23.1.1 第1课时正切-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦“锐角的正切函数”核心知识点，从直角三角形边长比入手，衔接勾股定理，通过教材改编题、网格图题等基础练习搭建学习支架，逐步过渡到坡角坡度等实际情境问题，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层设计（基础巩固、提升拓展、素养深化），提升题含易错点分析（如点D位置分类）培养推理意识，素养题引入新概念辨析发展创新意识。实际应用题（水库大坝、传送带）让学生用数学眼光观察现实，规范解题过程强化数学语言表达。学生能分层进阶，教师可直接利用解析和反思优化教学。

第23章　解直角三角形 23.1　锐角的三角函数 1　锐角的三角函数 第1课时　正　切 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 1.（教材P114例1改编）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为 （　　） A. 3 B. C. D. A 知识点1　正切 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 3 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大2倍，则tan B的值 （　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 4 3. 已如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tan α=，则满足条件的∠α是 （　　） A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 5 4.（安庆期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B =________. 2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 6 5.（教材P114T2改编）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，tan A=，则AC=________. 24 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 7 6. 如图，在△ABC中，AC=5，AB=8，AD⊥BC，CD=3，求tan B，tan C的值. 解：∵AD⊥BC，∴在Rt△ADC中，AD===4，在Rt△ADB中，BD===4. ∴在Rt△ADB中，tan B===； 在Rt△ADC中，tan C==. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 8 A 7.（广西桂林一模）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，若坡比i=1∶2.5，则此斜坡的水平距离AC为 （　　） A. 75 m B. 50 m C. 45 m D. 30 m 知识点2　坡角和坡度 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 9 8. 一水库大坝的横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC，AD，且迎水坡AB的坡度为1∶1.5，背水坡CD的坡度为1∶2，则迎水坡AB的坡角________背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”） 大于 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 10 9.（宿州萧县阶段练习）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=1∶3，如果把某物体从地面送到离地面10 m高的地方，那么该物体所经过的路程是________m. 10 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 11 10.（教材P114T3改编）小红沿着坡度i为1∶的斜面向上走了48 m，则小红沿垂直方向升高了多少米？ 解：设小红沿垂直方向升高了x m， ∵坡度i为1∶，∴小红行走的水平距离为x m. 由勾股定理，得 x2+（x）2=482，解得x=24. ∴小红沿垂直方向升高了24 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 12 11.下列选项中斜坡最陡的是 （　　） A. 斜坡AB的坡度为 B. 斜坡CD的倾斜角是45° C. 斜坡EF的坡比为1∶3 D. 斜坡GH的坡角为α，tan α= 【解析】∵斜坡CD的倾斜角是45°，∴斜坡CD的坡比为1∶1，又1>>>， ∴斜坡CD最陡.故选B. 练提升 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 13 12.（合肥庐阳期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO=，则菱形ABCD的周长为 （　　） A. 6 B. 6 C. 8 D. 12 【解析】∵点A的坐标为（0，3），∴AO=3. ∵tan∠ABO=，∴=，∴=，∴BO=.∵△AOB是直角三角形，∴AB====2.∵菱形的四条边相等，∴菱形ABCD的周长为2×4=8.故选C. C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 14 13. 等腰三角形的腰长为10 cm，底边长为16 cm，则这个等腰三角形底角的正切值是________. 【解析】如图，AB=AC=10 cm，BC=16 cm. 过A点作AD⊥BC，垂足为D，则BD=BC=8 cm. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD===6（cm）， 所以tan B===. 　 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 15 14.（易错题）等边三角形ABC中，点D在射线CA上，且AB=2AD，则tan∠DBC的值为__________. 反思：本题易错点是____________________________________________________ _________. 或3 　　　　　　　　　点D的位置有两种情况，易忽略点D在CA的延长线上时的情况而出错 【解析】如图1，当点D在线段AC上时. 在等边三角形ABC中， AB=AC=BC.∵AB=2AD，∴AD=CD，∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°. 在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD==CD，∴tan∠DBC==. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 16 如图2，当点D在CA的延长线上时，过点D作DE⊥BC，垂足为E. 在等边三角形ABC中，AB=AC=BC，∠C=60°. ∵AB=2AD，∴设AD=x，则AB=AC=BC=2x，DC=3x. ∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=30°， ∴EC=DC=x，DE=x，BE=x， ∴tan∠DBC==3. 故答案为或3. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 17 15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=，且△ABC的周长为30，求△ABC的面积. 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=， 可设BC=5x，则AC=12x. 由勾股定理，得AB==13x. ∵△ABC的周长为30，∴5x+12x+13x=30，解得x=1. ∴BC=5，AC=12，∴S△ABC=BC·AC=×5×12=30. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 18 16.（湖南郴州中考）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20 m，背水坡BC的坡度i1=1∶1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1∶，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1 m） 解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度i1=1∶1， ∴=1，∴BD=CD=20 m. 在Rt△ACD中，∵AC的坡度i2=1∶，∴=，∴AD=CD=20 m. ∴AB=AD-BD=20-20≈14.6（m）. ∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 19 17.【新定义　新概念问题】 如图，在Rt△ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α==.根据上述角的余切的定义，解答下列问题： （1）cot 30°=________； 解：∵在Rt△ABC中，α=30°，∴BC=AB， ∴AC==AB，∴cot 30°==. 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 20 （2）已知tan A=，试求cot A的值. 解：∵tan A=， ∴设BC=3x，则AC=4x， ∴cot A===. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 1 7 9 10 11 8 12 13 14 15 16 17 21 22 $$