2.4 整数指数幂导学案 2025-2026学年湘教版（2024） 数学八年级上册

2.4.1 同底数幂的除法 素养目标 1.根据乘方的知识,探究同底数幂的除法法则. 2.知道同底数幂中的底数可以是数字,也可以是整式. 3.能熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算. 重点 同底数幂的除法法则. 【自主预习】 1.说一说同底数幂的乘法. 2.类比同底数幂的乘法,说一说同底数幂的除法. 1.若=am,则m的值是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.的计算结果为　　　　.  3.计算:=　　　　.  【合作探究】 知识点：同底数幂的除法 阅读课本本课时所有内容,回答下列问题. 1.旧知回顾:什么样的两个(或更多)算式叫同底数幂?能举几个例子吗? 2.填一填:根据乘方的定义,35代表　　　　个3相乘,32代表　　　　个3相乘,35÷32之后还有　　　　个3相乘,用乘方表示为　　　　.  3.思考:(1)如何计算a20÷a14呢? (2)如何计算am÷an呢? 　　同底数幂相除,底数　　　　,指数　　　　.用式子表示为am÷an=　　　　(a≠0,m,n都是正整数,且m>n).  4.讨论:式子(x-y)5÷(y-x)2可以使用同底数幂的除法法则吗?如果可以,如何操作? ·学法指导· 　　在同底数幂相除的法则am÷an=am-n中,(1)a可以是一个数,也可以是一个单项式或多项式,只要两个相除的幂的底数相同即可;(2)要求m>n,当m=n或者m<n时,我们会在后面学习这两种情形. 计算: (1)26÷(-2)3÷(-2)5; (2)(xy)11÷(xy)3; (3)(a-b)9÷(b-a)4÷(a-b)3; (4)(-3x2n+2yn)3÷[(-x3y)2]n. 利用同底数幂的除法求值 例　若32·92a+1÷27a+1=81,求a的值. 【方法归纳】知道应用同底数幂除法运算的关键是找准底数和指数,对于底数互为相反数的幂,可以通过乘方的意义转化为同底数幂进行运算. 变式训练　已知5a=2,5b=6,5c=48. (1)求52a-b的值. (2)求a,b,c之间的数量关系. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 2.同底数幂相除(被除式的指数大于除式的指数),底数不变,指数相减. 自学检测 1.D 2.a2 3.-5a4 【合作探究】 知识生成 知识点 1.底数相同的两个乘方算式,比如:230与220,a5与a3. 2.5　2　3　33 3.(1)a20÷a14==a6. (2)数一数a的个数,结果为am-n. 归纳总结　不变　相减　am-n 4.可以使用,把(x-y)看成整体,(x-y)5÷(y-x)2=(x-y)5÷(x-y)2=(x-y)3. 对点训练 解:(1)原式=(-2)6÷(-2)3÷(-2)5 =(-2)6-3-5 =(-2)-2 ==. (2)原式=(xy)11-3=(xy)8. (3)原式=(a-b)9÷(a-b)4÷(a-b)3=(a-b)9-4-3=(a-b)2. (4)原式=-27x6n+6y3n÷(-x3y)2n =-27x6n+6y3n÷x6ny2n =-27x6yn. 题型精讲 例 解:原式可化为32·32(2a+1)÷33(a+1)=34, 即2+2(2a+1)-3(a+1)=4, 解得a=3. 变式训练 解:(1)52a-b=52a÷5b=(5a)2÷5b=4÷6=. (2)因为5c÷5b=48÷6=8=23=(5a)3=53a,所以c-b=3a. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.2 零次幂和负整数指数幂 素养目标 1.通过同底数幂相除的运算性质,探究零次幂、负整数指数幂的意义. 2.知道零次幂有意义的条件,能把负整数指数幂转化为正整数指数幂. 3.能熟练地进行零次幂与负整数指数幂的运算,会用科学记数法表示一个极小的数. 重点 零次幂、负整数指数幂的意义. 【自主预习】 1.2 0260的值是多少? 2.3-1的值是多少? 3.用科学记数法表示数据0.000 000 4. 1.细菌是一种微小的单细胞生物,如大肠杆菌,其直径约为0.000 000 005米.数据0.000 000 005用科学记数法表示为 (　　) A.5×10-8 B.5×10-9 C.0.5×10-8 D.0.5×10-9 2.(-2)0+的计算结果是 (　　) A.-1 B.2 C.3 D.-4 【合作探究】 知识点一：零次幂 阅读课本本课时“思考(1)”的内容,回答下列问题. 1.(1)填表: 同底数幂的除法 根据除法的意义 对比第1列与第2列 33÷33=3(　　)=3(　　)  =　　　　 　　　　 108÷108=10(　　)=10(　　)  =　　　　 　　　　 an÷an=a(　　)=a(　　)  =　　　　 　　　　 (2)结论:=　　　　,=an÷an=an-n=a0=　　　　.  2.(1)思考:0÷0有没有意义?那么0n÷0n==00呢? (2)结论:a0=1的条件是a　　　　.  　　零次幂的意义:任何　　　　的　　　　幂都等于1,即a0=1(a≠0).  1.若式子(x+4)0有意义,则实数x的取值范围是 (　　) A.x≠-4 B.x=-4 C.x≠4 D.x=4 知识点二：负整数指数幂 阅读课本本课时“思考(2)”至“例4”的内容,回答下列问题. 讨论:当n<m(m,n为正整数)时,令n-m=-p,即m-n=p,p为　　　　数,-p为　　　　数.  (1)an÷am=an-m=a(　　),==　　　　.  (2)结论:a-p=(a≠0,p是正整数). 　　任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)次幂,等于这个数的p次幂的　　　　数,即同底数幂除法=am-n中,m<n的情形.  2.计算:(-3)-2= (　　) A.- B. C.- D. 知识点三：科学记数法 阅读课本本课时“例4”之后至“例5”的内容,回答下列问题. 1.旧知回顾:在科学记数法a×10n的形式中,其中n是　　　　,|a|的取值范围满足　　　　.  2.思考:(1)在a×10n的形式中,若n为负整数,如“做一做”中的数3.6×10-3=　　　　,理由是10-3表示成小数为　　　　.  (2)在“例5”中,将一个小数表示为a×10-n的形式,如0.000 000 000 34=3.4×　　　　=3.4×10(　　).  　　一些绝对值很小的数,可以表示成a×10-n的形式,其中n是　　　　,|a|的取值范围仍然满足　　　　.  3.唐朝李绅的《悯农》中有云:锄禾日当午,汗滴禾下土.谁知盘中餐,粒粒皆辛苦.所以我们要爱惜粮食.已知一粒大米的质量约为0.000 021千克,0.000 021用科学记数法表示为(　　) A.0.21×10-4 B.2.1×10-4 C.2.1×10-5 D.21×10-6 零次幂与负整数指数幂综合运用 例　计算:++-(-2)-2. 变式训练　计算:-×(-4)2+(π-2 026)0. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.2 0260=1. 2.3-1=. 3.0.000 000 4=4×10-7. 自学检测 1.B　2.C 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.(1) 同底数幂的除法 根据除法的意义 对比第1列与第2列 33÷33=3(3-3)=3(0) =1 30=1 108÷108=10(8-8)=10(0) =1 100=1 an÷an=a(n-n)=a(0) =1 a0=1 (2)1　1 2.(1)没有意义,也没有意义. (2)≠0 归纳总结　非零实数　零次 对点训练 1.A 知识点二 正整　负整 (1)-p　 归纳总结　倒 对点训练 2.B 知识点三 1.正整数　1≤<10 2.(1)0.003 6　0.001 (2)0.000 000 000 1　-10 归纳总结　正整数　1≤<10 对点训练 3.C 题型精讲 例 解:原式=1+9-3-=6. 变式训练 解:原式=-2-×16+1 =1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.3 整数指数幂的基本性质 素养目标 1.回顾正整数指数幂的一些运算法则. 2.类比正整数指数幂的运算法则,理解整数指数幂同样满足这些运算法则. 3.经历用负整数指数幂的乘法验证同底数幂的除法法则的探究过程. 重点 负整数指数幂的运算法则. 【自主预习】 1.正整数指数幂的运算法则在负整数指数幂的运算中仍适用吗? 2.说一说整数指数幂的三个基本性质. 计算:(1)36·3-8=　　　　;  (2)-5-12÷5-12=　　　　;  (3)[(-a)3]-2=　　　　;(结果不含负整数指数幂)  (4)=　　　　.(结果不含负整数指数幂)  【合作探究】 知识点：负整数指数幂的运算法则 阅读课本本课时所有内容,回答下列问题. 1.填一填:(1)a3·a-5==a[　　　　].结论:am·an=am+n中的m,n可以是　　　　.  (2)===　　　　.结论:=amn中的m,n可以是　　　　.  (3)(ab)-2==　　　　=　　　　,结论:(ab)n=anbn中的n可以是　　　　.  　　对于正整数指数幂的乘法法则,负整数指数幂的乘法同样适用,这样,我们就把以上三个公式中幂的指数从正整数推广到了　　　　.  2.讨论:(1)因为=am·a-n,依据是　　　　的意义,所以同底数幂的除法可以当作上面的第　　　　个问题,即am·a-n=　　　　.  (2)因为=,依据是　　　　的意义,所以分式的乘方可以当作上面的第　　　　个问题,即=　　　　.  ·学法指导· 　　在2.4.2小节中学习了负整数指数幂之后,所有的正整数指数幂的除法运算,都可以转化为负整数指数幂的乘法运算,如:=am·a-n和=. 1.填空:(把结果化为只含有正整数指数幂的形式) (1)(2ab-1)3=　　　　;  (2)3a-2b·2ab-2=　　　　;  (3)4xy2÷(-2x-2y)=　　　　.  2.计算:(结果中不含有负整数指数幂) (1)2x-2y·(xy-2)-3; (2). 整数指数幂的综合运用 例　计算:÷x0·y-3-x-3y3÷x-1y5. 变式训练　计算:(2x4y)2·(-2x-1y)+(-2xy)3÷(2x-4). 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.适用. 2.基本性质1:am·an=am+n(a≠0,m,n都是整数). 基本性质2:(am)n=amn(a≠0,m,n都是整数). 基本性质3:(ab)n=an·bn(a≠0,b≠0,n是整数). 自学检测 (1)　(2)-1　(3)　(4) 【合作探究】 知识生成 知识点 1.(1)3　5　3+(-5)　负整数 (2)4　a-4　负整数 (3)　a-2b-2　负整数 归纳总结　整数 2.(1)负整数指数幂　1　am-n (2)负整数指数幂　3　anb-n 对点训练 1.(1)　(2)　(3)-2x3y 2.解:(1)　(2) 题型精讲 例 解:原式=÷x-1y5 =xy-5÷x-1y5-x-3y3÷x-1y5 =x2y-10-x-2y-2. 变式训练 解:原式=4x8y2·(-2x-1y)+(-8x3y3)÷(2x-4)=-8x7y3-4x7y3=-12x7y3. 学科网（北京）股份有限公司 $$