23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦锐角三角函数核心知识点，围绕30°、45°、60°角的三角函数值计算、已知函数值求角及互余角关系，通过阶梯式练习搭建学习支架，从基础计算（如2sin30°求值）到综合应用（如结合代数与三角的求值题），帮助学生逐步深化理解。 其特色在于分层设计“练基础、练提升、练素养”模块，融合数学眼光（网格图几何直观）、数学思维（符号推理如绝对值与平方非负性求角）、数学语言（符号运算表达）。实例丰富，如菱形中求cos值、网格图推导tan(α+β)，助力学生提升运算与推理能力，教师可直接用于分层教学与效果检测。

第23章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 2　30°，45°，60°角的三角函数值 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1 30°，45°，60°角的三角函数值 1.（蚌埠阶段练习）计算2sin 30°的值为 （　　） A. 1 B. C. 2 D. 2 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cos A的值为 （　　） A. B. C. D. A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 4 3. 计算cos 60°+tan 45°-sin 30°的值为________. 1 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 5 4.（教材P118T2改编）计算： （1）cos 30°sin 45°+sin 30°cos 45°； （2）； 解：原式=×+×=. （3）sin260°+sin 45°cos 45°-cos 30°tan 60°+sin230°. 解：原式=+×-×+=+-+=0. 解：原式==. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 6 5. 已知∠α为锐角，且tan α=1，则∠α的度数是 （　　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 75° B 知识点2　已知特殊角的三角函数值求角 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 7 6.（广西百色期末） 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有｜tan B-｜+=0，则△ABC是 （　　） A. 直角（不等腰）三角形 B. 等边三角形 C. 等腰（不等边）三角形 D. 等腰直角三角形 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 8 7. 已知锐角A满足4sin2A=3，则∠A=________. 60° 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 9 8.（安庆潜山期末）已知α是锐角，且sin α=.求3cos2 α+sin（α-15°）tan（α+15°）-cos（α-15°）的值. 解：∵sin α=，且α是锐角，∴α=45°， ∴3cos2 α+sin（α-15°）tan（α+15°）-cos（α-15°） =3cos2 45°+sin 30°tan 60°-cos 30° =3×+×-×=+-=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 10 9.（山东烟台芝罘期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列等式成立的是 （　　） A. sin A=sin B B. cos A=cos B C. sin A=cos B D. tan A=tan B 知识点3　互余两角的正弦、余弦之间的关系 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 11 10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，则cos B= （　　） A. B. C. D. B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 12 45° 11.（马鞍山期末）若∠A是锐角，且cos A=sin A，则∠A=________. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 13 12.（辽宁营口一模）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB，交BD于点F，且点E是AB中点，则cos∠BFE的值是 （　　） A. B. C. D. D 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC.∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BE=AB=BC，∴cos∠ABC=，∴∠ABC=60°，∴∠EBF=30°，∴∠BFE=60°，∴cos∠BFE=.故选D. 练提升 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 14 13. 如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上， 则tan（α+β）________tan α+tan β. （填“>”“=”或“<”） > 【解析】由正方形网格图可知，tan α=，tan β=，则tan α +tan β=+=.由勾股定理，得AC=BC=，AB=，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴α+β=45°，∴tan（α+β）=1，∴tan（α+β）>tan α+tan β. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 15 14. 小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等.于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长.请你运用所学的数学知识解决这个问题. 解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，∴AB=2BC=4， ∴AC===2，∴EF=AC=2. ∵∠E=45°，∴FC=EF·sin E=2×=，∴AF=AC-FC=2-. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 16 15.（教材P123T6改编）如图，根据tan 30°=构造△ABC，使∠A=30°，AB=2，BC=1，AC=，再延长CA到点D，使AD=AB，连接BD，则tan 15°==2-.根据tan 45°=1，模仿前面的方法求出tan 22.5°的值. 解：如图，作等腰Rt△ABC，使∠C=90°，∠BAC=45°，AC=BC=1，∴AB=. 延长CA至点D，使AD=AB，连接BD.则∠D=22.5°，CD=1+. 在Rt△BCD中，tan D=tan 22.5°===-1. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. （新趋势　过程性学习） 探究对于任意的锐角A，是否都有sin2A+cos2A=1呢？ （1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，可得sin A=，cos A=.证明：sin2A+cos2A=1. 解：证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2. 又∵sin A=，cos A=， ∴sin2A+cos2A===1. 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 18 （2）若已知sin A=，利用（1）的结论求cos A的值. 解：∵sin2A+cos2A=1，sin A=，∴cos2A=1-=. ∵A为锐角，∴cos A>0，∴cos A=. （3）用以上探究的方法，你能得出sin A，cos A，tan A三者之间的关系吗？ 解：∵sin A=，cos A=，tan A=， ∴cos A·tan A=·==sin A，即sin A=cos A·tan A. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 19 20 $$