积问题 阅读课本本课时“例1”,回答下列问题. 1.设水面的一边长为x,则另一边长为　 　,面积可表示为S=　 　.  2.说一说:开口向下的二次函数,有最　 　值,即顶点坐标的　 　坐标.  归纳总结　解二次函数最值问题的一般步骤: (1)设未知数,列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 知识点二：抛物线形物体的相关问题 阅读课本本课时“例2”,回答下列问题. (1)在“例2”中,以桥面所在的直线为x轴有什么好处?以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系有什么好处? (2)建立坐标系的过程运用了什么数学思想? 　　归纳总结　用函数的思想方法解决抛物线形拱桥问题:①先建立恰当的　 　;②根据已知条件,对应二次函数上的点,求出函数　 　;③根据已知条件找到抛物线上某些特殊位置的　 　坐标,利用二次函数知识解决问题.  1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,设矩形的长为x m,则该矩形的宽为　 　m.若用S表示该矩形场地的面积,则S关于x的函数表达式为　 　,将该函数表达式配方成顶点式,得　 　.因为抛物线S的开口向下,故当x=　 　时,函数S的最大值为　 　.  2.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度OC是4 m时,水面的宽度AB为　 　.  【合作探究】 任务驱动一 1.如图1,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18米),墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米. 问:(1)若鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米? (2)鸡场面积可能达到200平方米吗? (3)如图2,若要在鸡场内用竹篱笆加建一道隔栏,则鸡场最大的面积可达多少平方米? 任务驱动二 2.如图,有一个抛物线形的拱形立交桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的平面直角坐标系中,若要在离跨度中心点M的5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应取多长? 　　方法归纳交流　解决这类题的基本思路:(1)理解题意;(2)找出问题中的两个变量,用待定系数法或根据实际意义求出　 　;(3)结合函数　 　或　 　求解;(4)注意自变量的　 　,检验结果的合理性.  1.如图,一边靠墙(墙有足够长),三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园,这个花园的最大面积是 ( ) A.16 m2 B.12 m2 C.18 m2 D.以上都不对 2.如图,这是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2 m,则水面宽度增加___________m.  3. 如图,一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接,主悬钢索是抛物线形状,两端到桥面的距离OM与AN相等,小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A,当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同,那么他通过整个桥面OA共需　 　秒.  参考答案 【预习导学】 知识点一 1.20-x　-x2+20x 2.大　纵 知识点二 (1)这样建立x轴,则某点处的纵坐标就是该点悬索的高度;以对称轴为y轴,则二次函数表达式较简单,为y=ax2+k的形式. (2)运用了数学建模的思想,将一个实际问题转化为可以用二次函数解决的问题. 归纳总结　①平面直角坐标系　②表达式　③横 对点自测 1.(30-x)　S=x(30-x)(0<x<30)　S=-(x-15)2+225　15　225 2.16 m 【合作探究】 任务驱动一 1.解:(1)设宽为x米,则x(33-2x+2)=150,解得x1=10,x2=(不合题意,舍去), ∴长为15米,宽为10米. (2)设面积为W平方米,则W=x(33-2x+2).变形为W=-2x-2+, ∴鸡场面积的最大值为153<200,即不可能达到200平方米. (3)设此时面积为Q平方米,宽为x米.则Q=x(33-3x+2),变形得Q=-3x-2+,∴此时鸡场面积的最大值为. 任务驱动二 2.解:由题意,知抛物线的顶点坐标为(20,16),点B(40,0), ∴可设抛物线的表达式为y=a(x-20)2+16. ∵点B(40,0)在抛物线上,∴a(40-20)2+16=0, ∴a=-,∴y=-(x-20)2+16. ∵竖立柱脚的点为(15,0)或(25,0), ∴当x=15时,y=-(15-20)2+16=15(m); 当x=25时,y=-(25-20)2+16=15(m), ∴铁柱应取15 m. 方法归纳交流　(2)函数表达式　(3)图象　性质　(4)取值范围 素养小测 1.C 2.4-4 3.46 学科网（北京）股份有限公司 $$