第十三章 三角形（单元测试卷）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第十三章 三角形 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 2．（本题3分）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A．B． C． D． 3．（本题3分）如图，是上的中线，是的中点，的面积是，则的面积是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 4．（本题3分）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（本题3分）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   7．（本题3分）如图，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（本题3分）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值 ． 12．（本题3分）在中，，，则的高和之比是 ． 13．（本题3分）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ． 14．（本题3分）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是48，则的面积是 ． 15．（本题3分）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则 ． 16．（本题3分）如图，在中，，平分，平分，则 ． 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 18．（本题8分）中，，，平分交于点D，求的度数． 19．（本题8分）如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 20．（本题8分）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 21．（本题10分）如图，，，于点D． (1)若，则的度数为________． (2)若，求的度数． 22．（本题10分）已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 23．（本题10分）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 24．（本题12分）如图，分别平分的外角． (1)①若，则的度数为__________； ②若，则的度数为__________． (2)试探索与之间的数量关系． (3)如图②，延长至点G，连接，使得．若的面积为4，，则线段的长度为_________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边之间关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形三边之间关系求出第三条边的范围，再看四个选项中哪一个符合条件即可． 【详解】解：设第三边长为，由题意得：， ， A，B，C，D四个选项中只有C选项符合， 故选：C． 2．（本题3分）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 3．（本题3分）如图，是上的中线，是的中点，的面积是，则的面积是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形面积的求法，三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线 ∴， ∵是的中点，则是中边上的中线， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 4．（本题3分）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：B、C、D选项中线段不能表示任何边上的高， A选项中线段表示中边上的高． 故选：A． 5．（本题3分）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以D为顶点的三角形有共4个三角形， 故选：B． 6．（本题3分）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系. 故选：B ． 7．（本题3分）如图，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键； 根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，即可解答． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， 同理是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故选：A． 8．（本题3分）如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：， ， 为的角平分线， ， 为的高， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高和角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识并能灵活运用． 9．（本题3分）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，根据这个定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 根据三角形内角和为，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②∵， ∴最大角， 故②正确 ③∵， ∴， ∴， 故③正确 ④∵， ∴， ∴， 故④正确 综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个． 故选：D． 10．（本题3分）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；由三角形外角的性质，角平分线的定义可判定⑤；综合即可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴，故①正确； ，的平分线交于点， ，， 又∵， ， ，故②正确； 平分， ， ，，， ， ， ，故③正确； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ，故④正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上正确的有：①②③④⑤． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）的边长如图所示，写出一个符合条件的m的值 ． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：由图可得，即， 则符合条件的m值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 12．（本题3分）在中，，，则的高和之比是 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积公式，根据三角形的面积公式得出 【详解】解∶如图， ∵， ∴， 又，， ∴， 故答案为∶． 13．（本题3分）若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可求出应满足的条件． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是48，则的面积是 ． 【答案】12 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形，据此即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线， ∴． 故答案为：12 15．（本题3分）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 本题根据三角形的外角性质，得到，然后即可求解． 【详解】解：根据三角形外角性质得：， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在中，，平分，平分，则 ． 【答案】/110度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出，根据角平分线的定义求得，在中利用三角形内角和定理可求出的度数解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 【答案】比长 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， ， 比长． 18．（本题8分）中，，，平分交于点D，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19．（本题8分）如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】（1）根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，所以可直接得出的值． （2）的周长为，的周长为，因为，所以周长差为，再根据三角形面积公式求出的长度，进而求出周长差． 本题主要考查了三角形中线和高的性质，熟练掌握中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： （2）解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 20．（本题8分）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【答案】(1)、、、、 (2)或 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系； （1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解； （2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解； 【详解】（1）的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 21．（本题10分）如图，，，于点D． (1)若，则的度数为________． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合以及三角形外角性质可求出的度数；再在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数； （2）在中，利用三角形内角和定理可用含的代数式表示出的度数，结合以及三角形外角性质可用含的代数式表示出的度数；再在中，利用三角形内角和定理即可用含的代数式表示出的度数． 【详解】（1）解：在中， ． ， ． ， ， ． （2）解：， ． ，， ， ． ， ， ． 22．（本题10分）已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键. （1）延长，交于D，在中，根据三角形两边之和大于第三边可得同理中，可得再根据不等式的性质得到进而证明； （2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论. 【详解】（1）（1）证明：如图，延长，交于点D． 在中，． 在中，， 即． （2）（2）． 理由：在中，． 同理可得，． 以上三式左、右两边分别相加，得， 即． 23．（本题10分）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查三角形的重心，四边形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，是解题的关键： 问题1：分两种情况画出图形，根据重心的定义，画图即可； 问题2：延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 【详解】解：问题1：①如答图①所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点F．由题意可得，这两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，而这个长方形也可由和拼成，易知这两个三角形的重心都在上，则线段与的交点G就是长方形的重心． ②如答图②所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点N，连接．易知和的重心都在上，所以四边形的重心是线段与的交点G． 问题2：（所作直线不唯一）如答图③，延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 理由：因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分，所以既平分长方形又平分长方形，故将该图形分成面积相等的两部分． 24．（本题12分）如图，分别平分的外角． (1)①若，则的度数为__________； ②若，则的度数为__________． (2)试探索与之间的数量关系． (3)如图②，延长至点G，连接，使得．若的面积为4，，则线段的长度为_________． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先根据三角形外角和内角关系求出相关角的度数，再结合角平分线性质求出 （2）通过外角关系和角平分线的性质推到的数量关系. （3）利用角的关系和面积关系求解线段长度. 【详解】（1）解：① 是的角平分线， 同理 在中， ②在中， 故答案为：①；② （2）解： 在中， 分别平分的外角． 在中， （3）解：由（2）可得： 面积为4. 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的应用，直角三角形，面积的计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$