21.2.2 第1课时 二次函数y=ax²的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

2　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　二次函数y=ax2+k的图象 1. （合肥蜀山期末）抛物线y=-2x2-1的对称轴是 （　　） A. 直线x= B. 直线x=- C. 直线x=0 D. 直线x=2 C 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 3 2. 函数y=x2+1的图象大致是 （　　） 【变式】抛物线y=2x2+4的顶点坐标是________，在y轴右侧的部分是________的（填“上升”或“下降”）. C （0，4） 上升 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 4 3. （教材P13T2（3）改编）已知二次函数y=-4x2+1，当x=________时，函数取得最________（填“大”或“小”）值，为________. 0 知识点2　二次函数y=ax2+k的性质 大 1 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 5 4. （广东广州中考）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y=x2-3上，且0<x1<x2，则y1________y2（填“>”“<”或“=”）. < 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 6 5. 若直线y=1与抛物线y=ax2+b交于A，B两点，且点A的坐标为（-2，c），则点B的坐标为________. （2，1） 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 7 6. （教材P13T2改编）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=x2+1与y=-x2-1的图象. （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点. 解：如图所示. （1）答案不唯一，如： 相同点：抛物线的形状和开口大小相同；对称轴都是y轴. 不同点：抛物线 开口向上，顶点坐标是（0，1）；抛物线 开口向下，顶点坐标是（0，-1）. 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 8 （2）说出两个函数性质的相同点与不同点（至少各说出一条）. （2）答案不唯一，如： 相同点：自变量x的取值范围是全体实数；对于x和-x，可分别得到相同的函数值y. 不同点：对于函数 ，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大；当x=0时，函数取得最小值，y最小值=1.对于函数 ，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当x=0时，函数取得最大值，y最大值=-1. 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 9 7. 一抛物线的形状、开口大小和开口方向都与抛物线y=-2x2相同，顶点坐标是（0，5），则该抛物线对应的函数表达式是 （　　） A. y=-2（x+5）2 B. y=-2（x-5）2 C. y=-2x2+5 D. y=-2x2-5 知识点3　抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系 C 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 10 8. （教材P13T3改编）将抛物线y=x2+2向下平移3个单位，平移后所得抛物线对应的函数表达式为________. y=x2-1 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 11 9. 能否上下平移函数y=-x2的图象，使得到的新图象过点（3，-18）？若能，说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由. 解：能，向下平移6个单位.理由如下： 设平移后的函数表达式为y=- x2+k， 将x=3，y=-18代入，得k=-6. ∴平移后的函数表达式为y=- x2-6. ∴将函数y=- x2的图象向下平移6个单位，可使得到的新图象过点（3，-18）. 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 12 10. （河北石家庄辛集期末）抛物线y=x2，y=-x2-1，y=x2共有的性质是 （　　） A. 开口向上 B. 对称轴为y轴 C. 都有最低点 D. 开口大小相同 练提升 B 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 13 11. （安徽模拟）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2-b的图象可能是 （　　） D 【解析】当a>0时，直线y=ax+b一定经过第一、三象限，抛物线y=ax2-b开口向上；当a<0时，直线y=ax+b一定经过第二、四象限，抛物线y=ax2-b开口向下，所以排除选项A，B，C.故选D. 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 12. （山东淄博中考）若二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2-4m2-4n+9的最小值为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】∵二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），∴3=a+2，∴a=1，∴y=x2+2.∵Q（m，n）在y=x2+2上，∴n=m2+2，∴n2-4m2-4n+9=（m2+2）2-4m2- 4（m2+2）+9=m4-4m2+5=（m2-2）2+1.∵（m2-2）2≥0，∴n2-4m2-4n+9的最小值为1. 故选A. A 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 15 13. （广东中考）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 （　　） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 B 【解析】如图，过点A作AH⊥x轴，垂足为H. ∵四边形OABC是正方形，∴∠AOB=45°，∴∠AOH=45°， ∴AH=OH， 设A（m，m）（m≠0），则B（0，2m）， 将A，B的坐标分别代入y=ax2+c， 得m=am2+c，2m=c，化简，可得c=2m，a=-， ∴ac=-·2m=-2，故选B. 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 16 14. 在同一坐标系中绘制了y1=-x2+1，y2=-x2-1两条抛物线，如图所示，则这两条抛物线与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为________. 8 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 17 【解析】如图，过y2=-x2-1的顶点（0，-1）作平行于x轴的直线，设其与y1=-x2+1围成的阴影面积为S1；过点（0，-3）作平行于x轴的直线，设其与y2=-x2-1围成的图形面积为S2.∵两条抛物线表达式的二次项系数相同，∴两条抛物线的形状完全相同，∴S1=S2，且可以把阴影部分通过平移转化为一个矩形，∴S阴影=4×2=8. 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 18 15. 【新趋势·探究性问题】 如图，P（m，n）是抛物线y=-+1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于点Q. 【探究】（1）当m=0时，OP=________，PH=_______；当m=4时，OP=_______，PH=________. 练素养 1 1 5 5 提示：当m=0时，n=1，P（0，1），OP=1，PH=2-1=1. 当m=4时，n=-3，P（4， -3），OP= =5，PH=2-（-3）=5. 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 19 【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想. （2）猜想：OP=PH.证明如下： ∵l⫽x轴，PH⊥l，∴PH⊥x轴. ∵点P在抛物线y=-x2+1上， ∴P（m,-m2+1），PQ=|-m2+1|，OQ=|m|. 当m≠0时，△OPQ是直角三角形， ∴OP====m2+1. 当m=0时，OP=1，也满足OP=m2+1. 又∵PH=2-yp=2+m2-1=m2+1，∴OP=PH. 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 20 【应用】（3）当OP=OH时，求P点的坐标. （3）∵OP=PH，∴当OP=OH时，△OPH是等边三角形. ∵OQ⊥PH，∴PQ=HQ=2，OP=PH=PQ+HQ=4. 在Rt△OPQ中，由勾股定理，得 OQ===2， ∴P点的横坐标为±2， ∴P（2，-2）或（-2，-2）. 14 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 21 22 $$