2.1.2 两条直线平行和垂直的判定学习任务单-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学学习任务单聚焦两条直线平行和垂直的判定，以倾斜角关系为起点，通过问题链引导学生探究斜率关系，构建从几何直观到代数表达的学习支架，衔接直线倾斜角与斜率的前期知识，为解析几何学习奠定基础。 资料以问题驱动探究，通过情境创设与思考辨析培养数学眼光（几何直观、抽象能力）和数学思维（推理意识），归纳总结结合方向向量推导深化逻辑理解。习题分层递进，独学内化巩固基础，小组合学任务强化应用意识，体现数学语言表达现实世界的学科特色。

编号：NO. 001 第_2_章 1节 两条直线平行和垂直的判定 学科：数学 编制： 审核： 时间 年 月 日 【学习目标】 1.理解两条直线平行的条件，能根据直线的斜率判断两条直线是否平行. 2.理解两条直线垂直的条件，能根据直线的斜率判断两条直线是否垂直. 一 精讲听学 目标一：理解两条直线平行和垂直的条件，能根据直线的斜率判断两条直线是否平行或垂直. 任务1：结合下列情境，探索两条直线平行的条件. 平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.如图所示，设直线l1的倾斜角为，斜率为，直线l2的倾斜角为，斜率为，直线l1与直线l2平行. 问题： 1.倾斜角与有什么关系？ 2.斜率与有什么关系，说明理由？ 3.结合问题1、2，思考两平行直线的斜率有什么关系？ 参考答案： 1.=； 2.=，理由如下： ，，. 4.在上述情境中，条件改成=，则直线l1与l2是什么位置关系？说明理由. 参考答案：l1//l2,理由如下：因为且，所以根据正切函数的单调性可知，所以l1//l2. 思考1：结合问题1-4，你认为可以用什么方法判定两直线的平行关系？ 【归纳总结】 对于斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，有 注：若没有特别说明，说“两条直线l1、l2”时，指两条不重合的直线. 思考2：如下图，当直线l1、l2的倾斜角都为时，上述判定方法还能用吗？为什么？ 参考答案：不能，因为当倾斜角为时，直线l1、l2的斜率都不存在. 任务2：根据斜率，判断两条直线平行. 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 参考答案： 解：如图， AB边所在直线的斜率kAB=-，CD边所在直线的斜率kCD=-， BC边所在直线的斜率kBC=，DA边所在直线的斜率kDA=． 因为kAB=kCD，kBC=kDA，所以AB∥CD，BC∥DA．因此四边形ABCD是平行四边形． 目标二：理解两条直线垂直的条件，能根据直线的斜率判断两条直线是否垂直. 任务1：探究直线的斜率与直线垂直的关系 显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．如图，设直线l1的倾斜角为，斜率为，直线l2的倾斜角为，斜率为，直线l1与直线l2垂直. 问题： 1.与存在什么数量关系？ 2.结合倾斜角的关系，思考与存在什么数量关系？ 参考答案： 1. ； 2. ，即 3.若，且l1⊥l2，则的度数是多少？还成立吗？为什么？ 参考答案： ，不成立，因为时，的斜率不存在. 思考1：结合问题1-3，如何判定两直线的垂直呢？ 【归纳总结】 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即 思考2：直线l1，l2的方向向量是多少？如何用直线的方向向量推导出？ 参考答案：根据直线的方向向量的有关概念可知l1的方向向量，l2的方向向量，根据l1⊥l2，可知，，即，即，所以. 思考3：上述两种推导方法，你会选择哪种？为什么？ 参考答案：略. 任务2：利用直线垂直的判定方法，判定两直线位置关系. 已知A（5，－1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状． 参考答案： 解：边AB所在直线的斜率kAB=－，边BC所在直线的斜率kBC=2．由kABkBC=－1，得AB⊥BC，即∠ABC=90°．所以△ABC是直角三角形． 【归纳总结】 利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤： 1.描点：在坐标系中描出给定的点； 2.猜测：根据点的位置，猜测图形形状； 3.求斜率：根据定点坐标求直线间的斜率； 4.结论：由斜率关系判断形状. .二 独学内化 1.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为　　　　　.  2.已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系． 三 小组合学 ★ 检学作业 1.判断下列不同的直线与是否平行： （1）的斜率为2，经过两点； （2）经过两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过两点，经过两点. 2.判断下列直线与是否垂直： （1）的斜率为经过点； （2）的倾斜角为经过两点； （3）经过两点，经过两点. 3.已知点和，点P在x轴上，且为直角，求点P的坐标. 4.已知四边形ABCD的四个顶点是.求证：四边形ABCD为矩形. -1- - 4 - - 3 - 自主学习 规范表达 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$