专题1 二次函数的最值问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦二次函数的最值问题，涵盖常规最值、给定范围最值及与线段、面积、周长、图象变换相关的最值类型，通过从基础配方、判别式求最值过渡到结合几何、动点、新定义的综合问题，搭建分层学习支架帮助学生深化理解。 其亮点在于结合中考题、新定义（如“和谐值”）、动点探究等实例，以数学眼光抽象问题本质，用数学思维推理最值逻辑，通过函数表达式与几何模型体现数学语言。例如“和谐值”问题引导学生从函数图象抽象距离关系，培养抽象能力与模型意识，助力学生提升综合解题能力，也为教师提供分层教学资源。

第21章　二次函数与反比例函数专题１　二次函数的最值问题 1 类型1　常规最值问题 1. （山东泰安中考）二次函数y=-x2-3x+4的最大值是________. 2. 已知二次函数y=mx2+（m-1）x+m-1有最小值0，则m的值是________. 1 【解析】y=-x2-3x+4=-（x+）2+.∵a=-1<0，∴当x=-时，y取得最大值，最大值为. 【解析】∵y=mx2+（m-1）x+m-1有最小值0， ∴=0且m>0，解得m1=1，m2=-（舍去）.∴m的值为1. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 2 3. 已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： 则这个二次函数的最小值为________. -9 【解析】由表格可知，（-2，0），（4，0）是二次函数图象与x轴的交点，∴设二次函数的表达式为y=a（x+2）（x-4）（a≠0）.把（0，-8）代入，得-8=a（0+2）（0-4），解得a=1，∴二次函数的表达式为y=（x+2）（x-4），即y=x2-2x-8.∵y=x2-2x-8=（x-1）2-9，∴可知当x=1时，这个二次函数有最小值为-9. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 3 4. 如图是二次函数y=（x+1）2-4的部分图象，当-2≤x≤2时，函数y的最小值和最大值分别为 （　　） A. -3和5 B. -4和5 C. -4和-3 D. -1和5 类型2　给定范围内的最值问题 【解析】由y=（x+1）2-4，得二次函数图象的对称轴是直线x=-1. ∵a=1>0，∴当x>-1时，y随x的增大而增大，当x<-1时，y随x的增大而减小.由题图可知，在-2≤x≤2内，当x=2时，y有最大值，此时y=（2+1）2-4=5，当x=-1时，y有最小值，是-4. 故选B. B 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 4 5. （浙江绍兴中考）已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）. （1）求b，c的值； （2）当-4≤x≤0时，求y的最大值； 解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c， 得c=-3，-36-6b+c=-3，∴b=-6，c=-3. （2）由（1）知y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6. ∵-4≤x≤0，∴当x=-3时，y有最大值为6. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 5 （3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值. 解：①若-3<m≤0， 当x=0时，y有最小值为-3， 当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3， ∴-m2-6m-3+（-3）=2，∴m=-2或m=-4（舍去）. ②若m≤-3， 当x=-3时，y有最大值为6. ∵y的最大值与最小值之和为2，∴y的最小值为-4，∴-（m+3）2+6=-4， ∴m=-3-或m=-3+（舍去）. 综上，m=-2或-3-. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 6 6. 【新定义·新概念问题】（1）当x=2时，函数y1=x2-2x+3与y2=x-2的图象在竖直方向上的距离为________； 类型3　与线段有关的最值问题 3 【解析】（1）当x=2时，y1=3，y2=0，∴函数y1=x2-2x+3与y1=x-2的图象在竖直方向上的距离为y1-y2=3. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 7 （2）定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”.函数y1=x2-2x+3与y2=x-2的“和谐值”为________. 【解析】如图，在抛物线y1=x2-2x+3上取一点P，作PQ⫽y轴交直线y2=x-2于点Q.设P（t，t2-2t+3），则Q（t，t-2），∴PQ=t2-2t+3-（t-2）=t2-3t+5=（t-）2+，∴当t=时，PQ有最小值，最小值为，∴抛物线y1=x2-2x+3与直线y2=x-2的“和谐值”为. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 8 7. 【新趋势·动点探究题】 如图，抛物线y1=x2+6x+10与y2=-x2+4x-6的顶点分别为A，B，点M（m，0）是x轴上的一个动点，则当MA+MB的值最小时，m的值是________. - 【解析】∵y1=x2+6x+10=（x+3）2+1，∴点A的坐标为（-3，1）.∵y2= -x2+4x-6=-（x-2）2-2，∴点B的坐标为（2，-2）.连接AB（图略），则AB与x轴的交点即为点M，此时MA+MB的值最小.设直线AB的表达式为y=kx+b，将（-3，1），（2，-2）代入y=kx+b，得解得∴y=-x-.令y=0，则0=-x-，解得x=-，∴点M的坐标为（-,0），∴m=-. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 9 8. 如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c过点A，且与x轴交于B，C两点，B点坐标为（1，0）. 在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出此时点M的坐标. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 10 解：∵直线y=x+1与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，1）. 将A（0，1），B（1，0）代入y=x2+bx+c，得解得 ∴抛物线对应的函数解析式为y=x2-x+1=（x-）2-. ∴抛物线的对称轴为直线x=.∵B，C两点关于直线x=对称，∴MC=MB， ∴|AM-MC | = | AM-MB |. 要使| AM-MC |的值最大，即是使| AM-MB |的值最大. 由三角形两边之差小于第三边，可得当A，B，M在同一条直线上时， | AM-MB |的值最大. 易知直线AB的解析式为y=-x+1，当x=时，y=-，∴点M的坐标是（ ,-）. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 11 9. （浙江绍兴校级期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=-x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为________. 类型4　与面积有关的最值问题 15 【解析】∵C的坐标为（4，3），∴OC==5. ∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC⫽x轴，∴点D距直线BC越远，S△BCD越大.又∵D是抛物线y=-x2+6x=-（x-3）2+9上一点，且在x轴上方，∴当点D与抛物线顶点（3，9）重合时，S△BCD有最大值，最大值为×5×（9-3）=15. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 12 10. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且经过点（2,-）. （1）求此二次函数的解析式； 解：（1）由已知条件得解得 ∴此二次函数的解析式为y=x2-x-. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 13 （2）设该图象与x轴交于B，C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积. 解：令y=x2-x-=0，解得x1=-1，x2=3， ∴B（-1，0），C（3，0），∴BC=4. ∵点E在x轴下方，且△EBC的面积最大， ∴点E是抛物线的顶点，其坐标为（1，-3）， ∴△EBC的最大面积为×4×3=6. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 14 11. （山东滨州无棣期中）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等. 如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是 （　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 类型5　与周长有关的最值问题 C 【解析】如图，过点M作ME⊥x轴，垂足为E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF的周长最小.∵F（0，2），M（，3），∴ME=3， FM==2，∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 15 12. （山东东营中考改编）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上. 设B（t，0），当t=2时，BC=4. （1）求抛物线对应的函数表达式； 解：（1）设抛物线对应的函数表达式为y=ax（x-10）. ∵当t=2时，BC=4，∴点C的坐标为（2，4）. 将（2，4）代入表达式，得2a（2-10）=4，解得a=-. ∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+x. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 16 （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ 解：由抛物线的对称性，得AE=OB=t，∴AB=10-2t，且0<t<5. 当x=t时，点C的纵坐标为-t2+t，∴BC=-t2+t. ∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2[ (10-2t)+（-t2+t）] =-t2+t+20=-（t-1）2+（0<t<5）. ∵-<0， ∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 17 13. 如图，点A，B的坐标分别为（2，-5）和（5，-5），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上移动，抛物线随顶点左右平移，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为-3，则点D横坐标的最大值为________. 类型6　与函数图象变换有关的最值问题 10 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 18 【解析】当抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB的点A处时，点C的横坐标最小，此时抛物线为y=a（x-2）2-5，把C（-3，0）代入，得0=a（-3-2）2-5，解得a=. ∵抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，∴抛物线的开口方向和开口大小不变，∴a=恒成立.当抛物线的顶点运动到点B处时，点D的横坐标最大.把a=和顶点B（5，-5）代入y=a（x-m）2+n，得y=（x-5）2-5，当y=0时，0=（x-5）2-5，解得x=10或x=0（舍去）.∴点D的横坐标的最大值为10. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 19 14. （广东广州越秀阶段练习）已知关于x的二次函数y=x2+bx+c（实数b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为直线x=1,则该二次函数的表达式为________________； y=x2-2x+4 【解析】（1）将（0，4）代入y=x2+bx+c，得c=4.∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，∴−=1，解得b=-2，∴该二次函数的表达式为y=x2−2x+4. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 20 （2）若b=-（k+1），c=2k+3，该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，该抛物线的顶点坐标为________. （2，5） 【解析】∵b=-（k+1），c=2k+3， ∴y=x2−（k+1）x+2k+3 =（x-）2−（）2+2k+3 = （x-） 2 −k2+k+， ∴抛物线的顶点坐标为（ ,-k2+k+）. ∵-k2+k+=-（k-3）2+5， ∴当k=3时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为（2，5）. 类型2 类型4 类型1 类型3 类型5 类型6 21 22 $$