精品解析：河南省天立教育2025-2026学年高一上学期开学联合考试数学试题

绝密★启用前 天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 高一年级数学试题卷 本试题卷共6页，三大题，28小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点都在函数上，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出、、，然后解答即可． 【详解】∵点都在函数上， ∴，，， ∴． 故选：B 2. 一个不透明的袋子中装有个红球，个黄球，个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可解答． 【详解】由题意可知，袋子中总共有个球，其中白球的个数为个， 故摸出的小球是白球的概率为. 故选：A． 3. 如果，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用比例的性质表示出x，y的值，进而得出答案． 【详解】∵，∴设，则，∴＝，故选项A错误； ＝＝4，故选项B正确；＝，故选项C错误； ＝，故选项D错误； 故选：B． 4. 如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，，则k的值为（　　） A. B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据相似三角形面积比等于相似比的平方及反比例函数k的几何意义可求解问题． 【详解】过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： ，即， ，， 由上两式可得：，∴， ∵，∴， ∵点A在反比例函数上， ∴由反比例函数k的几何意义可知， 即，∴， 又∵反比例函数在第四象限，∴， 故选：D 5. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得出答案． 【详解】将抛物线向上平移3个单位长度,所得到的抛物线为，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为， 故选：A． 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得且判别式，解不等式即得的范围． 【详解】由题意，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 则且根的判别式， 解得， 故实数的取值范围是且. 故选：A． 7. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理，垂径定理即可求解. 【详解】解： 连接， 是上的一条弦，直径，， ，又，， ，． 故选：B． 8. 如图，在中，是直径，半径垂直于弦于，连接，若，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵半径垂直于弦， ∴. 在中，，即， 解得，. ∴， ∵， ∴. 故选：B. 9. 已知抛物线，对称轴是直线，若点都在该抛物线的图象上，则的大小关系为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次项系数得到抛物线开口向上，图象上的点距离对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大，进而由即可求解. 【详解】因为二次项系数， 抛物线开口向上，图象上的点距离对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大， 因为抛物线的对称轴为直线，且， 则， 故选： 10. 如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，，则等于（　　） A. 65° B. 60° C. 55° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆周角定理及性质列式计算得解. 【详解】连接BD，由点D是的中点，得，则， 而，于是， 由AB是半圆的直径，得， 所以. 故选：A 11. 如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的意义可得所构成的图中每一小块阴影的面积，将它们相加即可. 【详解】因为点，，，，的横坐标依次为1，2，3，，2024， 所以点，，，，的纵坐标依次为， 所以， ， 所以. 故选：A 12. 某商场今年月份的营业额为万元，月份的营业额达到万元，若设商场月份到月份营业额的月平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设月平均增长率为,则易得月份的营业额为,把相关数值代入即可得到相应方程. 【详解】 设商场月份到月份营业额的月平均增长率为, 由题意可得月份的营业额为, 所以月份的营业额为：， 所以可列方程为：. 故选：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕O点顺时针旋转i个，得到正六边形．当时，顶点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以O为圆心，为半径作，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，从而可得答案． 【详解】如图以O为圆心，为半径作 ； 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个， 即把绕点O顺时针旋转i个， C旋转后对应点依次为，，……， ∵1周，∴绕点O顺时针旋转8次回到原位置. ∵，∴与重合. 如图： ∵多边形是正六边形，∴每个内角为；即. ∵正六边形是轴对称图形，∴. ∵，∴. ∴坐标为，即的坐标为B. 故选：B 14. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可知点B在以O为圆心，为半径的圆上运动，由旋转可知将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，相当于把绕点O逆时针旋转，可得对应点的坐标，根据规律发现是8次一循环，从而可得答案． 【详解】∵四边形是正方形，且，∴，连接. 由勾股定理得，由旋转可得， ∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形， 相当于把线段绕点O逆时针旋转，依次得到， ∴， 发现是8次一循环，， ∴点的坐标为. 故选：C 15. 已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论取值的三种情况，再对a进行分离变量，解出三种不同情况下a的取值范围，最后综合三种情况即可得到答案． 【详解】由题意，在内的取值为0、1和2，且易知不可能是原方程的解， 当时，，，得， 由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 当时，，，得，由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 当时，，，得，由于，所以，也即当时，方程在上必有一解， 由题意知，方程在有2个解， 根据上述讨论，a所属的范围必须同时满足其中两个才能成立，也即， 故选：A． 16. 关于的方程，有以下三个结论：①当时，方程只有一个实数解；②当时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值， 方程都有一个负数解，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论和时方程根的情况，进而得解. 【详解】当时，，方程只有一个解，①正确； 当时，方程是一元二次方程， ，方程有两个实数解， 其中时，方程有两个相等的实数解，②错误； 把分解为. 时，， 即是方程的根，③正确； 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 17. 在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】点关于原点成中心对称的点是， 故答案为：． 18. 二次函数的顶点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线顶点坐标公式求出顶点坐标. 【详解】依题意，， 所以函数图象的顶点坐标. 故答案为： 19. 如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高，小华的身高，他们的影子恰巧等于自己的身高，即，且两人相距4.7m，则路灯AD的高度是___． 【答案】4m 【解析】 【分析】设路灯的高度为，根据题意可得∽，再利用相似三角形的对应边成比例整理得，同理可得，因为两人相距4.7m，可得到关于x的一元一次方程，然后求解方程即可． 【详解】设路灯的高度为， ∵EF∥AD，∴∽， ∴， 即，解得：， ∵MN∥AD， ∴∽，∴， 即， 解得：， ∵两人相距4.7m， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯AD的高度是4m． 20. 如图所示，等边中，D点为边上一动点，E为边上一动点，将沿着折叠，点A落在边的三等分点F处，若，则线段的长度为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当或时，利用相似三角形的判定与性质建立方程求解即可． 【详解】在等边三角形中，，， ∵折叠后，点A落在边的三等分点F处， 当时，点F在线段上，如图所示， 由折叠性质可知，    ∵，， ∴， 又∵，∴， ∴， ∵，，∴，， 设，则，， ∴，解得，， ∵， ∴，解得，经检验符合题意； ∴； 当时， ∴，， 设，则，， ∴，解得，， ∵， ∴，解得，经检验符合题意； ∴； 故答案为：或 21. 如图，在矩形的边上取中点，连接，使，以点为圆心，将顺时针旋转到上，为对应点.若，则图中阴影部分的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据中点的性质可得，再根据矩形的性质可得，进而说明，即，、，再运用勾股定理求得，最后结合图像运用求解即可. 【详解】∵上取中点为， ∴， ∵矩形，∴， ∵，∴， 所以，即， ∴， ∴图中阴影部分的面积是. 故答案为: 22. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出解析式，再分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，最后结合图形即可解答. 【详解】令，即，解得或，则点，， 由题意可知是向右平移2个长度单位得到的，则解析式为， 如图，当与相切时， 令，即， 则，解得， 当过点B时，即，解得， 所以由图可知当时直线与、共有3个不同的交点. 故答案为： 三、解答题：本题共6小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 解方程 （1） （2） 【答案】（1），  . （2） ，   . 【解析】 【分析】(1)利用十字相乘法解答；也可用配方法解答. (2)先去括号，再移项，再用十字交差法解答. 【小问1详解】 解：(1)由，得 , ∴或. ∴, 方法二：由，得, ∴,∴,∴, 【小问2详解】 (2)∵  ∴ ,∴,∴, ∴  ,∴或. ∴ , 24. 如图，在平面直角坐标中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数的图象经过抛物线上的点． （1）当的取值范围为___________时，二次函数值大于一次函数值． （2）当时，求二次函数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，数形结合分析即可求解； （2）根据题意得到点的坐标为，求得二次函数图象的顶点坐标为，将代入，得，由此得到最大值，最小值即可求解． 【小问1详解】 当时，得，∴点的坐标为， 当时，得，解得，∴点的坐标为， 由图象可得，当的取值范围是或时，二次函数值大于一次函数值， 故答案为：或． 【小问2详解】 令，解得，，∴点的坐标为， ∵，∴二次函数图象的顶点坐标为， 将代入，得， ∴当时，二次函数的取值范围为． 25. 某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪、在两侧，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于G，连接，分别证明四边形和四边形为矩形，可得三点共线，则有，设，则，由，求得即得的高度． 【详解】如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，，∵，∴， 由题意可得，∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴三点共线， 故； 设，因，则； 在中，，即，∴； 则，解得，∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 26. 某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件． （1）写出月销售利润（单位：元）与售价（单位：元件）之间的函数解析式． （2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润． （3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1） （2）550件， 8250元 （3）当元时，最大利润为12250元 【解析】 【分析】（1）根据售价为元，由这种衬衣的售价每上涨1元，其销售量就减少10，列出函数关系式即可； （2）销售价为45元，即上涨了5元，所以，代入即可得月销售量和销售利润； （3）用配方法求出二次函数的最大值即可． 【小问1详解】 由题意可得：. 【小问2详解】 当时， 月销售量为（件）， 销售利润为（元）. 【小问3详解】 ， 故当元时，最大利润为12250元． 27. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了的目的，体现了的数学思想； （2）利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】（1）换元，降次，转化 （2） 【解析】 【分析】（1）由换元的方法可知解题的思想是将复杂问题转化为简单问题解决的思想；  （2）令，则原方程可化为，解之可得的值，再进一步解关于的方程可得. 【小问1详解】 将设为，利用的是换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； 【小问2详解】 令，则， ， 或． 解得：， 当时，，即，解得：， 当时，，即， ，∴此方程无实数根； 综上：方程的解是． 28. 已知抛物线的解析式为. （1）当自变量时，函数值y 随x的增大而减少，求b的取值范围； （2）如图，若抛物线的图象经过点，与x轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于B. ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在，P或P 【解析】 【分析】（1）由题意可知：对称轴只需要小于或等于2即可求出b的范围； （2）将A代入抛物线解析式即可求出b的值；由于，且P在抛物线上，故需要对P的位置进行分类讨论即可. 【小问1详解】 抛物线的对称轴为：， 根据抛物线开口向下可知：在对称轴的右侧，函数值y随x的增大而减少， 又∵时，函数值y 随x的增大而减少， ∴， ∴； 【小问2详解】 将A代入抛物线的解析式得， ∴，∴抛物线的解析式为：； 抛物线的对称轴为：，则有， 即A在抛物线的对称轴的右侧， 第一种情况：由于，当P在A点左侧的抛物线上时，则， ∴P的纵坐标与A的纵坐标相同，均为5， ∴根据抛物线的对称性可得点P的横坐标为0，即P点坐标为， 第二种情况：当P在A点右侧的抛物线上时，连接AP并延长交x轴于E， 此时， ∴， 过点A作轴于点G，过点P作轴于点H，过点E作于点F， ∵，，∴，，∴由勾股定理可知：， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，， ∴，， 设， ∵，∴，， ∴，即=， 解得：（此时P与A重合，舍去）或，∴， 综上所述，在抛物线上存在点P，使得，P点坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 高一年级数学试题卷 本试题卷共6页，三大题，28小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点都在函数上，则（    ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的袋子中装有个红球，个黄球，个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为（    ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，，则k的值为（　　） A. B. C. 12 D. 5. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）． A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 7. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是直径，半径垂直于弦于，连接，若，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 已知抛物线，对称轴是直线，若点都在该抛物线的图象上，则的大小关系为（   ） A. B. C. D. 10. 如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，，则等于（　　） A. 65° B. 60° C. 55° D. 50° 11. 如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 12. 某商场今年月份的营业额为万元，月份的营业额达到万元，若设商场月份到月份营业额的月平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 13. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕O点顺时针旋转i个，得到正六边形．当时，顶点的坐标是（    ） A. B. C. D. 14. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A. B. C. D. 15. 已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 关于的方程，有以下三个结论：①当时，方程只有一个实数解；②当时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值， 方程都有一个负数解，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 17. 在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点是____________． 18. 二次函数的顶点坐标为______. 19. 如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高，小华的身高，他们的影子恰巧等于自己的身高，即，且两人相距4.7m，则路灯AD的高度是___． 20. 如图所示，等边中，D点为边上一动点，E为边上一动点，将沿着折叠，点A落在边的三等分点F处，若，则线段的长度为_______． 21. 如图，在矩形的边上取中点，连接，使，以点为圆心，将顺时针旋转到上，为对应点.若，则图中阴影部分的面积是______. 22. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是_____________ 三、解答题：本题共6小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 解方程 （1） （2） 24. 如图，在平面直角坐标中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，一次函数的图象经过抛物线上的点． （1）当的取值范围为___________时，二次函数值大于一次函数值． （2）当时，求二次函数的取值范围． 25. 某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪、在两侧，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，） 26. 某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件． （1）写出月销售利润（单位：元）与售价（单位：元件）之间的函数解析式． （2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润． （3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 27. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了的目的，体现了的数学思想； （2）利用上述材料中的方法解方程：． 28. 已知抛物线的解析式为. （1）当自变量时，函数值y 随x的增大而减少，求b的取值范围； （2）如图，若抛物线的图象经过点，与x轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于B. ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $