第十三章 三角形之单元复习梳理 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题07 第十三章三角形之单元复习梳理 【单元重难点题型讲练】 【单元知识考点梳理】 【单元重难点题型梳理】 【题型01】 三角形的识别与有关概念 【题型02】 三角形的个数问题 【题型03】 三角形的分类 【题型04】 构成三角形的条件 【题型05】 确定三角形第三边的取值范围 【题型06】 三角形三边关系的应用 【题型07】 三角形的稳定性 【题型08】 与三角形中线有关的求值 【题型09】 有关三角形重心的概念 【题型10】 与三角形角平分线有关的求值 【题型11】 画三角形的高 【题型12】 与三角形高线有关的求值 【题型13】 与三角形中线、角平分线、高线有关的综合求值证明 【题型14】 三角形内角和定理的证明 【题型15】 与平行线有关的三角形内角和问题 【题型16】 与角平分线有关的三角形内角和问题 【题型17】 直角三角形的性质及判定 【题型18】 三角形的外角的定义及性质 【题型19】 三角形的外角与内角和的综合运用 【题型20】 三角形折叠中的角度问题 【题型01】 三角形的识别与有关概念 【例1】（2024-2025八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【解答】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可． 【解答】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 【变式1-2】（2023-2024八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【解答】解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 【变式1-3】（2024-2025七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有____个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中________，________，________边的对角； （4）是_______，_______，_______的内角；是________，________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【解答】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 【题型02】 三角形的个数问题 【例2】（2023-2024八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】有5个三角形，分别是 【分析】此题主要考查了三角形的定义及其表示．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可． 【解答】解：图中共有5个三角形，分别是． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图中共有三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握三角形的定义和按一定规律数是解决本题的关键．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数． 【解答】图中有：，，，，，共个， 故选：B． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【解答】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 【变式2-3】（2024-2025八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【解答】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 【题型03】 三角形的分类 【例3】（2024-2025七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【解答】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 【变式3-1】（2024-2025七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解． 【解答】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， ∴P是等腰三角形；Q是等边三角形， ∴只有乙说法正确， 故选：B． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·四川泸州·期中）已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．根据各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出的最大内角的度数，再将其与比较后，即可得出结论． 【解答】解：A．， ， 又， ， 是直角三角形，选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， ， 是锐角三角形，选项B符合题意； C．， ，， 又， ， ， ， 是钝角三角形，选项C不符合题意； D．，， ， ， 是钝角三角形，选项D不符合题意． 故选：B． 【变式3-3】（2024-2025七年级下·上海·专题练习）已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形． 【答案】锐角三角形 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，注意结合方程思想解题，难度适中．设一个角为，则两外两个角为，，，根据三角形的内角和定理可列出方程，从而可得出各角的度数，继而可得出答案． 【解答】解：设一个的度数为，则两外两个角为，， 则：， 解得：，即可得三角分别为，，， 故答案为：锐角三角形． 【题型04】 构成三角形的条件 【例4】（2024-2025八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的是（   ） A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系定理，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【解答】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误； B、，能组成三角形，故此选项正确； C、，不能组成三角形，故此选项错误； D、，不能组成三角形，故此选项错误； 故选：B． 【变式4-1】（2024-2025七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【解答】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【解答】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·浙江金华·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12cm和9cm两部分，求等腰三角形的底边长． 【答案】底边长或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线以及三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形中线的定义以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．本题画出图形，分两种情况进行讨论求出底边长度，再根据三角形三边之间的关系去验证能否构成三角形即可． 【解答】解：如图：为等腰三角形，，为边上的中线， 设， ∵，为边上的中线， ∴，， ①当，时， ，解得：， ∴，解得：， 此时，． ∵， ∴能构成三角形．此时底边为， ②当，时， ，解得：， ∴，解得：， 此时，． ∵， ∴能构成三角形． 综上：等腰三角形的底边长或． 【题型05】 确定三角形第三边的取值范围 【例5】（2024-2025七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【解答】解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·吉林长春·期末）如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 根据三角形三边之间的关系求解即可． 【解答】解：根据三角形三边之间的关系可得：， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：D． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 直接利用三角形的三边关系求解即可． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：，即． 故答案为：． 【变式5-3】（2024-2025八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质等知识点，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：、满足， ，， ，， 为三角形的三边长， ，即， 第三边长可能是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【题型06】 三角形三边关系的应用 【例6】（2024-2025八年级上·广西钦州·期中）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和8， 设第三边长c为奇数 ∴，即， ∴． 故选：C． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·全国·专题练习）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【解答】解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 【变式6-2】（2024-2025七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是要分两种情况讨论． 由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的倍，设较短的边长是，则较长的边长是，列出一元一次方程，解方程，再由三角形三边关系即可求解． 【解答】解：设较短的边长是，则较长的边长是， 如果等腰三角形的腰长是底边长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系； 如果等腰三角形的底边长是腰长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形； 综上所述，等腰三角形的底边长是， 故答案为：． 【变式6-3】（2024-2025七年级下·江西南昌·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可． 【解答】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，， ∴， ∴，即， ∵c为奇数， ∴； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴， ∴ ． 【题型07】 三角形的稳定性 【例7】（2024-2025八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 【答案】A 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性回答． 【解答】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A 【变式7-1】（2024-2025七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性判断即可． 【解答】解：A、它是由两个四边形构成，不具有稳定性； B、它是由三个三角形构成，具有稳定性； C、它是由两个四边形构成，不具有稳定性； D、它是有一个三角形和一个四边形构成，不具有稳定性． 故选：B 【变式 7-2】（2024-2025八年级上·全国·单元测试）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有 的特性． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．固定在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【解答】解：空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有稳定性的特性． 故答案为：稳定性 ． 【变式7-3】（2024-2025七年级下·河南郑州·期末）三角形具有稳定性，生活中很多地方都用到了这一性质，请你列举一个利用三角形稳定性的实例： ． 【答案】自行车的车架，衣架（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性结合日常生活作答即可． 【解答】解：三角形具有稳定性，在日常生活中自行车的车架，衣架用到三角形的这一特性． 故答案为：自行车的车架，衣架（答案不唯一） 【题型08】 与三角形中线有关的求值 【例8】（2024-2025八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【解答】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【变式8-2】（2024-2025八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：， 故答案为： ． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，连接，根据，得到，设，则，，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【解答】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为4， 故答案为：4． 【题型09】 有关三角形重心的概念 【例9】（2023-2024八年级上·河北廊坊·期中）如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念、三角形的中线性质．根据三角形的重心的概念得到点为的中点，根据三角形中线的性质解答即可． 【解答】解：∵点是的重心， ∴点为的中点， ∴， ∴， 故选：C． 【变式9-1】如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（   ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线 【答案】C 【分析】根据重心的定义：三角形三边中线的交点，即可求解. 【解答】解：根据重心的定义：三角形三边中线的交点为三角形的重心 故选C. 【点评】本题主要考查了重心的定义，解题的关键在于能够熟练掌握重心的定义. 【变式9-2】（2023-2024八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（   ） A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【答案】A 【分析】连接，根据等边三角形的性质得到是的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可． 【解答】解：连接， 是等边三角形，是的中点， 是的垂直平分线， ， 的周长， 当、、在同一直线上时， 的周长最小， 为中线， 点为的重心， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【变式9-3】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【分析】本题考查三角形的重心，四边形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，是解题的关键： 问题1：分两种情况画出图形，根据重心的定义，画图即可； 问题2：延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 【解答】解：问题1：①如答图①所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点F．由题意可得，这两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，而这个长方形也可由和拼成，易知这两个三角形的重心都在上，则线段与的交点G就是长方形的重心． ②如答图②所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点N，连接．易知和的重心都在上，所以四边形的重心是线段与的交点G． 问题2：（所作直线不唯一）如答图③，延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 理由：因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分，所以既平分长方形又平分长方形，故将该图形分成面积相等的两部分． 【题型10】 与三角形角平分线有关的求值 【例10】（2024-2025七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，已知直线、相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）过点作，为上异于点的一点．连接．则线段与的大小关系为：_____（填如图“”、“”、“”），理由为：_____． 【答案】（1）；（2）；垂线段最短 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质以及垂线段的性质．解题的关键是熟练运用角平分线分得两个角相等、对顶角相等的性质求解角度，利用垂线段最短的性质判断线段的大小关系． （1）根据“角平分线定义”与“对顶角相等”即可求解； （2）根据“垂线段最短”即可判定 【解答】解：（1）因为平分，且，根据角平分线的定义，可知 ． 又因为直线 和相交于点O，与是对顶角，根据对顶角相等， 可得． （2）因为，所以是点N到直线的垂线段．而M是上异于点O的一点，是点N到直线上点 M（异于点O） 的斜线长．根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知 故答案为：；垂线段最短． 【变式10-1】（2022-2023七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【解答】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 【变式10-2】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【解答】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式10-3】（2024-2025八年级上·全国·期末）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【解答】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【题型11】 画三角形的高 【例11】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【解答】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 【变式11-1】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是关键．由三角形的高的定义容易得出结论． 【解答】解：由三角形的高的定义可知， 在中，于C， ∴是中边上的高， 故选：C． 【变式11-2】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的高的定义．根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高进行判断即可． 【解答】（1）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （2）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （3）解：在中，边上的高是． 故答案为：． 【变式11-3】（2024-2025八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【解答】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 【题型12】 与三角形高线有关的求值 【例12】（2024-2025八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【解答】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 【变式12-1】（2024-2025八年级·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【解答】解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 【变式12-2】（2024-2025七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是 【答案】或 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的高的含义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．根据题意分两种情况：高在内部和高在外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可． 【解答】解：如图所示，当高在内部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴． 如图所示，当高在外部时，    ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式12-3】（2024-2025七年级下·江西吉安·期末）在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为 ． 【答案】，或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高线，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用三角形内角和定理分别求解即可． 【解答】解：在锐角中，为边上的高， ，， 如图1，当时，此时，满足锐角三角形， ； 如图2，当时，此时， ，满足锐角三角形，， ； 如图3，当时，此时， ，，满足锐角三角形， ； 综上可知，的度数为，或， 故答案为：，或． 【题型13】 与三角形中线、角平分线、高线有关的综合求值 【例13】（2024-2025七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得到，利用三角形的周长公式表示出与的周长，两者相减即可得出答案； （2）根据三角形的高的定义得到，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【解答】（1）解：∵是的中线， ∴． ∵， ∴的周长，的周长． ∴与的周长之差为 ． （2）解：∵是的高， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式13-1】（2023-2024七年级下·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先利用三角形内角和定理解得的值，结合平分易知，再求得的值，利用求解即可； （2）结合三角形内角和定理、三角形的高和角平分的定义可知，，再推导，然后根据即可获得答案． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 解：∵分别是的高和角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 【变式13-2】（2024-2025八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【分析】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【解答】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 【变式13-3】（2024-2025七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】（1）解： 为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【题型14】 三角形内角和定理的证明 【例14】（2023-2024八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握平行线的性质定理、判定定理．过点作直线，由平行线的性质可得，，再由平角的定义，通过等量代换可得． 【解答】证明：如图，过点作直线， ， ，， ， ，即三角形内角和等于． 【变式14-1】（2024-2025八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【解答】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 【变式14-2】（2024-2025七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【解答】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 【变式14-3】（2023-2024七年级下·全国·单元测试）在三角形这一章的学习中我们知道，“三角形的内角和是”这个结论的证明方法有很多． 如下图，已知三角形，求证：． 分析：通过画平行线，将、、作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法． 证法一：如下图，过点作直线． 因为， 所以________， ________________________________． 因为， 所以． 证法二：如下图，延长到，过点作， 证法三：如下图， （1）请补全证法一中的证明过程． （2）将证法二补充完整，并写出说理过程． （3）如证法三图，过线段上任一点点、除外，作，这种添加辅助线的方法也能证明请完成说理过程此题不需要写括号部分的理论依据．证法三：如图，过线段上任一点点、除外，作． 【答案】（1）， 两直线平行，内错角相等；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质： （1）根据两直线平行，内错角线段得到，，再根据平角的定义得到，则； （2）由两直线平行，内错角相等，同位角相等得到，再由平角的定义得到，则； （3）根据平行线的性质得到，，再由平角的定义得到，则． 【解答】解：（1）证明：如下图，过点作直线． 因为， 所以， 两直线平行，内错角相等． 因为， 所以． （2）证明：如下图，延长到，过点作， ∵ ， ∴， ∵， ∴； （3）证明：如图，过线段上任一点点、除外，作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【题型15】 与平行线有关的三角形内角和问题 【例15】（2024-2025七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． （1）请说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的等量关系推导线线平行，并利用垂直关系和角度和差计算角度． （1）利用角平分线得角相等，结合已知角相等推出内错角相等，证明平行． （2）由垂直得直角，结合已知角度求，再用三角形内角和求． 【解答】解：（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ． 【变式15-1】（2024-2025八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【解答】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式15-2】（2024-2025七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【解答】解： 平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 【变式15-3】（2024-2025八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 【题型16】 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例16】（2024-2025八年级上·河南濮阳·期中）如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合平分可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合即可求出结论． 【解答】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴，， ∴． 【变式16-1】（2024-2025七年级下·陕西渭南·期末）如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题意易证，推出，由得到，求出，结合，利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，由即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 【变式16-2】（2024-2025七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，得，根据对顶角相等，高线的定义，得，继而得到，得到，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，高线的意义，角的平分线的定义，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 【解答】解：由，， 根据三角形内角和定理，得， 根据对顶角相等，高线的定义，得， 继而得到， 故， 故． 故答案为：． 【变式16-3】（2024-2025七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，平分． （1）求证：； （2）若平分，与互补，，求． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，补角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关系． （1）由角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明； （2）由角平分线的定义得到，设，则，可得，进而得到，再由补角的定义得到，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 设，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【题型17】 直角三角形的性质及判定 【例17】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了垂直的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件和直角三角形的性质得出的值，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解： ， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴＝． 【变式17-1】（2024-2025八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中， 能确定为直角三角形的条件有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 【解答】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ②∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故本小题不符合题意； ④∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意； ⑤∵，， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本小题符合题意． 综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个． 故选：B． 【变式17-2】（2024-2025八年级·湖南郴州·期末）如图，，．若，则的度数为 度． 【答案】56 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【解答】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【变式17-3】（2024-2025八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 【答案】(1)16 (2)①② 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质； （1）根据斜边的中线等于斜边的一半可得，即可得解； （2）①根据斜边的中线性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再由三角形的内角和即可得解； ②由①可知：，即可得解． 【解答】（1）解：，M为的中点， ， ∴的周长； （2）解：①，M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ②由①知：， ， ∴． 【题型18】 三角形的外角的定义及性质 【例18】（2024-2025八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，的平分线和外角的平分线交于点，请将下面对求解“与关系”的过程补充完整． 解：∵分别平分、， （________________________） 为的外角， _______（________________________） （等量代换） _________（等式的基本性质）① 又为的外角， （三角形外角的性质）② 由①②可知：_______． 【答案】角平分线的定义，，三角形外角的性质，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角性质，由角平分线的定义得，由三角形外角的性质得，进而等量代换可得，又由即可求解，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 【解答】解：∵分别平分、， （角平分线的定义）， 为的外角， （三角形外角的性质） （等量代换） （等式的基本性质）① 又为的外角， （三角形外角的性质）② 由①②可知：， 故答案为：角平分线的定义，，三角形外角的性质，，． 【变式18-1】（2024-2025八年级上·广东韶关·期末）如图，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，先证明是等边三角形，得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为；． 【变式18-2】（2024-2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据三角形的外角性质可得的度数． 【解答】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式18-3】（2024-2025七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小． （2）若的面积为30，，求的长． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形的中线，角平分线和高，关键由三角形的外角性质得到． （1）由三角形的外角性质得到，由角平分线定义得到； （2）由三角形的中线等于得到，由三角形的面积公式得到的面积，求出． 【解答】解：（1）∵，，， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵为中线，， ∴， ∵， ∴的面积， ∴． 【题型19】 三角形的外角与内角和的综合运用 【例19】（2024-2025八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（   ） A．100° B．200° C．180° D．210° 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理综合．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，是解题的关键． 根据，，，即可求出． 【解答】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 故选：C． 【变式19-1】（2024-2025七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是分点在线段上及点在线段上两种情况，分点在线段上及点在线段上两种情况考虑，当点在线段上时，利用三角形的外角性质可求出的度数，在中利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义可求出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数；同理解决，当点在线段． 【解答】解：当点在线段上时，如图1所示， 在中，是高， ， 为的外角， ， ． 平分， ， ； 当点在线段上时，如图2所示， 在中，，， ， ． 平分， ， ． 故答案为：或． 【变式19-2】（2024-2025八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，理解题意、找到数字规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质，得，根据三角形外角的性质，得，依此类推，可得、、，则得． 【解答】解：在中，，， ， ，是的一个外角， ，， 同理可得：，， ，， ……， 依次类推，． 故答案为：． 【变式19-3】（2024-2025七年级下·江苏南通·期末）已知中，，是边上一点（不与点，点重合）． （1）如图1，若是的高，是的角平分线．求证，； （2）如图2，若，，与的平分线相交于点． ①依题意补全图形； ②试用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）详见分析；（2）①图见分析；②，证明见分析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据同角的余角相等证得，再根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出，根据角的和差关系得出，问题即可得解；   （2）①根据题意画出图形即可；   ②设，，分别求出、、的度数，然后根据三角形内角和定理分别求出、的度数，问题即可得解． 【解答】解：（1）证明：是的高， ． ． ， ． ． 是的角平分线， ． 是的外角， ． ， （2）解：①补图如图示 ②答：． 证明：设，． 平分， ． ， ． ． ． 平分， ． 在中， ． 在中， ． ． ． 即． 【题型20】 三角形折叠中的角度问题 【例20】（2024-2025八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由折叠的性质得，则，，又由折叠的性质得，，得出，，由三角形外角性质得出，进而得到，最后根据三角形的内角和定理即可得出结果． 【解答】解：连接、，如图所示： 由折叠的性质得：， ， ， 又由折叠的性质得：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点评】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质与等腰三角形的性质与解题的关键． 【变式20-1】（2024-2025八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【解答】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 【变式20-2】（2024-2025七年级下·江苏淮安·期末）小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线间的距离，折叠问题．证明，再由折叠的性质可得，，，根据题意可得当线段最大时，最小，此时最小，则当时， 最小，可得，从而得到，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵线段最大， ∴最小，此时最小， ∵， ∴当时， 最小， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式20-3】（2024-2025七年级下·四川宜宾·期末）如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，当点E落在上时，求的度数； (2)如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：； (3)如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由直角三角形的性质求得，再由折叠的性质得，最后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由折叠的性质得，根据直角三角形的性质求得，再根据平行线的判定即可得证； （3）设，由平行线的性质得，再由角平分线的定义和三角形外角的性质得，根据折叠的性质得，再利用三角形内角和定理求得，进而求得即可． 【解答】（1）解：，， ． ∵将沿翻折后得到， ． ． （2）解：根据翻折可得， ， ． ． ， ． ． （3）解：，理由如下： 设， ， ． 平分， ． ． ， ． ， ， ， ． ． ． 【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 第十三章三角形之单元复习梳理 【单元重难点题型讲练】 【单元知识考点梳理】 【单元重难点题型梳理】 【题型01】 三角形的识别与有关概念 【题型02】 三角形的个数问题 【题型03】 三角形的分类 【题型04】 构成三角形的条件 【题型05】 确定三角形第三边的取值范围 【题型06】 三角形三边关系的应用 【题型07】 三角形的稳定性 【题型08】 与三角形中线有关的求值 【题型09】 有关三角形重心的概念 【题型10】 与三角形角平分线有关的求值 【题型11】 画三角形的高 【题型12】 与三角形高线有关的求值 【题型13】 与三角形中线、角平分线、高线有关的综合求值证明 【题型14】 三角形内角和定理的证明 【题型15】 与平行线有关的三角形内角和问题 【题型16】 与角平分线有关的三角形内角和问题 【题型17】 直角三角形的性质及判定 【题型18】 三角形的外角的定义及性质 【题型19】 三角形的外角与内角和的综合运用 【题型20】 三角形折叠中的角度问题 【题型01】 三角形的识别与有关概念 【例1】（2024-2025八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【变式1-1】（2024-2025八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023-2024八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【变式1-3】（2024-2025七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有____个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中________，________，________边的对角； （4）是_______，_______，_______的内角；是________，________的内角． 【题型02】 三角形的个数问题 【例2】（2023-2024八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）图中共有三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2-3】（2024-2025八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【题型03】 三角形的分类 【例3】（2024-2025七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025七年级下·河北邢台·阶段练习）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式3-2】（2024-2025八年级上·四川泸州·期中）已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024-2025七年级下·上海·专题练习）已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形． 【题型04】 构成三角形的条件 【例4】（2024-2025八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的是（   ） A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10 【变式4-1】（2024-2025七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·浙江金华·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12cm和9cm两部分，求等腰三角形的底边长． 【题型05】 确定三角形第三边的取值范围 【例5】（2024-2025七年级下·湖南怀化·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·吉林长春·期末）如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【变式5-3】（2024-2025八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是 ． 【题型06】 三角形三边关系的应用 【例6】（2024-2025八年级上·广西钦州·期中）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【变式6-1】（2024-2025八年级上·全国·专题练习）已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 【变式6-2】（2024-2025七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 【变式6-3】（2024-2025七年级下·江西南昌·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 【题型07】 三角形的稳定性 【例7】（2024-2025八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于 【变式7-1】（2024-2025七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式 7-2】（2024-2025八年级上·全国·单元测试）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有 的特性． 【变式7-3】（2024-2025七年级下·河南郑州·期末）三角形具有稳定性，生活中很多地方都用到了这一性质，请你列举一个利用三角形稳定性的实例： ． 【题型08】 与三角形中线有关的求值 【例8】（2024-2025八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式8-2】（2024-2025八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏南通·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为 ． 【题型09】 有关三角形重心的概念 【例9】（2023-2024八年级上·河北廊坊·期中）如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式9-1】如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（   ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线 【变式9-2】（2023-2024八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（   ） A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【变式9-3】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【题型10】 与三角形角平分线有关的求值 【例10】（2024-2025七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，已知直线、相交于点，平分． （1）若，求的度数； （2）过点作，为上异于点的一点．连接．则线段与的大小关系为：_____（填如图“”、“”、“”），理由为：_____． 【变式10-1】（2022-2023七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【变式10-3】（2024-2025八年级上·全国·期末）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【题型11】 画三角形的高 【例11】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【变式11-2】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 【变式11-3】（2024-2025八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【题型12】 与三角形高线有关的求值 【例12】（2024-2025八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 【变式12-1】（2024-2025八年级·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 【变式12-2】（2024-2025七年级下·北京·阶段练习）在中，，是边上的高且，则的度数是 【变式12-3】（2024-2025七年级下·江西吉安·期末）在锐角中，为边上的高，在不添中加辅助线的情况下，当此图形中有一个角的度数为时，的度数为 ． 【题型13】 与三角形中线、角平分线、高线有关的综合求值 【例13】（2024-2025七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【变式13-1】（2023-2024七年级下·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 【变式13-2】（2024-2025八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【变式13-3】（2024-2025七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【题型14】 三角形内角和定理的证明 【例14】（2023-2024八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 【变式14-1】（2024-2025八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【变式14-2】（2024-2025七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【变式14-3】（2023-2024七年级下·全国·单元测试）在三角形这一章的学习中我们知道，“三角形的内角和是”这个结论的证明方法有很多． 如下图，已知三角形，求证：． 分析：通过画平行线，将、、作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法． 证法一：如下图，过点作直线． 因为， 所以________， ________________________________． 因为， 所以． 证法二：如下图，延长到，过点作， 证法三：如下图， （1）请补全证法一中的证明过程． （2）将证法二补充完整，并写出说理过程． （3）如证法三图，过线段上任一点点、除外，作，这种添加辅助线的方法也能证明请完成说理过程此题不需要写括号部分的理论依据．证法三：如图，过线段上任一点点、除外，作． 【题型15】 与平行线有关的三角形内角和问题 【例15】（2024-2025七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． （1）请说明：； （2）若，，求的度数． 【变式15-1】（2024-2025八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为 ． 【变式15-2】（2024-2025七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【变式15-3】（2024-2025八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【题型16】 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例16】（2024-2025八年级上·河南濮阳·期中）如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 【变式16-1】（2024-2025七年级下·陕西渭南·期末）如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】（2024-2025七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 【变式16-3】（2024-2025七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，平分． （1）求证：； （2）若平分，与互补，，求． 【题型17】 直角三角形的性质及判定 【例17】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【变式17-1】（2024-2025八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中， 能确定为直角三角形的条件有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式17-2】（2024-2025八年级·湖南郴州·期末）如图，，．若，则的度数为 度． 【变式17-3】（2024-2025八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 【题型18】 三角形的外角的定义及性质 【例18】（2024-2025八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，的平分线和外角的平分线交于点，请将下面对求解“与关系”的过程补充完整． 解：∵分别平分、， （________________________） 为的外角， _______（________________________） （等量代换） _________（等式的基本性质）① 又为的外角， （三角形外角的性质）② 由①②可知：_______． 【变式18-1】（2024-2025八年级上·广东韶关·期末）如图，若，则的度数为 ． 【变式18-2】（2024-2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ． 【变式18-3】（2024-2025七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小． （2）若的面积为30，，求的长． 【题型19】 三角形的外角与内角和的综合运用 【例19】（2024-2025八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（   ） A．100° B．200° C．180° D．210° 【变式19-1】（2024-2025七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ． 【变式19-2】（2024-2025八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【变式19-3】（2024-2025七年级下·江苏南通·期末）已知中，，是边上一点（不与点，点重合）． （1）如图1，若是的高，是的角平分线．求证，； （2）如图2，若，，与的平分线相交于点． ①依题意补全图形； ②试用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【题型20】 三角形折叠中的角度问题 【例20】（2024-2025八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式20-1】（2024-2025八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式20-2】（2024-2025七年级下·江苏淮安·期末）小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则 ． 【变式20-3】（2024-2025七年级下·四川宜宾·期末）如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，当点E落在上时，求的度数； (2)如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：； (3)如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$