22.2 第5课时直角三角形相似的判定方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦直角三角形相似的判定方法，涵盖斜边和一条直角边对应成比例的判定及综合应用，通过复习一般三角形相似判定导入，搭建从一般到特殊的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层设计“练基础-练提升-练素养”，融入新定义“相似线”、动点探究等问题，以数学思维引导分类讨论，用数学语言规范推理表达，如通过BP长度多解培养推理意识，助力学生提升探究能力，教师可借助专题总结高效教学。

22.2　相似三角形的判定 第5课时　直角三角形相似的判定方法　 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 1.（教材P84T3改编）已知两直角三角形的斜边和一条直角边分别为4，1和12，3，则这两个直角三角形 （　　） A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 以上都不对 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 3 2.（陕西宝鸡金台期末）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，要使Rt△ABC和Rt△DEF相似，只要 （　　） A. = B. = C. AB·DE=BC·EF D. = B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 3.（教材P83例4改编）如图，∠ACB=∠ADC=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，则只要CD等于（　　） A. B. C. D. A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，已知CD=1，AD=，AB=2.求证：Rt△ADC∽Rt△BAC. 证明：∵∠C=90°，CD=1，AD=， ∴CA===2.∵=，==，∴=. 又∵∠ACD=∠BCA=90°，∴Rt△ADC∽Rt△BAC. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 5.（六安校级阶段练习）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中相似三角形共有 （　　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 知识点2　判定直角三角形相似的方法综合 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 6.（新趋势　多模块综合）如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），C（1，0），在y轴的正半轴上找到点D，使△AOB与△DOC相似，则点D的坐标是________________. 或（0，2） 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 7.（教材P107T9改编）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上一点，下列条件不能推出△ABP与△ECP相似的是 （　　） A. ∠APB=∠EPC B. ∠APE=90° C. P是BC的中点 D. BP∶BC=2∶3 练提升 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 【解析】∵∠APB=∠EPC，∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△EPC，故A不合题意；∵∠APE=90°，∴∠APB+∠CPE=90°，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠BAP=∠CPE，又∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，故B不合题意；∵E是CD的中点，∴CE∶CD=1∶2，即CE∶AB=1∶2，∵P是BC的中点，∴BP=PC=BC，∴△ABP与△ECP的各边不对应成比例，不能推出相似，故C符合题意；∵BP∶BC=2∶3，∴BP∶CP=2∶1，∵E是CD的中点，∴BA∶CE=CD∶CE=2∶1，∴BP∶CP=BA∶CE，又∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△ECP.故D不合题意.故选C. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 8.（新定义　新概念问题）已知P是△ABC一边上的一点（P不与A，B，C重合），过点P的一条直线截△ABC，若截得的三角形与△ABC相似，则称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P为AC的中点，过点P的△ABC的“相似线”最多有_____条. 3 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 【解析】如图所示.①过点P作PD⫽BC，此时△APD∽△ACB；②过点P作PE⫽AB，此时△CPE∽△CAB；③过点P作PF⊥AB，此时△APF∽△ABC；④连接PB，∵PB>PC，PC=PA，∴PB>PA，∴∠PBA<∠A=30°，∵∠CPB=∠A+∠PBA，∴∠CPB<60°，∴线段BC上不存在点G，使得∠CPG=60°，即△CPG∽△CBA的这种情形不存在.∴过点P的△ABC的“相似线”最多有3条. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 9. 如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，连接AC，CE，DE，AC与DE交于点F.已知∠ADC=∠ACB=90°，且AC2=AB·AD. （1）求证：AC平分∠BAD； 解：（1）证明：∵AC2=AB·AD，∴=. 又∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB， ∴∠DAC=∠CAB，∴AC平分∠BAD. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 （2）若AC=，AB=2，求的值. ∵AC2=AB·AD，AC=，AB=2，∴AD===.∵∠ACB=90°，E为AB的中点，∴EA=EC=EB=AB=×2=1， ∴∠EAC=∠ECA.又∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA.∵∠AFD=∠CFE，∴△AFD∽△CFE.∴===. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 10.（新趋势　探究性问题）如图，P点在BD上，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D. （1）若AB=4，BP=3，PC=10，CD=6，求证：AP⊥PC； 练素养 解：（1）证明：∵CD⊥BD，PC=10，CD=6， ∴PD==8，∴==.又∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠PDC=90°，∴△ABP∽△PDC，∴∠A=∠DPC. ∵∠A+∠APB=90°，∴∠DPC+∠APB=90°，∴∠APC=90°，∴AP⊥PC. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 （2）若AB=6，CD=4，BD=14，点P在BD上移动，当△PCD与△ABP相似时，求BP的长. 当=时，∵∠ABP=∠PDC=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，解得BP=8.4； 当=时，∵∠ABP=∠PDC=90°，∴△ABP∽△PDC，∴=，解得BP=2或12. 综上所述，BP的长为8.4或2或12. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 微专题5　直角三角形相似中的分类讨论 类型1 　三角形的形状不确定 1.（马鞍山校级期中）在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD·DC，则∠BCA的度数为_____________. 65°或115° 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 【解析】分两种情况讨论：①如图1，当∠ACB为锐角时，∵AD2=BD·DC，∴=.∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴△BDA∽△ADC，∴∠B=∠CAD=25°， ∴∠BCA=90°-∠CAD=65°. ②如图2，当∠ACB为钝角时，同理可证△BDA∽△ADC， ∴∠B=∠CAD=25°，∴∠BCA=90°+∠CAD=90°+25°=115°. 综上所述，∠BCA的度数为65°或115°. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 类型2　直角边的对应关系不确定 2.（新趋势　动点探究题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），若以D，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC=___________. 6或 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，∴AB=15.∵D是AB边的中点，∴CD=BD=AB=7.5.∵以D，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，∴∠DPC=90°或∠CDP=90°. ①如图1，若∠DPC=90°，则DP⫽AC，∴△DPC∽△ACB， ∴==，∴PC=BC=6. ②如图2，若∠CDP=90°，则△CDP∽△BCA，∴=，即=， ∴PC=.综上所述，PC=6或. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 3.（合肥肥东期末）如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在边CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似？请说明理由. 解：当DM=或时，△ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，边长为2，BE=CE， ∴∠ABE=∠MDN=90°，∴BE=1，∴AE==. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 ①当=时，△ABE∽△NDM，则= ，解得DM=. ②当=时，△ABE∽△MDN，则= ，解得DM=. 综上所述，DM = 或. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 微专题 23 $$