21.3 二次函数与一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦“二次函数与一元二次方程”核心内容，涵盖两者关系、近似解及不等式应用，通过图像题等例题衔接二次函数图像知识，搭建从图像到方程解的学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点是分层设计（练基础、提升、素养），结合易错点反思（如忽略函数类型）和新定义问题（整点问题），培养抽象能力与创新意识。微专题用判别式判断直线与抛物线交点，发展模型观念，助力学生分层提升，便于教师教学使用。

21.3　二次函数与一元二次方程 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　二次函数与一元二次方程的关系 1. （芜湖无为阶段练习）小明画了二次函数y=2x2+bx+c的图象（如图），则关于x的方程2x2+bx+c=0的解为 （　　） A. x1=-3，x2=1 B. x=1 C. x=-6 D. x=-8 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 3 2. （山东潍坊中考）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为 （　　） A. - B. C. -4 D. 4 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 4 3. （易错题）已知函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为________. 反思：本题易错点是__________________________________________________. k≤4 考虑问题不周全，易忽略函数为一次函数的情况而出错 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 5 4. （教材P31例题改编）下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值，根据表中数据，判断方程x2+3x-5=0的一个近似解是 （　　） A. 1 B. 1.1 C. 1.2 D. 1.3 C 知识点2　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 6 5. （合肥阶段练习）如图，点A（2.18，-0.51），B（2.68，0.54）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c=0的一个近似解可能是 （　　） A. 2.18 B. 2.68 C. -0.51 D. 2.45 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 7 6. （教材P35T9改编）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，根据图象解答： （1）方程ax2+bx+c=0的两个根为_____________； （2）不等式ax2+bx+c<0的解集为__________； （3）若不论x取什么值，不等式ax2+bx+c-k<0都成立，则k的取值范围是__________. x1=1，x2=3 知识点3　利用二次函数的图象解一元二次不等式 x<1或x>3 k>2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 8 7. 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，由图象可知，不等式ax2+ bx+c<0的解集是____________. x<-1或x>5 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 9 8. （教材P35T7改编）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，下列结论：①abc>0；②b2-4ac>0；③方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-2，x2=3；④不等式ax2+bx+c>0的解集是x>-2.其中正确的是 （　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 练提升 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 10 【解析】∵抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，∴a<0，c>0，∵-=，∴b=-a>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），且抛物线的对称轴为直线x=， ∴点（-2，0）关于直线x=的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-2，x2=3，故③正确；由题图可知，当-2<x<3时，y>0，∴不等式ax2+bx+c>0的解集是-2<x<3，故④错误；∴正确的是②③.故选B. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 11 9. （六安舒城二模）已知直线y1=kx-4k经过抛物线y2=ax2-4ax（a≠0）的顶点，且当x<2时，y1>y2. （1）直线y1与抛物线y2都经过同一个定点，这个定点的坐标是________. （2）当y2>y1时，x的取值范围是________. （4，0） 【解析】（1）∵y1=kx-4k=k（x-4），∴直线y1=kx-4k经过点（4，0）.∵y2=ax2-4ax=ax（x-4），∴抛物线y2=ax2-4ax（a≠0）经过点（4，0）和（0，0），∴y2与y1都经过同一个定点（4，0）. 2<x<4 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 12 （2）∵y2=ax2-4ax=a（x-2）2-4a，∴抛物线的顶点为（2，-4a）.∵直线y1=kx-4k经过抛物线y2=ax2-4ax（a≠0）的顶点，∴直线y1与抛物线y2的交点为（2，-4a），（4，0）.∵当x<2时，y1>y2，∴a<0，k<0.画出大致图象（如图），∴当y2>y1时，x的取值范围是2<x<4. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 13 10. （合肥庐阳期中）已知二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2m-3，其中m为实数. （1）求证：不论m为何值时，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； 解：（1）证明：∵Δ=b2-4ac=［-2（m-1）］2-4（m2-2m-3）=4m2-8m+4-4m2+8m+12=16>0， ∴不论m为何值时，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 14 （2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴的负半轴交于点C，且x2-x1=4，S△ABC=6，求这个二次函数的解析式. 解：令x=0，得y=m2-2m-3. ∴点C的坐标为C（0，m2-2m-3）. ∵点C在y轴的负半轴上，∴OC=-（m2-2m-3）. 又∵A（x1，0），B（x2，0），∴AB=x2-x1=4. ∴S△ABC=AB·OC=×4×［-（m2-2m-3）］=6，∴m2-2m-3=-3，解得m=0或m=2. 把m=0或m=2分别代入y=x2-2（m-1）x+m²-2m-3， 得二次函数的解析式为y=x2+2x-3或y=x2-2x-3. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 15 11. 【新定义·新概念问题】在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点. 设函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（实数a为常数）的图象为图象T. （1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点. 练素养 解：（1）证明：当4a+2=0，即a=-时，函数表达式为y=12x+6. 令y=0，得x=-，此时图象T与x轴有交点. 当4a+2≠0，即a≠-时，y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4为二次函数， ∵Δ=（9-6a）2-4（4a+2）（-4a+4）=100a2-140a+49=（10a-7）2≥0， ∴此时图象T与x轴有交点. 综上，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 16 （2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由. 解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点.理由如下： 由（1）知，当a=-时，图象T与x轴的公共点坐标为（-,0），不符合题意. 当a≠-时，在y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4中，令y=0，得0=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4. 解得x=-或x=. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 17 ∵x==2-， ∴当|2a+1 |是6的因数时，是整数， ∴2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1=6， 解得a=-或a=-2或a=-或a=-1或a=0或a=或a=1或a=. ∵a是整数，∴a=-2或a=-1或a=0或a=1. 综上，存在整数a=-2或a=-1或a=0或a=1，使图象T与x轴的公共点中有整点. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 18 微专题3　直线与抛物线的交点问题 【方法指导】直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=kx+m的根，直线与抛物线的交点个数由这个一元二次方程的根的个数决定.若该方程中Δ<0，则直线与抛物线没有交点；若该方程中Δ=0，则直线与抛物线有一个交点；若该方程中Δ>0，则直线与抛物线有两个交点. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 19 【针对训练】 1. 抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-x+2的交点的个数为 （　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 【解析】令2x2-5x+3=-x+2，即2x2-4x+1=0，∵Δ=（-4）2-4×2×1=16-8=8>0，∴抛物线y=2x2-5x+3与直线y=-x+2的交点的个数为2.故选C. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 20 2. 已知直线y=kx-2和抛物线y=x2-2x+3. （1）当k=4时，求直线与抛物线的交点坐标； 解：（1）根据题意，联立方程，得 解得或 所以直线与抛物线的交点坐标是（1，2），（5，18）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 21 （2）当k为何值时，直线与抛物线只有一个交点？ 解：令kx-2=x2-2x+3，整理，得x2-（k+2）x+5=0.由直线与抛物线只有一个交点，得Δ=（-k-2）2-4×5=0，解得k=-2±2. 所以当k=-2±2时，直线与抛物线只有一个交点. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 微专题 22 23 $$