21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2\)的图象和性质，通过练基础（图象识别、过点求解析式）导入，衔接提升题（与一次函数图象辨析、动点问题）及素养题（跨情境应用），构建从具体到抽象的递进式学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其特色在于分层设计与核心素养融合，通过几何直观观察图象对称性、推理\(|a|\)与开口关系，如练提升中二次函数与一次函数图象辨析题培养推理意识，练素养中抛物线与正方形公共点求\(a\)范围发展模型意识。学生能分层巩固，教师可借助系统例题提升教学效率。

21.2　二次函数的图象和性质 1　二次函数y=ax2的图象和性质 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　二次函数y=ax2的图象 1. 下列图象中，是二次函数y=5x2的图象的是 （　　） A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 3 2. （教材P26T1（3）改编）若二次函数y=ax2的图象过点（-2，4），则该图象必经过点 （　　） A. （2，4） B. （-2，-4） C. （-4，2） D. （4，-2）　　　　　 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 4 3. （吉林长春期末）已知二次函数y=x2的图象如图所示，线段AB⫽x轴，交抛物线于A，B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为________. 4 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 5 4. （教材P10“思考”改编）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2、y=x2、y=-x2和y=-x2的图象. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 6 （2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题. ①抛物线y=x2与抛物线________的形状相同，且这两条抛物线关于________对称； ②对于抛物线y=ax²，|a|越大，抛物线的开口越________（填“大”或“小”）. x轴 小 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 7 5. （教材P6“观察”改编） 对于函数y=-6x2，下列说法正确的是 （　　） A. 当x>0时，y随x的增大而减小 B. 当x<0时，y随x的增大而减小 C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大 【变式】已知二次函数y=（a-2）x2，当x>0时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是________. 知识点2　二次函数y=ax2的性质 A a<2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 8 6. 若抛物线y=3x2上有两点A（-2，y1），B（-1，y2），则y1，y2的大小关系为________. y1>y2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 9 7. （教材P11T5改编）已知抛物线y=ax2经过点（-1，2）. （1）求抛物线的函数表达式，并判断点（1，2）是否在该抛物线上. （2）当x为何值时，函数y=ax2有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？ 解：（1）因为抛物线y=ax2经过点（-1，2），所以当x=-1时，y=a×（-1）2=2，即a=2，所以y=2x2. 因为抛物线y=2x2关于y轴对称，点（-1，2）与点（1，2）关于y轴对称，所以点（1，2）在该抛物线上. （2）因为2>0，所以抛物线y=2x2的开口向上，所以当x=0时，函数y=2x2有最小值，最小值为0. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 10 8. （易错题）（淮南阶段练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=mx2与一次函数y=mx+m的图象大致是 （　　） 【解析】∵y=mx+m=m（x+1），∴一次函数图象经过点（-1，0），故A，B不符合题意；选项C，由二次函数y=mx2的图象开口向下，可知m<0，由一次函数y=mx+m的图象经过第一、二、三象限，可知m>0，结论矛盾，不符合题意；选项D，由二次函数y=mx2的图象开口向上，可知m>0，由一次函数y=mx+m的图象经过第一、二、三象限，可知m>0，结论一致，符合题意.故选D. 练提升 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 11 9. （山西太原迎泽模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在二次函数y=ax2（a<0）的图象上，且x1<x2<0<x3，则下列结论可能成立的是 （　　） A. y1<y2<y3<0 B. 0<y1<y2<y3 C. y1<y2<0<y3 D. y3<y2<y1<0 A 【解析】∵二次函数y=ax2（a<0）的图象的对称轴为y轴，开口向下，∴x<0时，y随x的增大而增大.∵x1<x2<0<x3，∴y1<y2<0，y3<0，∴可能成立的是选项A. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 12 10. 已知二次函数y=x2，在-1≤x≤4内，函数的最小值为________，最大值为 ________. 0 【解析】∵二次函数y=x2的图象开口向上，对称轴是y轴，∴当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，∴在-1≤x≤4内，当x=0时，y的值最小，最小值为0.又当x=-1时，y=1，当x=4时，y=16，∴在-1≤x≤4内，当x=4时，y的值最大，最大值为16. 16 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 13 11. （江苏南京鼓楼期末）如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与y=-2x2的图象，则阴影部分的面积是________. 【解析】∵函数y=2x2与y=-2x2的图象关于x轴对称，∴图中阴影部分的面积是正方形面积的一半.∵正方形的边长为4，∴图中的阴影部分的面积是 ×4×4=8. 8 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 14 12.【新趋势·多模块综合】如图，正方形的四个顶点坐标依次为（1，-1），（3，-1），（3，-3），（1，-3），若抛物线y=ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是________. 【解析】由题意可知，当抛物线y=ax2经过（1，-3）时，a=-3，当抛物线y=ax2经过（3，-1）时，a= .∵对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小，∴实数a的取值范围是-3≤a≤ . 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 15 13. 已知y=（m+2）xm2+m-4是关于x的二次函数. （1）m的值为________. （2）当m=________时，抛物线有最低点，最低点的坐标为________. （3）当m=________时，抛物线有最高点，此时若x>0，则y随x的增大而_______（填“增大”或“减小”）. 2或-3 2 （0，0） -3 减小 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 16 【解析】（1）根据题意，得m2+m-4=2且m+2≠0，解得m1=2，m2=-3，所以满足条件的m的值为2或-3. （2）当m+2>0时，抛物线有最低点，∴m=2，此时抛物线的函数表达式为y=4x2，∴抛物线最低点的坐标为（0，0）. （3）当m+2<0时，抛物线有最高点，∴m=-3.此时抛物线的函数表达式为y=-x2，抛物线开口向下，对称轴是y轴，∴若x>0，则y随x的增大而减小. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 17 14. 【新定义·新概念问题】（教材P27T3改编）定义：如果抛物线上关于对称轴对称的两点和抛物线的顶点构成的三角形是等边三角形，就称这个三角形为该抛物线的“完美三角形”. 如图，△AOB是抛物线y=ax2的“完美三角形”，若△AOB的面积是4，求抛物线对应的函数表达式. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 18 解：设AB与y轴交于点D，如图. 由题意知点A，B关于y轴对称， ∴设点B的横坐标为m(m>0)，则AB=2m. ∵△ABC是等边三角形，∴OB=AB=2m，∴OD=m， ∴S△AOB=AB·OD=m2=4，解得m=2（负值舍去）. ∴点B的坐标为（2，2），代入y=mx2，得2=4m，解得m=. ∴抛物线对应的函数表达式为y=x2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 19 15. 【新趋势·规律探究题】如图，分别过点Pn（n，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交二次函数y=x2（x>0）的图象于点An，交直线y=-x（x>0）于点Bn，则++⋯+的值为 （　　） A. B. 2 C. D. 练素养 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 20 【解析】由题意可知An，Pn，Bn的横坐标相同， ∵Pn（n，0），∴Bn（n,-n），An（n, n2）. ∴AnBn=n2-（-n）=n2+n. ∴===2（-）. ∴++⋯+ 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 21 =2（1-）+2（-）+⋯+2（-） =2（1-+-+⋯+-） =2（1-） =. 故选A. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 15 14 22 23 $$