21.4 第2课时利用二次函数解决建筑模型问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

21.4　二次函数的应用 第2课时　利用二次函数解决抛物线形建筑问题 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　二次函数在桥梁问题中的应用 1. （原创题　徽风皖韵）龙川景区的上官桥的桥体流畅通透，整体呈现出徽派新韵的建筑风格. 上官桥的主桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其对应的函数关系式为y=-x2，当水面离拱顶的高度DO是8 m时，水面的宽度AB为 （　　） A. -24 m B. 12 m C. 24 m D. -12 m C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 3 2. （教材P42T5改编）某抛物线形拱桥位于水面上方部分的拱高为18 m，跨度AB为108 m.如图是该拱桥在水中的倒影，根据给出的坐标系，解答下列问题: （1）求出倒影所在抛物线对应的函数解析式. 解：（1）由题意可知，倒影所在抛物线的顶点坐标为（0，-18）. ∵AB=108 m，根据抛物线的对称性，∴点B的坐标为（54，0）. 设所求抛物线对应的函数解析式为y=ax2-18， 将（54，0）代入，得0=a×542-18，解得a=. ∴倒影所在抛物线对应的函数解析式为y=x2-18. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 4 （2）拱桥上距离y轴36 m处的位置离水面的高度是多少？ 当x=36时，y=×362-18=-10，∴拱桥上距离y轴36 m处的位置离水面的高度是10 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 5 3. （教材P38T1改编）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=−x2+2x+6表示. 在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8 m，那么两排灯的水平距离是________ m. 知识点2　二次函数在隧道问题中的应用 4 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 6 4. （山东泰安岱岳期中）如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y= -x2+8，施工队计划在隧道正中间搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE∶EF=3∶2，则脚手架的高DE为________m. 6 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 7 5. （原创题　徽风皖韵） 长丰草莓是安徽省的特色水果，长丰县是全国最大的草莓生产基地之一，拥有“中国草莓之都”的美誉. 某草莓种植大棚的截面可近似看成抛物线形，建立如图所示的坐标系，测得AB=6 m，最高点D到地面AB的距离为2.5 m，点D到墙BC的距离为1 m. 求墙BC的高度. 知识点3　二次函数在其他建筑问题中的应用 解：由点D到地面AB的距离为2.5 m，到墙BC的距离为1 m，得点D的坐标为（-1，2.5）. 又∵点D是抛物线的最高点，∴可设抛物线对应的函数表达式为y=a（x+1）2+2.5. ∵AB=6 m，∴点A的坐标为（-6，0）. 把（-6，0）代入y=a（x+1）2+2.5，得0=a（-6+1）2+2.5，解得a=-0.1， ∴y=-0.1（x+1）2+2.5. 当x=0时，y=-0.1+2.5=2.4，即墙BC的高度为2.4 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 8 6. （淮北阶段练习）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在l时，水面宽4 m，拱顶（拱桥洞的最高点）距水面2 m. 则当水面宽为3 m时，水位上升了 （　　） A. 0.675 m B. 0.875 m C. 0.975 m D. 1.125 m 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+c，由题意，得c=2，点A（2，0），将c=2与A（2，0）代入y=ax2+c，得0=4a+2，解得a=-0.5，故抛物线对应的函数表达式为y= -0.5x2+2，当水面宽为3 m时，即x=1.5，则y=-0.5×1.52+2=0.875（m）.故选B. 练提升 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 9 7. （原创题　徽风皖韵） G530国道沿途绿水青山，徽州古村落串联其中，被誉为安徽最美乡野自驾线. 如图是公路上一个横截面为抛物线形的隧道底部宽约12 m，高约6 m，车辆双向通行. 若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于1 m的空隙，则通过隧道车辆的高度应不超过________m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意，得A（-6，0），B（6，0），C（0，6），设抛物线对应的函数解析式为y=ax2+6，把B（6，0）代入y=ax2+6，得36a+6=0，解得a=-，∴抛物线对应的函数解析式为y=-x2+6.当x=4时，y= -×42+6=，-1=.∴通过隧道车辆的高度应不超过 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 8. （教材P38T2改编）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m（如图所示），请计算所需不锈钢立柱的总长度. 解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意，得B（0，0.5），C（1，0）. 设抛物线对应的函数解析式为y=ax2+c， 由题意，得解得∴y=-0.5x2+0.5. 当x=0.2时，y=0.48； 当x=0.6时，y=0.32. ∴B2（0.2，0.48），B1（0.6，0.32）. ∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6（m） ∴所需不锈钢立柱的总长度为1.6×100=160（m）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 12 9. （新趋势　探究性问题） 如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2-x+3的绳子. 解答下列问题： （1）两根等长立柱AB，CD的高度是________m，绳子最低点离地面的距离是_____m； 3 练素养 提示：∵抛物线y=x2-x+3与y轴交于点A，∴A（0，3）.∵AB=CD，∴AB=CD=3 m. ∵a=>0，∴抛物线的顶点为最低点. ∵y=x2-x+3=（x-4）2+， ∴绳子最低点离地面的距离为 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 13 （2）因实际需要，在距离AB为3 m的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点到MN的距离为1 m，到地面的距离为2 m，求MN的长； ∵BN=3 m，且抛物线F1的最低点到MN的距离为1 m，到地面的距离为2 m. ∴抛物线F1的顶点坐标为（2，2）. 设F1对应的函数解析式为y=a（x-2）2+2. 将A（0，3）代入，得4a+2=3，解得a=. ∴抛物线F1为y=（x-2）2+2. 当x=3时，y=×1+2=，∴MN的长度为 m. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 14 （3）将立柱MN的长度提升为3 m，通过调整MN的位置，使右边抛物线F2对应的函数解析式的二次项系数始终为，设MN与AB之间的距离为p m，抛物线F2的顶点到地面的距离为k m，当2≤k≤时，求p的取值范围. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 15 ∵MN=CD=3 m， ∴根据抛物线的对称性可知，抛物线F2的顶点在线段ND的垂直平分线上. 由抛物线y=x2-x+3，令y=3，解得x=0或x=8. ∴D（8，0），C（8，3）. ∵N（p，0），且F2的顶点到地面的距离为k m. ∴抛物线F2的顶点坐标为（p+4,k）， ∴抛物线F2对应的函数解析式为y=（x-p-4）2+k. 把C（8，3）代入，得（8-p-4）2+k=3， 解得k=-（p-8）2+3， ∴k是关于p的二次函数. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 16 又∵p<8， ∴k随p的增大而增大. ∵2≤k≤，∴当k=2时，-（p-8）2+3=2， 解得p1=4，p2=12（不符合题意，舍去）. 当k=时，-（p-8）2+3=， 解得p1=8-2，p2=8+2（不符合题意，舍去）. ∴p的取值范围是4≤p≤8-2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 17 18 $$