23.2 第4课时 坡角、坡度问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦解直角三角形的坡角、坡度应用，涵盖单一坡角计算、多个坡角综合及坐标系夹角问题，通过基础到素养的分层练习，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 其亮点在于以冬奥会滑雪、光伏板安装等真实情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实，通过构造直角三角形推理计算发展数学思维，用坡度比、三角函数模型表达问题提升数学语言能力。助力学生提升应用意识，为教师提供丰富实例与分层教学资源。

23.2　解直角三角形及其应用 第4课时　坡角、坡度问题 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 1.（宣城期末）如图，小明沿斜坡AB上行40 m，其上升的垂直高度BC为20 m，则斜坡AB的坡度为 （　　） A. 30° B. C. D. 知识点1　单一坡角的应用 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 3 2.（陕西宝鸡渭滨期末）2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动.如图，一位同学乘滑雪板沿坡度i=1∶2的斜坡滑行30 m，则他下降的高度为________m. 6 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 4 3.（山东德州中考）如图，某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5 m，则调整后的楼梯会加长 （　　） A. 6 m B. 3 m C. 2 m D. 1 m D 知识点2　多个坡角的应用 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 5 4.（教材P128例6改编）如图，某市高铁路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB. 已知BC的长为6 m，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为________m.（结果保留根号） 6 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 6 【变式】（教材P131T5改编）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜坡AB的坡度i=3∶4. 已知斜坡CD的长度为20 m，∠C=18°，求斜坡AB的长. （结果精确到0.1 m. 参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 7 解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥BC，垂足为F. 由题意，得DE=AF. ∵斜坡AB的坡度i=3∶4，∴=，∴设AF=3x m，则BF=4x m. 在Rt△ABF中，AB==5x m. 在Rt△DEC中，∠C=18°，CD=20 m，∴DE=CD·sin 18°≈20×0.31=6.2（m）， ∴AF=DE=6.2 m，∴3x=6.2，解得x=. ∴AB=5x≈10.3 m，∴斜坡AB的长约为10.3 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 8 5.（黑龙江大庆中考）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB=400 m，BP=200 m，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC. （结果精确到1 m.参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 9 解：如图，过点B作BD⊥PC，垂足为D， 过点B作BE⊥AC，垂足为E. 由题意，得 CD=BE. 在Rt△ABE中，∠A=15°，AB=400 m， ∴BE=AB·sin 15°≈400×0.259=103.6（m）， ∴CD=BE=103.6 m. 在Rt△BDP中，∠PBD=30°，BP=200 m， ∴DP=BP=100 m，∴PC=DP+CD≈204 m. ∴垂直高度PC约为204 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 10 6. 直线y=x-5向上方向与x轴正方向所夹的锐角的度数是 （　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° B 知识点3　平面直角坐标系中直线与x轴的夹角 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 7. 直线y=2x+1的向上方向与x轴正方向所夹锐角为α，则tan α=________. 2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 10 练提升 8. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地. BC⫽AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造. 经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡. 如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时， 才能确保山体不滑坡. （精确到1 m.参考数据：tan 50°≈1.2） 【解析】如图，在BC上取点F，使∠FAE=50°， 过点F作FH⊥AD，垂足为H. ∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD， ∴四边形BEHF为矩形， ∴BF=EH，BE=FH. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 13 ∵斜坡AB的坡比为12∶5，∴=. 设BE=12x m，则AE=5x m. 由勾股定理，得AB==13x=26， ∴x=2，∴AE=10 m，BE=24 m，∴FH=BE=24 m. 在Rt△FAH中，tan∠FAH=， ∴AH=≈20 m，∴BF=EH=AH-AE=10 m， ∴坡顶B沿BC至少向右移10 m时，才能确保山体不滑坡. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 14 9. （四川凉山州中考）如图，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A，B两点间的距离为 16 m，求压折前该输电铁塔的高度. （结果保留根号） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 15 解：如图，由题意可知，BD⫽EF，AB=16 m，∠E=30°，∠BDA=∠BDC=90°， ∴∠E=∠DBA=30°，∴AD=8 m， ∴BD===8（m）. ∵∠CBD=45°，∠CDB=90°， ∴CD=BD·tan 45°=8 m，CB==8 m. ∴AC+CB=AD+CD+CB=（8+8+8）m. ∴压折前该输电铁塔的高度是（8+8+8）m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 16 10. 【新趋势　探究性问题】如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板. 前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为F，E为DF与AB的交点. 已知AD=100 cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°. 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 17 （1）求AE的长（结果取整数）； 解：在Rt△ADF中，cos∠DAF=， ∴AF=AD·cos∠DAF=100×cos 28°≈100×0.88=88（cm）. 在Rt△AEF中，cos∠EAF=， ∴AE==≈≈91（cm）. ∴AE的长约为91 cm. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 18 （2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°，后排光伏板的前端H在AB上. 此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果精确到0.1 cm）？ （参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 解：设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG，如图. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 19 ∴∠AMN=∠MAG+∠DGA=13°+32°=45°. ∴∠MAN=45°，△AMN为等腰直角三角形. ∵∠DAM=∠DAC-∠BAC=28°-13°=15°， ∴∠NAD=∠MAN-∠DAM=45°-15°=30°. 在Rt△NAD中， AN=AD·cos∠NAD=100×cos 30°=50（cm）. 在Rt△AMN中，AM=AN=50≈122.5（cm）， ∴EM=AM-AE=122.5-91=31.5（cm）. 当M，H重合时，EH的值最小，此时EH=EM=31.5 cm. ∴EH的最小值约为31.5 cm. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 20 21 $$