1.2.2 等差数列与一次函数 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.2.2 等差数列与一次函数 第1章 作者编号：32200 1.理解等差数列的通项公式与一次函数的关系. 2.掌握等差数列的判定和证明方法. 学习目标 作者编号：32200 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故与一次函数有关. 新课导入 … … … 作者编号：32200 求下列等差数列{an}的通项公式，并画出这个数列的图象，判断数列的单调性. (1)a1＝1，d＝3；(2)a1＝7，d＝-2. 单调递增 单调递减 新知探究 … … … 作者编号：32200 由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)， 故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)， 点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点， 而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝(n≥2)， 实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)， 由斜率的公式可知d＝， 公差d的符号决定了数列的单调性， d>0时，等差数列{an}递增； d＝0时，数列{an}为常数列； d<0时，等差数列{an}递减. 作者编号：32200 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋(a1－d)是关于n的一次式，但等差数列只是其对应一次函数的一系列孤立的函数值；一次函数的定义域是实数集R，图象是一条直线，等差数列的图象只是直线上均匀分布的一些点． 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1) 点(n, an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 知识梳理 作者编号：32200 (1)当d>0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列{an}递增(如图甲)； (2)当d<0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右下降，等差数列{an}递减(如图乙)； (3)当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为常数列(如图丙). 作者编号：32200 思考：如果一个数列{an}的通项公式为an＝kn＋b，其中k，b都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？ 当n≥2时，an－an－1＝(kn＋b)－[k(n－1)＋b]＝k，它为常数， ∴数列{an}是等差数列，首项为a1＝k＋b，公差为k. 作者编号：32200 例1 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1. (1)求首项a1和公差d. (2)画出数列{an}的图象. (3)判断数列{an}的单调性. 解：(1)a1＝3＋1＝4，a2＝3×2＋1＝7，d＝a2－a1＝3， (2)数列{an}的图象是直线y＝3x＋1上一些等间隔的点，如图所示. (3)由(1)可知d>0，所以数列{an}是递增数列. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. 解：(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列． 新知探究 … … … 作者编号：32200 讨论：若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 由等差数列的定义可知， am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d， ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， 容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d， ∵m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq. 新知探究 … … … 作者编号：32200 等差数列{an}的下标性质： 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则有am＋an＝2ap. 知识梳理 作者编号：32200 例3 在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10. 解：(法一)设数列{an}的公差为d. 则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d) ＝4a1＋36d＝4(a1＋9d) ＝4a10＝40， ∴a10＝10. (法二)∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10. 新知探究 … … … 作者编号：32200 结合本节课所学，回答下列问题： (1)等差数列通项公式与一次函数之间有什么关系？ (2)等差数列的项与项之间有什么关系？ 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.对于数列{an}，“an＝kn＋b(k，b为常数)”是“数列{an}为等差数列”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定 C B 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.下列各数列中首项为零的等差数列是( ) A.an＝2n B.an＝2(n－1) C.an＝2n D.an＝2n－1 4.在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，公差d等于( ) A.4 B.2 C.－2 D.2或－2 B B 当堂检测 … … … 作者编号：32200 $$