10.3.2直线与平面垂直（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

10.3直线与平面的位置关系 2 直线与平面垂直 第10章 空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 问题1：类比直线、平面平行的研究，对于直线与平面的垂直，你认为要研究哪些内容？如何研究？ 定义 判定 性质等 猜想 证明 空间问题平面化 方法： 直线与平面的垂直 直线与平面内直线的垂直 情境引入 日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，大型桥梁的桥柱与桥面,旗杆与地面等，都给我们以直线与平面垂直的形象． A B α a b 如何用数学语言刻画直线与平面垂直呢？ 思考: 如图，将书打开直立在桌面上，观察书的书脊和各页与桌面的交线的位置关系，小组讨论，你们能有什么发现？ 可以发现：书脊所在的直线，和每一页与桌面的交线都是垂直的． 这时，我们说书脊所在的直线垂直于桌面所在的平面. 新知探究 注意 1.上述定义可简记为“线线垂直线面垂直” 2.定义中的“任意一条直线”与“每一条直线”、“所有直线”等效，但不能换为“无数条”. 定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这个直线与这个平面互相垂直，记作. 直线叫做平面的垂线（或法线）， 与交点的叫做垂足． 注意：画示意图时，通常使直线与表示平面的平行四边形的一边垂直。 用上述定义来直接判断线面垂直关系是很困难的，能否找到充分条件判定直线与平面垂直？ 准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触). 观察：(1)折痕与桌面垂直吗？ (2) 如何翻折才能使折痕与桌面所在平面a垂直? 不一定 实验探究 A D C C C C B 当折痕且翻折后与不在一条直线上时， 折痕与桌面所在的平面垂直. 直线与平面垂直的判定定理：若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面. ①符号语言： ②本质：线线垂直→线面垂直 ③关键：证两次线线垂直 m n P 除此之外，在生活中，我们可以发现许多竖杆的底座是十字形的，只要竖杆与底座的两条边垂直，就可以保证竖杆垂直于地面。 由上面的实验和实际经验，我们可以发现下面的事实． 例4.证明：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面α,那么另一条直线也垂直于这个平面α. 证明：如图，在平面内取两条相交直线 又是两条相交直线， ∴ b⊥m， b⊥n． ∵ a//b， ∴ a⊥m， a⊥n， ∵ a⊥α， 分析：要证明直线，只需要证明直线垂直于平面α内两条相交直线即可。 问题2：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？如果改为“无数条直线”呢？ 问题3：由例4可知，如果一组平行线中的一条与一个平面垂直，那么其他平行线也都与这个平面垂直.我们现在考虑反过来的问题：垂直于同一个平面的直线是否都平行呢？ 直线与平面垂直的性质定理：垂直与同一个平面的两条直线互相平行。 新知探究 观察左下图，在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论? b a 若a⊥α，b α，且b⊥a，则b//α. a 若α//β，a⊥α，则a⊥β. 若a⊥α，a⊥β，则 α//β 假设直线 犪不平行于平面 α，则直线 犪与平面 α有公 共点，设为点犘． 已知：是两条直线，且 求证： // 证明：用反证法.设与不平行，记直线与的交点为,则可过作直线. 直线与确定的平面记作，设（交线） ， 又， 在平面内过点有两条直线和,都过点，且都垂直于直线 这与“在同一个平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾 // 点到平面的距离：如图（1），过平面α外任意给定的一点，有且只有一条直线与平面垂直，从而把点与垂足之间的距离叫做点到平面α的距离． 由上述线面垂直的定义和定理可以得到下面的推论： 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直． 推论2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直． 证明:过直线上任意两点分别作平面的垂线,垂足分别为 设直线 确定的平面为,且 由,是直线上任意的两点，可知直线上任意两点到平面的距离相等。 α β 如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上任意两点到平面α的距离相等。 ， ， 四边形是矩形 直线到平面的距离：直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 典例分析 在正方体-中 (1)判断直线与平面，以及直线与平面是否垂直，并证明你的结论； 解 （1）直线与平面垂直. 证明如下：由正方体的定义，知，， 从而垂直于底面，所以. 因为底面是正方形，其对角线互相垂直，所以 由于和是平面内的两条相交直线，由前述的判定定理，得平面. 分析：本题核心依据是线面垂直的判定定理（若直线垂直平面内两条相交直线，则直线垂直该平面）与定义（直线垂直平面需垂直面内所有直线）. 典例分析 在正方体-中 (1)判断直线与平面，以及直线与平面是否垂直，并证明你的结论； 直线与平面不垂直. 理由是：因为，而是等边三角形，，所以直线与平面上的一条直线不垂直， 从而直线与平面不垂直. 典例分析 在正方体-中 (2)设正方体的棱长为1，分别求点及直线到平面的距离． （2）由（1），知与平面垂直，所以到平面的距离就是垂线段的长度, 即：. 又，由直线和平面平行的判定定理，知，从而到平面的距离就是点到平面的距离. 分析：本题要利用线面垂直性质（若直线垂直平面，则直线上点到平面的距离为直线与平面交点间的线段长）与线面平行性质（直线平行平面时，直线到平面距离等于直线上任意点到平面的距离）。 练习1.三棱锥中， 求证： A B C V D 1.取的中点 2.连接 课堂练习 题型一 直线与平面垂直的判定定理 练习2.如图，四棱锥的底面为正方形，，求证： 题型二 直线与平面垂直的性质定理 练习3.如图，已知平面平面，，垂足为，， 垂足为，直线，. 求证： . 证明 因为，，所以. 又因为，，，平面， 所以平面 . 因为，所以. 因为，，所以，. 又因为，，平面， 所以平面，所以. 20 证明线面垂直的方法总结： ① 线面垂直的定义． ② 线面垂直的判定定理． ③ 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 直线与 平面垂直 定义 判定定理 和内的任意一条直线都垂直，则 性质定理 课堂小结 垂直与同一个平面的两条直线互相平行 感谢聆听! ∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C. 又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D， ∴A1C⊥平面BC1D. 练习4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中， 求证：A1C⊥平面BC1D. 证明：如图，连接AC，∴AC⊥BD， 又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC， ∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC， $$