23.2 第1课时 解直角三角形-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

23.2　解直角三角形及其应用 第1课时　解直角三角形 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 1.（合肥长丰期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sin A=，则BC的长为________. 【变式】　在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=3，那么AC= （　　） A. 3sin α B. 3cos α C. D. 9 知识点1　已知一边及一锐角解直角三角形 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 3 2. （宿州泗县期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，cos A=，若AB=10，则BC=________． 4 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 4 3. 如图，△ABC中，∠C=90°，BD=4，∠A=30°，∠BDC=45°，求AD的长. 解：∵∠C=90°，∠BDC=45°， ∴∠CBD=∠BDC=45°，∴BC=DC. ∵sin∠BDC=sin 45°=，BD=4，∴BC=DC=4. 又∵tan A=tan 30°=，∴AC=4， ∴AD=AC-DC=4-4. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 5 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，则∠A= （　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 50° A 知识点2　已知两边解直角三角形 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 6 5. 如图，AD⊥CD，AB=10，BC=5，CD=AD=5，则∠B=_______°， S四边形ABCD=________. 30 　 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 7 6.（教材P125T2改编）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形. （1）∠A=30°，b=； 解：∵∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°. ∵tan A==，b=，∴a=1，∴c=2a=2. （2）c=4，b=2. 解：∵sin B===，∴∠B=45°，∴∠A=90°-∠B=45°，∴a=b=2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 8 B 7.（合肥肥西期末）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=8，AB=4，则BC的长是 （　　） A. 4 B. 4 C. 6 D. 8 知识点3　解非直角三角形 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 9 8. （教材P125例2改编）如图，在△ABC中，∠B=65°，∠C=85°，AB=13，AC=12，则S△ABC=________. 39 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 10 9.（山东济南历下模拟）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=3，求AB，AC的长. 解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D. ∵∠B=45°，CD⊥AB，∴∠BCD=45°，CD=BD. 在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BC=3，∴BD=BC·cos B=3×=3，∴CD=BD=3. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=75°-45°=30°，∴AC===2， AD=CD·tan∠ACD=3×=，∴AB=AD+BD=+3. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 11 10.（新情境　生产生活） 如图是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4 m，AB=8 m，∠MAD=45°， ∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 （　　） A. 4 m B. （2+2）m 　　C. （4-4）m 　　　D. （4-4）m　　　 D 练提升 【解析】在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12 m，∠MBC=30°，∴CM=MB·tan 30°=12×=4（m）.在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，∴MD=AM=4 m，∴CD=CM-DM=（4-4）m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 12 11.（上海松江期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高， cos C=，则△BCD与△ABD的面积比是 （　　） A. 1∶3 B. 2∶7 C. 2∶9　 D. 2∶11 B 【解析】如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E.∵AB=AC，∴BE=EC=BC. 在Rt△AEC中，∵cos C==，∴AC=3EC，∴AC=BC. 在Rt△BCD中，∵cos C==，∴BC=3CD. ∴AC=CD，∴=，∴===，故选B. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 13 12.（易错题）在△ABC中，∠B=30°，AB=8，AC=5，则△ABC的面积为______________. 反思：本题易错点是____________________________________________________. 6+8或8-6 容易忽略∠ACB为钝角的情况而漏解. 【解析】分两种情况讨论. （1）如图1所示，当∠ACB为锐角时，过点A作AD⊥BC，垂足为D. 在Rt△ABD中，∵AB=8，∠B=30°，∴AD=4，BD=4. 在Rt△ACD中，∵AC=5，AD=4，∴CD==3. ∴S△ABC=BC×AD=×（3+4）×4=6+8. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 14 （2）如图2所示，当∠ACB为钝角时，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D. 在Rt△ABD中，∵AB=8，∠B=30°，∴AD=4，BD=4. 在Rt△ACD中，∵AC=5，AD=4，∴CD==3. ∴S△ABC=BC×AD=×（4-3）×4=8-6. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 15 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=5，BD=1，tan B=. （1）求AD的长； 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tan B==， ∴可设AC=3x，则BC=4x. ∵AC2+BC2=AB2，∴（3x）2+（4x）2=52， ∴x=1，∴AC=3，BC=4. ∵BD=1，∴CD=3，∴AD==3. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 （2）求sin α的值. 解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E. 在Rt△BED中，tan B==， ∴可设DE=3y，则BE=4y. ∵DE2+BE2=BD2， ∴（3y）2+（4y）2=12，∴y=，∴DE=， ∴sin α===. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 17 14.（合肥校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=6， BC=4，tan A=，求AD的长. 解：如图，延长AD，与BC的延长线交于点E. 在Rt△ABE中，∵tan A==，AB=6，∴BE=AB·tan A=6×=8， ∴AE==10，EC=BE-BC=8-4=4.　 在Rt△ABE中，∵∠B=90°，∴∠A+∠E=90°， 在Rt△CDE中，∵∠CDE=90°，∴∠DCE+∠E=90°， ∴∠DCE=∠A，∴tan∠DCE=tan A==.∴设DE=4x，则CD=3x. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得42=（4x）2+（3x）2， ∴x=，∴DE=，∴AD=AE-DE=10−=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 18 15. （新趋势　动点探究题）（阜阳颍上期末）如图，已知sin O=，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，求AP的长. 练素养 解：当AP⊥ON时，∠APO=90°，则sin O==. 又OA=6，∴AP=OA=2. 当PA⊥OA时，∠A=90°，则sin O==. 设AP=x，则OP=3x. 由勾股定理，得（x）2+62=（3x）2.∴x=，∴AP=×=3. 综上所述，AP的长为2或3. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 19 20 $$