专题8 解直角三角形的模型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦解直角三角形专题，通过中考真题导入，涵盖母子型、牵手型等模型及解题步骤，衔接三角函数定义与勾股定理，以模型分类和针对训练为支架，帮助学生逐步掌握解直角三角形的应用。 其亮点在于结合救援、热气球等现实情境的中考真题，培养数学眼光，通过模型归纳（如母子型构造直角三角形）和步骤拆解（如相似、三角函数应用）发展数学思维与模型意识。采用真题训练+模型总结的教学方法，学生能提升解题与应用能力，教师可借助系统实例优化教学效率。

第23章　解直角三角形 专题8　解直角三角形的模型 1 模型1 背靠型 【针对训练】 1.（陕西中考）如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6，tan C=2，则边AB的长为 （　　） A. 3 B. 3 C. 6 D. 3 C 2 3 4 1 5 6 7 2 2. （辽宁抚顺中考）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100 n mile处. 一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向. 求此时货轮与A港口的距离（结果取整数. 参考数据： sin 50°≈0.766，cos 50°≈0. 643，tan 50°≈1.192，≈1.414） 2 3 4 1 5 6 7 3 解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D. 由题意，得∠BAC=25°+25°=50°，∠BCA=70°-25°=45°. 在Rt△ABD中，AB=100 n mile， ∴AD=AB·cos 50°≈100×0.643=64.3（n mile）， BD=AB·sin 50°≈100×0.766=76.6（n mile）. 在Rt△BDC中，CD==76.6（n mile）， ∴AC=AD+CD=64.3+76.6≈141（n mile）. ∴此时货轮与A港口的距离约为141 n mile. 2 3 4 1 5 6 7 4 模型2 母子型 【针对训练】 3.（重庆中考）如图，湖中小岛上码头C处有一名游客突发疾病，需要紧急救援. 位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援. 计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上. 已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900 m处. 2 3 4 1 5 6 7 5 （1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1 m.参考数据：≈1.732）； 解：如图，延长CB到点D，则CD⊥AD. 根据题意可知，∠NAC=∠CAB=30°， BC=900 m，BC∥AN， ∴∠C=∠NAC=30°=∠CAB，∴AB=BC=900 m. ∵∠BAD=30°，∴AD=AB·cos∠BAD=450 m. ∴AC=2AD=900≈1 559（m）. ∴湖岸A与码头C的距离约为1 559 m. 2 3 4 1 5 6 7 6 （2）救援船的平均速度为150 m/min，快艇的平均速度为400 m/min，在接到通知后，快艇能否在5 min内将该游客送上救援船？请说明理由. （接送游客上下船的时间忽略不计） 解：能.理由如下：设快艇在x min内将该游客送上救援船. ∵救援船的平均速度为150 m/min，快艇的平均速度为400 m/min， ∴150x+（400x-900）=1 559，解得x≈4.5. ∴快艇能在5 min内将该游客送上救援船. 2 3 4 1 5 6 7 7 模型3 拥抱型 【针对训练】 4. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，sin A=，BC=8，D是AB中点， 过点B作直线CD的垂线，垂足为E.则cos∠ABE=________． 【解析】在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sin A==. ∵BC=8，∴AB=10.∵D是AB中点，∴BD=5，CD=AB=5. 在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6. ∵D是AB中点，∴S△BCD=S△ADC=S△ABC，即CD·BE=×AC·BC，∴BE==. 在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE=. 2 3 4 1 5 6 7 8 5. （原创题　科技进步） 1999年人类首次利用热气球环球飞行，现今乘热气球飞行已成为人们喜爱的一种航空体育运动.如图，小慧乘热气球飞行，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为24°. 热气球保持飞行方向不变，继续飞行48 m到达点Q处，此时测得该建筑物底端B的俯角为66°. 已知建筑物AB的高度为36 m，求热气球飞行时距离地面的高度. （参考数据：sin 24°≈0.4，cos 24°≈0.9，tan 24°≈0.45，sin 66°≈0.9， cos 66°≈0.4，tan 66°≈2.25）　 2 3 4 1 5 6 7 9 解：如图，过点A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于点C. 设AC=x m，∵∠APC=24°，∠BQC=66°， ∴在Rt△APC中， PC= =≈x m； 在Rt△BCQ中， QC==≈m. ∵PQ=48 m，∴PC-QC=PQ=48 m， ∴x-=48，解得x=36， ∴BC=AC+AB=36+36=72（m）. ∴热气球飞行时距离地面的高度约为72 m. 2 3 4 1 5 6 7 10 模型4 牵手型 针对训练 6. （四川凉山州中考）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC=3，BD=6，CD=12，则tan α的值为________. 【解析】如图，由题意可得OE⊥CD. 又∵AC⊥CD，∴AC⫽OE，∴∠A=α，同理可得∠B=β. ∵α=β，∴∠A=∠B，∴tan A=tan B. 又∵tan A=，tan B=，∴=，即=，∴OC=4，∴tan A=tan α==. 2 3 4 1 5 6 7 11 7. （安徽中考）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件. 零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC=90°，∠BAD=53°，AB=10 cm，BC=6 cm. 求零件的截面面积.（参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60） 解：∵四边形AEFD是矩形，∴∠E=∠F=90°，AD⫽EF， ∴∠ABE=∠BAD=53°. ∵∠ABC=90°，∴∠CBF=37°，∴∠BCF=53°. 在Rt△ABE中，BE=AB·cos∠ABE=10×cos 53°≈6（cm）， 2 3 4 1 5 6 7 12 AE=AB·sin∠ABE=10×sin 53°≈8（cm）. 在Rt△BCF中，BF=BC·sin∠BCF=6×sin 53°≈4.8（cm）， CF=BC·cos∠BCF=6×cos 53°≈3.6（cm）. ∴EF=BE+BF=10.8 cm. ∴S阴影=S矩形AEFD-S△ABE-S△BCF=AE·EF-AE·BE-BF·CF=53.76 cm2， 即零件的截面面积为53.76 cm2. 2 3 4 1 5 6 7 13 14 $$