21.2 二次函数的图像与性质导学案 2025-2026学年沪科版 数学九年级上册

21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 素养目标 1.会用描点法画出y=ax2的图象. 2.观察二次函数y=x2的图象,掌握二次函数y=x2图象的基本性质. 3.比较a取不同值时,二次函数y=ax2的图象,理解系数a对二次函数图象的影响. ◎重点:二次函数y=ax2的图象与性质. 【预习导学】 知识点一：二次函数y=x2的图象与性质 阅读课本本课时“例2”之前的内容,回答下列问题. 1.观察二次函数y=x2的图象的特点,我们从　 　,　 　,　 　这三个方面来观察.  2.二次函数y=x2的图象的开口　 　,对称轴为　 　,顶点坐标为　 　.  3.二次函数y=x2的图象的对称轴的左边,即当x<0时,随着x的增大,y　 　;对称轴的右边,即当x>0时,随着x的增大,y　 　.  学法指导：在之后的学习中,我们都要从开口方向、对称轴、顶点坐标三个方面来观察抛物线的图象. 知识点二：系数a对二次函数y=ax2的影响 阅读课本本课时“例2”至“练习”,回答下列问题. 1.二次函数y=ax2关于　 　对称,它的顶点坐标是　 　,当a>0时,抛物线的开口　 　,顶点是抛物线的最低点;当a<0时,抛物线的开口　 　,顶点是抛物线的最高点.  　　2.二次函数y=ax2中,系数a的正负,影响开口方向;|a|的大小,影响开口的大小.|a|越大,抛物线y=ax2的开口越　 　;|a|越小,抛物线y=ax2的开口越　 　.  3.思考:①对于a>0的二次函数,如y=x2,y=2x2.当x<0时,函数值y随x的增大而　 　;当x>0时,函数值y随x的增大而　 　;当x=　 　时,函数值取得最小值.  ②对于a<0的二次函数,如y=-x2,y=-2x2,当x<0时,函数值y随x的增大而　 　;当x>0时,函数值y随x的增大而　 　;当x=0时,函数值取得最　 　值.  学法指导：二次函数的增减性,由开口方向与对称轴确定;二次函数的最值,由顶点坐标确定.二次函数的性质较多,不必死记硬背,应学会在草稿纸上画出二次函数大致的图象,通过观察图象,辅助记忆. 1.二次函数y=x2的图象经过的象限为 ( ) A.第一、第二象限 B.第一、第三象限 C.第二、第四象限 D.第三、第四象限 2.下列关于函数y=-3x2的图象说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点坐标为(0,0).其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【合作探究】 任务驱动一 1.下列二次函数的图象开口向下且开口最大的是 ( ) A.y=-x2 B.y=-x2 C.y=x2 D.y=-x2 任务驱动二 2.二次函数y=2x2,y=-2x2的图象共有的性质是 ( ) A.开口向上 B.对称轴都是y轴 C.都有最高点 D.都有最低点 任务驱动三 3.在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=4x2,y=-4x2,y=x2的图象,并指出图中三个抛物线的异同. 　　方法归纳交流　在列表、描点时,要注意合理灵活地取值,因为图象是抛物线,因此,要用平滑的曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 任务驱动四 4.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,且经过(-3,2).求此抛物线的表达式,并指出当x>0时,y随x的变化情况. 1.下列二次函数的图象开口最大的是 ( ) A.y=x2 B.y=-3x2 C.y=-x2 D.y=2x2 2.已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=(m-3)x2的图象上的两点,且当0<x1<x2时,有y1>y2,则m的取值范围是 ( ) A.m>3 B.m≥3 C.m≤3 D.m<3 3.已知二次函数y=ax2(a≠0),当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x=x1+x2时,函数值为　 　.  参考答案 【预习导学】 知识点一 1.开口方向　对称轴　顶点坐标 2.向上　直线x=0　(0,0) 3.减小　增大 知识点二 1.y轴　(0,0)　向上　向下 2.小　大 3.①减小　增大　0 ②增大　减小　大 对点自测 1.A　2.D 【合作探究】 任务驱动一 1.B 任务驱动二 2.B 任务驱动三 3.解:如图, 相同点:①顶点相同,其坐标都为(0,0);②对称轴相同,都为y轴. 不同点:开口方向不同;开口大小不同. 任务驱动四 4.解:设此抛物线的表达式为y=ax2. ∵此抛物线过点(-3,2), ∴2=a·(-3)2,即a=,∴y=x2,∴当x>0时,y随x的增大而增大. 素养小测 1.A　2.D 3.0 4.0≤y≤9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2 第3课时　二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 素养目标 1.用类比的方法,理解二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质. 2.掌握二次函数y=ax2与y=a(x+h)2+k的平移关系. ◎重点:二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质. 【预习导学】 知识点一：二次函数y=a(x+h)2+k的图象与性质 请你完成下表,体会二次函数y=a(x+h)2+k的图象与前面学过的二次函数图象的联系与区别. y=ax2 y=ax2+k y= a(x+h)2 y=a(x+h)2 +k 开口方向 　 　  顶点 　 　  　 　  　 　  　 　  对称轴 　 　  　 　  　 　  　 　  最值 　　 增减性(对称轴右侧) 知识点二：二次函数y=a(x+h)2+k的平移规律 阅读课本本课时“问题3”,回答下列问题. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象可由y=ax2平移得到.若h>0,k>0,则将二次函数y=ax2向_________个单位长度,再向　 　个单位长度或者先向　 　个单位长度,再向　 　个单位长度,可得到二次函数y=a(x+h)2+k.  1.二次函数y=(x-3)2-2的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 2.对于抛物线y=-(x-5)2+3,下列说法正确的是 ( ) A.开口向下,顶点坐标是(5,3) B.开口向上,顶点坐标是(5,-3) C.开口向下,顶点坐标是(-5,3) D.开口向上,顶点坐标是(-5,-3) 【合作探究】 任务驱动一 1.二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为 ( ) A.　　　　　　　　B. C.　　　　　　　　D. 任务驱动二 2.将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,那么得到的新的抛物线的表达式是 ( ) A.y=(x+2)2+3 B.y=(x+2)2-3 C.y=(x-2)2+3 D.y=(x-2)2-3 任务驱动三 3.对于二次函数y=2(x-1)2-3的图象性质,下列说法不正确的是 ( ) A.开口向上　　 B.对称轴为直线x=1 C.最小值为3 D.顶点坐标为(1,-3) 任务驱动四 4.已知二次函数y=(x-1)2+5,若y随x的增大而减小,求自变量x的取值范围. 1.抛物线y=(x+1)2-2可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程是 ( ) A.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 B.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 C.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 D.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 2.已知二次函数y=-(x+h)2+3,当x<-3时,y随x的增大而增大;当x>-3时,y随x的增大而减小.当x=0时,y的值为( ) A.-1 B.-6 C.1 D.6 3.已知二次函数y=a(x-1)2+3,当x<1时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是 ( ) A.a≥0 B.a≤0 C.a>0 D.a<0 4.将抛物线向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的抛物线为y=x2-4x,那么原抛物线的表达式是　 　.  5.P(x,y)是二次函数y=2(x+1)2-3上一点,当-2<x≤1时,y的取值范围是　 　.  参考答案 【预习导学】 知识点一 a>0时,开口向上;a<0时,开口向下　(0,0)　(0,k) (-h,0)　(-h,k)　y轴　y轴　x=-h　x=-h a>0时,有最小值0;a<0时,有最大值0　a>0时,有最小值k;a<0时,有最大值k　a>0时,有最小值0;a<0时,有最大值0　a>0时,有最小值k;a<0时,有最大值k　当a>0时,y随x的增大而增大;当a<0时,y随x的增大而减小 知识点二 上平移k　左平移h　左平移h　上平移k 对点自测 1.B　2.A 【合作探究】 任务驱动一 1.D 任务驱动二 2.D 任务驱动三 3.C 任务驱动四 4.解:∵二次函数y=(x-1)2+5的二次项系数是1, ∴该二次函数的开口方向向上. 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是(1,5), ∴当x<1时,y随x的增大而减小. 素养小测 1.B　2.B　3.D 4.y=x2+2x-1 5.-3≤y≤5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2　第2课时　二次函数y=a(x+h)2的图象和性质 素养目标 1.通过观察二次函数y=a(x+h)2的图象,理解其性质. 2.掌握二次函数y=a(x+h)2与y=ax2的变换关系. 3.理解二次函数y=a(x+h)2中h的几何意义,进一步体会数形结合的思想. ◎重点:二次函数y=a(x+h)2与y=ax2的变换关系. 【预习导学】 知识点一：二次函数y=a(x+h)2中h的几何意义 形如y=a(x+h)2的二次函数表达式,h决定二次函数图象的　 　,也决定了顶点坐标的　 　坐标.  知识点二：二次函数y=ax2与y=a(x+h)2的关系 阅读课本本课时所有内容,回答下列问题. 1.观察课本“图21-6”,讨论: (1)将二次函数y=x2的图象如何平移,可以得到二次函数y=(x-1)2、y=(x+1)2的图象? (2)将二次函数y=(x-1)2、y=(x+1)2的图象如何平移,可以得到二次函数y=x2的图象? 2.观察二次函数y=x2与y=(x-2)2的图象,前者向右平移两个单位长度可得后者,后_____可得前者.  归纳总结　二次函数y=a(x+h)2的图象与y=ax2的图象形状相同,位置不同,y=a(x+h)2是由y=ax2　 　平移得到的,结合上节课所学内容可知二次函数图象的平移规律:左　 　右　 　,上　 　下　 　.  1.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度,则平移后的二次函数的表达式为 ( ) A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2 2.二次函数y=x2,y=(x-3)2,y=(x+3)2都有着最小值,且最小值为　 　;这三个二次函数图象的对称轴依次为　 　.  【合作探究】 任务驱动一 1.把二次函数y=x2的图象向右平移3个单位长度,得到新的图象的函数表达式是 ( ) A.y=x2+3 B.y=x2-3 C.y=(x+3)2 D.y=(x-3)2 任务驱动二 2.已知二次函数y=3(x+1)2的图象上有三点A(1,y1),B(2,y2),C(-2,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 ( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 任务驱动三 3.已知抛物线y=2(x-3)2,请解答下列问题. (1)试说明此抛物线是由抛物线y=2x2怎样平移得到的. (2)请写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)请写出y随x的变化规律. (4)求该函数的最大值或最小值. 1.抛物线y=-x2+6x-9的对称轴是 ( ) A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=4 D.直线x=-4 2.若二次函数y=(x-5)2的图象上有两点A(4,y1),B(6,y2),则y1和y2的大小关系是 ( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法确定 3.关于二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,有以下说法: ①它们的图象都是开口向上; ②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0); ③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大; ④它们的开口的大小是一样的. 其中正确的说法有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图,抛物线y=a(x+b)2的对称轴为直线x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为 ( ) A.(2,3) B.(3,2) C.(3,3) D.(4,3) 参考答案 【预习导学】 知识点一 对称轴　横 知识点二 1.(1)前者向右平移1个单位长度,后者向左平移1个单位长度. (2)前者向左平移1个单位长度,后者向右平移1个单位长度. 2.向左平移2个单位长度 归纳总结　左右　加　减　加　减 对点自测 1.D 2.0　直线x=0(y轴)、直线x=3、直线x=-3 【合作探究】 任务驱动一 1.D 任务驱动二 2.B 任务驱动三 3.解:(1)抛物线y=2x2向右平移3个单位长度得到抛物线y=2(x-3)2.(2)开口向上,对称轴是x=3,顶点坐标为(3,0).(3)当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.(4)该函数没有最大值;当x=3时,y有最小值0. 素养小测 1.B　2.C　3.B　4.D 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2　第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质 素养目标 1.通过观察函数y=ax2+k的图象,理解其性质. 2.回顾图形的平移变换,掌握二次函数y=ax2+k与y=ax2的关系. 3.理解二次函数y=ax2+k中,常数k的几何意义,体会数形结合的思想方法. ◎重点:函数y=ax2+k与y=ax2的关系. 【预习导学】 知识点一：二次函数y=ax2+k中,常数k的几何意义 阅读课本本课时“问题1”,回答下列问题. 1.思考:(1)二次函数y=2x2,y=2x2+1与y=2x2-1的最高次项的系数相同吗?图象的开口大小一样吗? (2)二次函数y=2x2,y=2x2+1与y=2x2-1的增减性相同吗?还有哪些相同点? 　　2.二次函数y=ax2+k中,常数k只影响函数的　 　坐标,从而影响函数的最值.对开口方向、对称轴、开口大小、增减性都　 　影响.  知识点二：函数y=ax2+k与y=ax2的关系 阅读课本本课时所有内容,回答下列问题. 观察下列二次函数的图象:y=x2,y=x2+2,y=x2-2. (1)讨论:将函数y=x2+2的图象向下平移几个单位长度,会与函数y=x2的图象重合?对于函数y=x2-2呢? (2)思考:具有上、下平移关系的二次函数的二次项的系数应满足什么条件? 归纳总结　抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2沿y轴方向平移|k|个单位长度得到.当k>0时,向　 　平移;当k<0时,向　 　平移.  1.抛物线y=-2x2+3的顶点坐标是 ( ) A.(2,3) B.(0,3) C.(-2,3) D.(3,0) 2.二次函数y=-x2+2的图象大致是 ( ) A.　　　　　　　　B. C.　　　　　　　　D. 3.在函数y=x+1,y=x2+2,y=x2,y=-2x2+1中,当x>0时,y随x的增大而增大的函数共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【合作探究】 任务驱动一 1.将抛物线y=5x2-3向上平移7个单位长度后所得到的抛物线的表达式为　 　.  任务驱动二 2.抛物线y=ax2+c与y=3x2的形状相同,且其顶点坐标为(0,1),求该抛物线的表达式. 任务驱动三 3.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=-x2-1的图象,并解答下列问题. (1)从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点. (2)说出两个函数图象的性质的相同点与不同点. 方法归纳交流　(1)抛物线y=ax2±c的形状与抛物线y=ax2的形状完全相同,只是位置不同;(2)两抛物线的形状相同时,它们的二次项系数的绝对值相等. 1.在同一平面直角坐标坐标系中,作y=3x2+2,y=-3x2-1,y=x2的图象,则关于这三个图象的说法正确的是 ( ) A.都关于y轴对称 B.顶点都是原点 C.都是抛物线且开口向上 D.以上都不对 2.设(-1,y1),(2,y2),(3,y3)是抛物线y=-2x2+1上的三点,则y1、y2、y3的大小关系为 ( ) A.y3>y2>y1 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y1>y2>y3 3.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x2+k的交点的横坐标为2,则k的值为　 　,交点的坐标为　 　.  4.在同一平面直角坐标系中,有下列四个函数①y=1-2x2,②y=2x2+3,③y=-2x2-1,④y=-x2-1的图象,其中不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换或轴对称变换得到的函数是　 　.(填序号)  参考答案 【预习导学】 知识点一 1.(1)相同,都为2,开口大小一样. (2)增减性相同;开口方向、对称轴、开口大小也相同. 2.顶点　不 知识点二 (1)2;向上平移2个单位长度. (2)相同. 归纳总结　上　下 对点自测 1.B　2.B　3.C 【合作探究】 任务驱动一 1.y=5x2+4 任务驱动二 2.解:∵抛物线y=ax2+c与y=3x2的形状相同, ∴a=±3. 又∵其顶点坐标为(0,1),∴c=1, ∴所求抛物线的表达式为y=3x2+1或y=-3x2+1. 任务驱动三 3.解:如图. (1)相同点:它们的形状都是抛物线,对称轴都是y轴; 不同点:抛物线y=x2+1开口向上,顶点坐标是(0,1),抛物线y=-x2-1开口向下,顶点坐标是(0,-1). (2)性质的相同点:开口大小相同.不同点:在抛物线y=x2+1上,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;在抛物线y=-x2-1上,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小. 素养小测 1.A　2.D 3.-17　(2,3) 4.④ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2　第4课时　一般式y=ax2+bx+c的图象和性质 素养目标 1.掌握配方法,能将二次函数的一般式y=ax2+bx+c配方成y=a(x+h)2+k的形式. 2.理解一般式y=ax2+bx+c中系数a,b,c与配方式中系数h、k的关系. 3.会通过探究配方式y=a(x+h)2+k的性质,探究原式y=ax2+bx+c的性质. ◎重点:能将二次函数的一般式y=ax2+bx+c配方成y=a(x+h)2+k的形式. 【预习导学】 知识点一：配方法 阅读课本本课时第一个“思考”到第二个“思考”间的内容,回答下列问题. 1.完成函数配方的过程:y=-2x2-8x-7=-2(x2+4x)-7=-2(x2+4x+4)+8-7=-2(　 　)2+　 　.  　　2.经过配方,原本形如y=ax2+bx+c的二次函数变成了怎样的形式? 知识点二：二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质   阅读课本第二个“思考”至“练习”,回答下列问题. 1.思考:由于y=-x2+x-=-(x-1)2-2,则y=-(x-1)2-2与y=-x2+x-的图象与性质完全相同吗? 2.由于y=ax2+bx+c=a(　 　)+　 　=a(　 　)2+　 　.  y=ax2+ bx+c 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 最大 (小)值 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小 a>0 向上 x=- -, 最小值 x>- x<- a<0 向下 最大值 x<- x>- 　　归纳总结　二次函数开口方向、开口大小仅由a决定,对称轴由　 　一起决定,最值由　 　一起决定.  学法指导：二次函数的性质可以用下列“口诀”帮助记忆:二次函数抛物线,一般形式要配方,先记开口对称轴,对称轴上有顶点,顶点最值紧相连,图象增减两边反,左边加来右边减,上加下减要熟练. 1.函数y=x2-4x+1的图象的顶点坐标是 ( ) A.(2,-3) B.(-2,2) C.(2,4) D.(1,3) 2.抛物线y=-x2+x-4的对称轴是 ( ) A.直线x=-2 B.直线x=2 C.直线x=-4 D.直线x=4 3.将二次函数y=x2-6x+3化为y=(x-h)2+k,则h=　 　,k=　 　.  4.二次函数y=2x2-4x+4的顶点位于第　 　象限,函数图象经过第　 　象限.  【合作探究】 任务驱动一 1.二次函数y=-x2+2kx+1(k<0)的图象可能是 ( ) A.　　　　　　　　B. C.　　　　　　　　D. 任务驱动二 2.已知二次函数y=x2-2x-3. (1)将二次函数配方可得　　　　　　.  (2)①该抛物线的顶点坐标是　　　;  ②该抛物线与x轴的交点坐标是　　　;  ③当x　　　　时,y随x的增大而增大;  ④若y>0,则x的取值范围是　　　　;  ⑤若将抛物线y=x2-2x-3向　　　　平移　　　个单位长度,再向　　　　平移　　　　个单位长度后可得到抛物线y=x2.  　　方法归纳交流　用配方法将一般式转化为顶点式的步骤是一提、二配、三整理.“提”就是提取二次项系数,使二次项系数变为1;“配”就是配上一次项系数一半的平方;“整理”就是将式子整理成y=a(x+h)2+k的形式(顶点式). 任务驱动三 3.已知抛物线y=-x2+2x-3,下列结论不正确的是 ( ) A.抛物线的最大值是-2 B.x<1时,y随x的增大而减小 C.图象的对称轴是直线x=1 D.图象与y轴的交点在x轴下方 任务驱动四 4.若A(-4,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是　 　.(用“<”号连接)  1.已知二次函数y=(m-1)x2+x+m(m-1)的图象经过原点,则m的值为 ( ) A.0或1 B.0 C.1 D.无法确定 2.对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是 ( ) A.图象的开口向下 B.函数有最大值-8 C.当x<1时,y随x增大而减小 D.图象的对称轴是直线x=-1 3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过A(-1,0),B(2,0),C(-3,y1),D(3,y2)四点,则y1与y2的大小关系是 ( ) A.y1<y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.不能确定 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a+b+c<0;②a-b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.其中正确结论的序号是 ( ) A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③ 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.x+2　1 2.变成了形如y=a(x+h)2+k的式子. 知识点二 1.相同. 2.x2+x　c　x+　 归纳总结　a,b　a,b,c 对点自测 1.A　2.B 3.3　-6 4.一　一、二 【合作探究】 任务驱动一 1.A 任务驱动二 2.解:(1)y=(x-1)2-4. (2)①(1,-4);②(-1,0)、(3,0);③>1;④x<-1或x>3;⑤左,1,上,4. 任务驱动三 3.B 任务驱动四 4.y2<y1<y3 素养小测 1.B　2.C　3.A　4.C 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.3　二次函数表达式的确定 素养目标 1.会用待定系数法求二次函数表达式. 2.会求直线与抛物线的交点坐标;能解决一次函数、二次函数的综合问题. 3.知道用顶点坐标等特殊点求二次函数表达式. ◎重点:待定系数法. 【预习导学】 知识点一：待定系数法求二次函数的表达式 阅读课本本课时“例3”“例4”,回答下列问题. 1.当已知二次函数图象上三个点的坐标或两个变量的三组对应值时,确定二次函数表达式的步骤:①设二次函数的表达式为　 　;②代入数值后得方程组;③解方程组后求出　 　的值,即得到二次函数的表达式.  2.(1)由于二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成y=a(x+h)2+k的形式,若已知二次函数的顶点坐标是(-1,-1),则可以设函数关系式为y=　 　.  (2)若二次函数过点(1,-3),则有　 　,解得a=　 　.  学法指导：用待定系数法求函数表达式,关键看已知条件,已知顶点可以设二次函数的表达式为y=a(x+h)2+k,求待定系数a,h,k较简便;已知抛物线与x轴的两个交点,可以设二次函数的表达式为y=a(x+d)(x+e),求待定系数a,d,e较简便. 知识点二：一次函数与二次函数综合问题 阅读课本本课时“例5”,回答下列问题. 1.一条直线与一条抛物线的交点的个数有几种可能? 2.(1)旧知回顾:如何求一次函数y=x+1与y=2x-2的交点坐标? (2)求一次函数与二次函数的交点坐标是否也是联立方程组? 归纳总结　求两个函数图象交点坐标的方法:把两个表达式　 　,　 　就是交点的横、纵坐标.  1.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和点(4,0),将点(3,0),(4,0)代入该二次函数的表达式中,得到关于b,c的方程组为　 　,解该方程组得　 　,故该二次函数的表达式为　 　.  2.已知二次函数图象的顶点坐标为(-1,-3),且其图象经过点(1,5).若设该二次函数的表达式为y=a(x+　 　)2-　 　,代入点(1,5),得到的方程为　 　,解得a=　 　,故该二次函数的表达式为　 　.  【合作探究】 任务驱动一 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,-1),B(0,2),C(1,3),则二次函数的表达式为　 　.  任务驱动二 2.某抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),则该抛物线的表达式为( ) A.y=3x2-6x-5　 B.y=3x2-6x+1 C.y=3x2+6x+1　 D.y=3x2+6x+5 　　方法归纳交流　求二次函数的表达式,要根据具体情况,选择适当方法.二次函数常见的表达式有三种: (1)已知任意三点求表达式用一般式,即y=ax2+bx+c(a≠0).其方法如下:把三点坐标分别代入一般式,得到关于a,b,c的三元一次方程组,求出a,b,c,即可得到二次函数表达式. (2)已知顶点或最大(小)值求表达式用顶点式,即y=a(x+h)2+k(a≠0).其方法如下:先将顶点坐标(-h,k)或最大(小)值代入顶点式,再把另一点坐标代入求出a,即可得二次函数表达式. (3)已知与x轴的两个交点的坐标求表达式用交点式,即y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).其方法如下:将抛物线与x轴的两个交点的横坐标x1,x2分别代入交点式,然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a,即可得到二次函数表达式. 任务驱动三 3.直线y=ax-6与抛物线y=x2+4x+3只有一个交点,求a的值. 　　1.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数表达式为 ( ) A.y=-x2-4x+3 B.y=-2x2+4x+5 C.y=-2x2+4x+8 D.y=-x2+4x-3 2.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx+a的图象可能是( ) A.　　　　　　　　　　 B. C.　　　　　　　　　　 D. 3.某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,列出的部分数据如下表:经检查,发现表格中恰好有一组数据计算错误,请你根据上述信息写出该二次函数的表达式:　 　.  x 0 1 2 3 4 y 3 0 -2 0 3 4.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最大值为8,且形状与抛物线y=2x2-2x+3相同,则此函数表达式　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.①y=ax2+bx+c ③a、b、c 2.(1)a(x+1)2-1 (2)-3=a(1+1)2-1　- 知识点二 1.3种可能,一个交点,两个交点,没有交点. 2.(1)解方程组 (2)方法相同. 归纳总结　联立组成方程组　方程组的解 对点自测 1.　　y=x2-7x+12 2.1　3　a(1+1)2-3=5　2　y=2(x+1)2-3=2x2+4x-1 【合作探究】 任务驱动一 1.y=-x2+2x+2 任务驱动二 2.B 任务驱动三 3.解:联立 消掉y,得x2+4x+3=ax-6,整理得x2+(4-a)x+9=0. ∵只有一个交点, ∴Δ=(4-a)2-4×1×9=0, 解得a1=-2,a2=10. 素养小测 1.D　2.C 3.y=x2-4x+3 4.y=-2(x-2)2+8或y=-2(x+2)2+8 学科网（北京）股份有限公司 $$