24.2 第2课时 垂径分弦-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

第24章　圆 24.2　圆的基本性质 第2课时　垂径分弦 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1 圆的对称性 1. 下列说法中，不正确的是 （　　） A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 3 2.（湖北宜昌五峰期中）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为E，则下列结论中不一定成立的是 （　　） A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=BE D. = C 知识点2 垂径定理 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 4 3.（六安裕安期末）如图，在⊙O中，弦AB=8 cm，OC⊥AB，垂足为C. 若OC=3 cm，则⊙O的半径为 （　　） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm 【变式】　如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，OE=12，CD=26，那么弦AB的长为________. B 10 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 5 4. （教材P16例2改编）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，半径OC交AB于点P，若=，则OP的长等于 （　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【变式】如图，在⊙O中，已知弦AB长为16，C为的中点，OC交AB于点M，且OM∶MC=3∶2，则CM的长为________. C 知识点3 垂径定理的推论 4 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 6 5.（淮北相山期末）如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD=DB， OC=10，CD=2，则AB的长为________. 12 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 7 6. （教材P16例3改编）被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图1），如图2，已知桥拱的顶部C距水面的距离CD为2.7 m，桥弧所在的圆的半径OC为1.5 m，则水面AB的宽度是 （　　） A. 1.8 m B. 1.6 m C. 1.2 m 　 D. 0.9 m 知识点4 垂径定理的实际应用 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 8 7. 【新情境　传统文化】如图1，筒车是我国一种古老而传统的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产. 如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8 m，半径为5 m，则圆心O到水面AB的距离是________m. 3 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 9 B 8.（六安金安期末）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是 （　　） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3<OM<5 D. 4<OM<5 练提升 【解析】当点M与点A（或点B）重合时，OM最长，此时OM为半径. ∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5. 如图，当OM⊥AB时，OM最短，连接OA. ∵OM⊥AB，∴AM=BM.∵AB=6，∴AM=3. 在Rt△AOM中，OM===4. 综上，OM的长的取值范围是4≤OM≤5. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 10 【变式】　【新趋势　动点探究题】如图，在⊙O中，弦AB=6，点C在AB上移动，连接OC，过点C作DE⊥OC交⊙O于点D，E，则DE的最大值为________. 6 【解析】如图，连接OD. ∵OD为⊙O的半径（OD长度为定值），OC⊥CD， ∴CD=，DE=2CD. ∴要使DE最大，即CD最大，OC必须最小. ∵C是弦AB上一点， ∴当OC⊥AB时，OC最短，此时D与B（或A）重合，即CD的最大值是AB=×6=3，则DE的最大值为2CD=2×3=6. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 11 9.（原创题　徽风皖韵）“徽杭自古道难行，白际山头有仙境. ”白际公路是通往白际乡的一条盘山公路. 如图，公路的某转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB=60°，点C是的中点，点D是AB的中点，且 CD=5 m，则这段弯路所在圆的半径为____________m. （20+10） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 12 【解析】连接OD，如图. ∵点O是这段弧所在圆的圆心，∴OA=OB. ∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形. ∵D是AB的中点，∴OD⊥AB. 设AB=OB=OA=r m，则AD=DB= r m，∴OD= r m. ∵点C是的中点，∴OC⊥AB，∴C，D，O三点共线， ∴OD+CD=OC，∴r+5=r，解得r=20+10， ∴这段弯路所在圆的半径为（20+10）m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 13 10.（一题多解）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE=3，OA=5，则CD=________. 【解析】解法一：∵OE⊥AC，∴AE=EC.在Rt△AOE中，由勾股定理， 得AE==4，∴CA=2AE=8. ∵∠A=∠A，∠AEO=∠AFC，∴△AEO∽△AFC，∴=，即=， ∴FC=.∵CD⊥AB，∴CD=2FC=. 解法二：由解法一可知，CA=8.在Rt△AOE中，OA=5，OE=3，∴sin A==. 在Rt△ACF中，CA=8，sin A==.∴FC=.∵CD⊥AB，∴CD=2FC=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 14 11. （新趋势　探究性问题）如图，一艘货船想要通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度为16 m，拱顶高出水面4 m，货船宽12 m， 船舱顶部为矩形并高出水面3 m． （1）求此圆弧形拱桥的半径； 解：如图，连接OB.∵OC⊥AB，∴D为AB中点. ∵AB=16 m，∴BD=AB=8 m. 由题意，得CD=4 m，设OB=OC=r m，则OD=（r-4）m． 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2=（r-4）2+82，解得r=10. ∴此圆弧形拱桥的半径为10 m. 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 15 （2）此货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．（参考数据：≈4.36） 解：此货船不能顺利通过这座拱桥.理由如下： 如图，DE=3 m，MN为经过点E的弦，且MN⊥OC，连接ON，则CE=4-3=1（m），∴OE=10-1=9（m）. 在Rt△OEN中，由勾股定理，得EN===（m）， ∴MN=2EN=2 m≈8.72 m，又8.72 m<12 m. ∴此货船不能顺利通过这座拱桥. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 16 【变式训练】 1. 在⊙O中，直径AB=15，弦DE⊥AB，垂足为点C，若OC∶OB=3∶5，则DE的长为 （　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 微专题9　垂径定理与勾股定理的综合运用 C 【方法指导】如图，根据垂径定理与勾股定理可得，r2=d2+，据此公式，知道a，r，d中的任意两个量，即可求出第三个量. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 17 2. 如图，Rt△ABC的直角顶点A在⊙O内，顶点B，C在⊙O上，连接OA，若 ∠OAC=∠ABC，⊙O的半径为4，OA=，则BC的长为________. 2 【解析】如图，取BC的中点D，连接AD，OD，OC，则AD=BD=CD，∴∠BAD=∠ABC.∵∠OAC=∠ABC，∴∠BAD=∠OAC.∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAC+∠DAC=90°，即∠OAD=90°，∴OD 2= OA 2+AD 2=OA 2+CD 2.∵BD=CD，∴OD⊥BC，∴OD2=OC2-CD2，∴OA2+CD2=OC2-CD2， ∴（）2+CD 2=4 2-CD2，解得CD=，∴BC=2CD=2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 18 19 $$