第五章　一元一次方程 第五章　一元一次方程 专题训练 2025-2026学年 冀教版（2024）七年级数学上册

专题训练九　一元一次方程的应用 古代问题(数学文化) 1.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载:“今有清酒一斗直粟十斗,醑(xǔ)酒一斗直粟三斗.今持粟三斛,得酒五斗,问清、醑酒各几何?”意思是:一斗清酒价值10斗谷子,一斗醑酒价值3斗谷子,现在拿30斗谷子,共换了5斗酒,问清、醑酒各几斗?下面是甲、乙两种解答方案,则 (　　) 甲:设换了清酒x斗,列方程为10x+3(5-x)=30…… 乙:设用x斗谷子换清酒,列方程为=5…… A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 配套问题 2.某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名? 利润问题 3.学校准备添置一批课桌椅,原计划订购60套,每套100元,店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方实际订购了72套,每套减价3元,但商店获得了与售出60套课桌椅同样多的利润. (1)求每套课桌椅的成本. (2)求商店获得的利润. 数字问题 4.把1,2,3,4,5,…按如图所示的方式排列成一个表,用一个正方形框在表中任意框4个数,记左上角的一个数为x. (1)另外三个数分别用含x的式子表示出来,从小到大依次是　　　　,　　　　,　　　　.  (2)当被框住的4个数之和等于416时,x的值是多少? (3)能否框住这样的4个数,使它们的和等于324?若能,求出x的值;若不能,请说明理由. 方案选择问题 5.(2025衡水期末)某工厂准备在劳动节期间组织员工观看最新电影,票价为每张40元,经车间主任沟通,针对40人以上的团体票,售票员提供了两种优惠方案: 方案一:全体人员打八折; 方案二:5人免票,其他人员打九折. (1)若工厂车间有50名工人,选择哪种方案更优惠? (2)车间主任说:“无论选择哪种方案,要付的钱都一样多.”则该工厂车间有多少名工人? 比例问题 6.七年级(1)班与七年级(2)班参加比赛的人数相同,七年级(1)班有的同学获奖,七年级(2)班有20人没有获奖,已知七年级(1)班和七年级(2)班获奖的人数比是2∶3,那么七年级(2)班有多少人参加比赛? 调配问题 7.某班学生分两组参加某项活动,甲组有36人,乙组有42人,后来由于活动需要,从甲组抽调了部分学生去乙组,结果乙组的人数是甲组人数的2倍少3人.从甲组抽调了多少学生去乙组? 比赛积分问题 8.某足球协会举办一次足球赛,其记分规则及奖励方案(每人)如下表: 项目 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 奖金/元 1 500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时,A队(11名球员)共积分22分,并且没有输一场. (1)A队胜　　　　场.  (2)若每赛一场每名球员均得出场费500元,则A队的某一名球员在这12场比赛中所得的奖金与他的出场费的和为　　　　元.  数轴上两点运动问题 9.如图,在数轴上,点A表示的数是-16,线段AB的长为24,点M为线段AB的中点.点P,Q为数轴上的两个动点.点P从点A出发,沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右运动,到达点M停留2 s后继续保持原速向终点B运动.点Q从点B出发,沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点A运动.P,Q两点同时出发,设点P的运动时间为t(t>0)s. (1)点B表示的数是　　　　;点M表示的数是　　　　.  (2)当点P与点B重合时,求t的值. (3)当线段PQ的长为10时,求t的值. (4)当点P不与点Q重合时,直接写出QM=2PM时t的值. 【详解答案】 1.A　解析:甲:设换了清酒x斗,则换了醑酒(5-x)斗,列方程为10x+3(5-x)=30;乙:设用x斗谷子换清酒,则用(30-x)斗谷子换醑酒,列方程为=5,所以甲正确、乙错误.故选A. 2.解:设安排x名工人生产螺母,则安排(22-x)名工人生产螺栓,根据题意,得 2 000x=2×1 200(22-x), 解得x=12, 则22-x=10. 答:应安排10名工人生产螺栓,12名工人生产螺母. 3.解:(1)设每套课桌椅的成本为x元, 根据题意,得60×100-60x=72×(100-3)-72x, 解得x=82. 答:每套课桌椅的成本为82元. (2)60×(100-82)=1 080(元). 答:商店获得的利润为1 080元. 4.解:(1)x+1　x+7　x+8 (2)根据题意,得 x+x+1+x+7+x+8=416, 解得x=100. 答:x的值是100. (3)不能框住这样的4个数,使它们的和等于324,理由如下: 假设能框住这样的4个数,使它们的和等于324, 根据题意,得x+x+1+x+7+x+8=324, 解得x=77, 因为77÷7=11, 所以77位于第七列,不符合题意, 所以假设不成立, 所以不能框住这样的4个数,使它们的和等于324. 5.解:(1)因为方案一:全体人员打八折, 所以方案一的花费为50×40×0.8=1 600(元); 因为方案二:5人免票,其他人员打九折, 所以方案二的花费为(50-5)×40×0.9=1 620(元). 因为1 600<1 620,所以选择方案一更优惠. (2)设该工厂车间有x名工人, 40x×0.8=(x-5)×40×0.9, 解得x=45. 所以该工厂车间有45名工人. 6.解:设七年级(2)班有x人参加比赛,根据题意,得x∶(x-20)=2∶3, 解得x=32. 答:七年级(2)班有32人参加比赛. 7.解:设从甲组抽调了x个学生去乙组,根据题意,得2(36-x)-3=42+x, 解得x=9. 答:从甲组抽调了9个学生去乙组. 8.(1)5　(2)18 400　解析:(1)设A队胜x场,则平了(12-x)场.依题意得3x+1×(12-x)=22,解得x=5. (2)因为每场的出场费为500元,所以12场比赛的出场费为500×12=6 000(元),胜了5场,奖金为1 500×5=7 500(元),平了7场,奖金为700×7=4 900(元),所以奖金加出场费一共是6 000+7 500+4 900=18 400(元). 9.解:(1)8　-4 (2)根据题意,得4(t-2)=24, 解得t=8, 所以当点P与点B重合时,t的值为8. (3)当点P到达点M时,则4t=12, 解得t=3, 所以当点P从点M出发时,t=3+2=5, 当t=3时,PQ=24-4×3-3×3=3<10, 当t=5时,PQ=4×3+3×5-24=3<10, 所以当PQ=10时,4t+3t+10=24或4(t-2)+3t-10=24, 解得t=2或t=6, 所以当线段PQ的长为10时,t的值为2或6. (4)t的值为. 解析:由(3)可知,当3≤t≤5时,线段PM不存在, 当0<t<3时,则12-3t=2(12-4t), 解得t=; 当5<t≤8时,则3t-12=2[4(t-2)-12], 解得t=, 综上所述,t的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练八　一元一次方程的解法技巧 分子、分母含小数的一元一次方程 技巧1　巧化分母为1 1.解方程:. 技巧2　巧化同分母 2.解方程:=1. 技巧3　巧约分去分母 3.解方程:=3. 技巧4　巧化小数为整数 4.解方程:=1. 分子、分母为整数的一元一次方程 技巧1　巧用拆分法 5.观察下列等式:=1-,,,将以上三个等式两边分别相加得:=1-=1-. (1)猜想并写出:=　　　　.  (2)解方程:+…+=2 024. 6.解方程:=2 025. 技巧2　巧用对消法 7.解方程:=3. 技巧3　巧通分 8.解方程:. 含括号的一元一次方程 技巧1　整体处理法 9.解方程:x-(x-9). 10.解方程:2(x+1)-(x-1)=2(x-1)+(x+1). 技巧2　边去分母边去括号 11.解方程:=1. 技巧3　由外向内去括号 12.解方程:-x=2. 13.解方程:x+1. 含绝对值符号的一元一次方程 14.阅读下列材料: 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程.如:|x|=3,|4x-5|=1,|2a-1|=|5+7a|,…都是含有绝对值的方程. 怎样才能求出含有绝对值的方程的解? 以方程|x|=3和|4x-5|=1为例来探求解法. 探究思路: 根据绝对值的意义,把绝对值的符号去掉,含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解. 探究结论: 1.解方程|x|=3. 解:根据绝对值的意义,得x=3或x=-3. 2.解方程|4x-5|=1. 分析:把4x-5看作一个整体. 解:根据绝对值的意义,得4x-5=1或4x-5=-1. 分别解这两个方程,得x=或x=1. 应用材料中的方法解下列方程: (1)=3. (2)|2a-1|=|5+7a|. 【详解答案】 1.解:去分母,得2(4x-1.6)-5(3x-5.4)=10(1.8-x), 去括号、移项、合并同类项,得3x=-5.8, 系数化为1,得x=-. 2.解:化为同分母,得, 去分母,得0.1x-0.16+0.5x=0.06, 解得x=. 3.解:原方程可化为=3, 约分,得(5x-10)-(2x+2)=3, 去括号,得5x-10-2x-2=3, 移项、合并同类项,得3x=15, 系数化为1,得x=5. 4.解:整理,得=1. 去分母(方程两边同乘21),得30x-7(17-20x)=21. 去括号,得30x-119+140x=21. 移项、合并同类项,得170x=140. 系数化为1,得x=. 5.解:(1) (2)因为+…+=2 024, 所以x1-+…+=2 024, 所以x=2 024, 所以x=2 024, 解得x=2 025. 6.解:因为=2 025, 所以=2 025, 化简,得=2 025, 合并同类项,得x=2 025, 系数化为1,得x=. 7.解:原方程可化为, 即, 所以x=. 8.解:方程两边分别通分后相加,得 , 化简,得, 解得x=-. 9.解:x-(x-9). 去中括号,得x-x+(x-9)=(x-9), 即x-x=0, x=0, 解得x=0. 10.解:移项,得2(x+1)-(x+1)=2(x-1)+(x-1), 即(x+1)=(x-1), 去分母,得3(x+1)=5(x-1), 去括号,得3x+3=5x-5, 移项、合并同类项,得2x=8, 系数化为1,得x=4. 11.解:+8=1, +8=9, +6=7, +4=5, =1, x+2=3, 解得x=1. 12.解:先去中括号,得-3-x=2, 即-1-3-x=2, 解得x=-8. 13.解:去中括号,得2-6=x+1, 去小括号,得x--6=x+1, 移项、合并同类项,得-x=, 系数化为1,得x=-15. 14.解:(1)根据绝对值的意义,得=3或=-3, 分别解这两个方程,得x=或x=-. (2)根据绝对值的意义,得2a-1=5+7a或2a-1=-5-7a, 分别解这两个方程,得a=-或a=-. 学科网（北京）股份有限公司 $$