培优06 二次函数章末20题型归类（专项训练）数学人教版九年级上册

培优06 二次函数章末20题型归类 题型1 待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 1．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或；③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 当时，，解得或，故②正确； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③正确； 抛物线的对称轴为直线，故④错误； 故答案为：②③． 2．选择最优解法，设出下列二次函数的表达式： （1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为 ． （2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为 ． （3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式： （1）根据抛物线与y轴的交点坐标，即可求解； （2）根据抛物线的顶点坐标，即可求解； （3）根据抛物线的最大值为6，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点， ∴可设抛物线的表达式为； 故答案为：； （2）∵抛物线的顶点坐标， ∴可设抛物线的表达式为； 故答案为：； （3）∵二次函数有最大值6， ∴可设抛物线的表达式为． 故答案为：． 3．已知二次函数的图象过三点，那么此二次函数图象的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式以及对称轴公式的运用. 设二次函数的解析式为， 然后把，，分别代入解析式得到关于的三元一次方程组， 解方程确定的值，最后根据抛物线的对称轴为直线得到答案． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把，，分别代入解析式得， 解得，，， 则二次函数的解析式为：， ∴对称轴是直线：． 故答案为：． 4．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是解题的关键． 根据顶点坐标设二次函数解析式为，运用待定系数法得到解析式，令解得函数值即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是， 故答案为： ． 题型2 函数图像的综合判断 1）根据抛物线的开口方向判断二次项系数的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断一次项系数的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断常数项的正负性. 4）根据一次函数经过象限，判断一次项系数的正负性. 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，从图象入手解决此类问题即可． 根据答案中的一次函数和二次函数的图象分析a、b的符号，观察是否一致即可判断． 【详解】A、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意； B、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意； C、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意； D、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故符合题意； 故选：D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意； B．图像开口向上，故此选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意； D．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小． 8．已知函数和，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，当时， 二次函数的图象开口向上，与y轴交于点，点在y轴的正半轴上，一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时， 二次函数的图象开口向下，与y轴交于点，点在y轴的负半轴上，一次函数的图象经过第二、三、四象限． 故答案选C 题型3 二次函数的图像与系数的关系 9．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确结论的本数为 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断④；利用图象法即可判断③． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴， ， ∵二次函数的对称轴为直线， ， ， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； 时，， ， ∴，即，故④正确； 由函数图象可知，当时，，故③正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 10．已知抛物线经过第四象限点，下列四个结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④．其中正确的结论是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，不等式的性质，根据点所在象限可得出，由二次函数的图像和性质得出，即，结合已知条件可判断①，把变形成即可判断②， 把代入二次函数解析得出，结合即可判断③，利用不等式的性质即可得出判断④． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 把代入，即， ∵， ∴ ∴，故①正确， ∴， ∴， 由可得出， ∴，即恒成立，故②正确， 若抛物线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴，则，故③正确， ∵，， ∴， ∴可变形为：， 即， 整理得：， ∵， ∴ ∴，显然成立，故④成立， 故答案为：①②③④ 11．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．有以下四个结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④点一定在此抛物线上．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由函数图像开口向下，与y轴交于正半轴可知：，，在根据可得出，即可判断①，由代入②即可判断②，根据二次函数的对称性可判断③，把代入得出，进而可得出，即可判断④． 【详解】解：根据函数图像开口向下，与y轴交于正半轴可知：，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误， ∵， ∴，故②正确． ∵点关于对称轴为直线的对称点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，故③正确， ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∵在抛物线上， ∴点一定在此抛物线上，故④正确． 综上：②③④正确， 故答案为：②③④ 12．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为 ． ①； ②； ③；④；⑤时， 【答案】②③④⑤ 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 根据对称轴位置及图象开口向上可判断出的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④；由推出，，得到，即可得到，可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， 抛物线与轴交于点在轴的负半轴， ， ， 故结论①错误； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为， ， 故结论②正确； ， ， ， ， ， 故结论③正确； 对称轴为直线， 函数的最小值为， ， ， 故结论④正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论⑤正确； 综上所述，结论正确的是②③④⑤； 故答案为：②③④⑤． 13．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有 （填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，，． ∴． ∴．故①符合题意． ∵点是函数图象上一点，对称轴是直线， ∴二次函数图象经过点． ∵二次函数图象开口方向向下， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵函数图象上一点， ∴．故②不符合题意． ∵，二次函数图象对称轴是直线， ∴设二次函数解析式为． 把点坐标代入二次函数解析式得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意． ∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线， ∴二次函数图象过点． 把点和代入二次函数解析式中得 用a来表示b和c得 ∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点）， ∴． ∴． ∴．故④符合题意． ∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线， ∴二次函数在时取得最大值． ∴当时，，即． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．故⑤符合题意． 故①④⑤符合题意． 故答案为：①④⑤． 题型4 根据二次函数的性质求取值范围 14．已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的增减性及最值问题，当自变量的取值范围在对称轴一边时，则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时，则顶点取到最大值或最小值．首求先根据函数的对称轴求出a的值，然后根据函数的增减性求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴，解得， 则二次函数， 当时，函数有最小值； ∵当时，y有最小值， ∴， 解得， 故选C． 15．已知抛物线过点，，若抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系；求出，，得出，代入，得出求出的范围即可． 【详解】解：如图所示，依题意，抛物线过点，，顶点在第一象限， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴，则， ∵抛物线过点，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故选：B． 16．若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线经过四个象限，说明抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，列出不等式即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴交于和， ∵抛物线经过第一，二，三，四象限，且， ∴ ， ∴． 故选：B． 17．已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 根据题意，抛物线开口向上，点A、B在直线下方，且．通过代入点坐标建立不等式，求解t的范围． 【详解】∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵点在直线下方， ∴， 解得． ∵ ： ∴， 解得． ∴． 故选：D． 18．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用对称轴公式得出对称轴为，由知开口向下，令求出与轴交点为和．由，得点在轴上方，即，推出．由且开口向下，知点到对称轴距离小于点到对称轴距离，结合得，通过距离公式，解得．联立确定． 【详解】在抛物线 中，对称轴为： ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小， 令，即，， 解得，， ∴抛物线与轴交点为和． ∵点，，且． ∵， ∴点在轴上方，即， 解得． 又∵，且抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随增大而增大，在对称轴右侧随增大而减小， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，且两点都在轴上方． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，且． 由，化简得， 解得． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 19．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，由函数的图象与坐标轴有三个交点，可得抛物线不经过原点且与轴有两个交点，据此解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线不经过原点且与轴有两个交点， ∴，且, 解得且, 故答案为：且． 20．抛物线的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式即可求解； （2）由（1）知抛物线的表达式是，设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点，根据二次函数平移的规律求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知抛物线的表达式是， 设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点， 则抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴平移后得到的抛物线的表达式是． 21．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 题型5 二次函数与几何变换 1）平移变换 2）对称变换 22．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 23．阅读以下材料，解答问题． 规定：两个函数的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”，例如：函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”． (1)若二次函数与二次函数互为“函数”，则二次函数的表达式为____________； (2)若二次函数与二次函数(为非零常数)互为“函数”，且二次函数的最大值为，请求出二次函数的表达式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据“函数”的定义即可求解； （）由二次函数的顶点坐标公式和性质可得，且，即可得到，进而得到，最后根据“函数”的定义即可求解； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的顶点坐标公式即性质，理解“函数”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数与二次函数互为“函数”， ∴二次函数的表达式为， 故答案为：； （2）解：∵二次函数的最大值为， ∴，且， 解得(舍去)或， ∴， ∵二次函数与二次函数(为非零常数)互为“函数”， ∴二次函数的表达式为． 24．已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）求出顶点坐标关于x轴对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可； （2）求出顶点坐标关于y轴对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可； （3）求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可； （4）绕P（1，0）旋转180°后抛物线开口方向相反，顶点关于P（1，0）对称，然后利用顶点式解析式写出即可. 【详解】解：（1）y和y1关于x轴对称，则开口方向相反，顶点关于x轴对称， 即表达式为：； （2）y和y2关于y轴对称，则开口不变，顶点关于y轴对称， 即表达式为：； （3）y和y3关于坐标原点对称，则开口方向相反，顶点坐标关于原点对称， 即表达式为：； （4）y4由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则开口相反，顶点关于P（1，0）对称， 即表达式为：. 【点睛】本题考查了二次函数的图像变换，解题的关键是掌握坐标与几何变换，确定变换后的开口和顶点. 题型6 二次函数与一次函数交点问题 求两函数图像交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 25．如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 【答案】(1) (2)见解析； (3)，的最大值是20 【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可； （3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为， 将点代入解析式可得，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）证明：将直线与抛物线联立可得， 整理得； ∴， 直线与抛物线没有交点； （3）解：由题意得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴点G和点D关于抛物线对称轴对称， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称， 由（1）可得抛物线对称轴为直线， ， ，． ，即与的函数关系式是 当时，的值最大，的最大值是20． 26．已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题． (1)方程的解为______； (2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______； (3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象即可求得； （2）求得直线经过点以及直线经过点时的的值即可； （3）求得直线经过点以及直线与函数相切时的的值即可． 【详解】（1）解：通过观察图象可得的解为， 故答案为：； （2）解：当时，直线与函数有三个交点，即有三个不同的实数根， 当 时，直线与函数有两个交点，即有两个不同的实数根， 当方程有四个不同的实数根时，， 故答案为：； （3）解：把点代入得，， 令，整理得， 则，解得， 当函数的图象与直线有三个交点时，的值为或． 27．已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (1)当 时，求两个函数图象的交点坐标． (2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围． (3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求 的最小值； ②当轴时，求 的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题； （1）当时，一次函数为y= 二次函数为 ，联立解析式，解方程，即可求解． （2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解； （3）当 时，一次函数为y= 二次函数为 ①设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解； ②设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，一次函数为y= 二次函数为 联立方程组 解得 或 ∴交点坐标为或； （2）由 得 ∵两个函数图象没有交点， ∴ 得 （3）当 时，一次函数为二次函数为 ①∵轴 设 ， ∴当 时， ②设 ∵轴， ∴当 时， 题型7 二次函数与不等式问题 如图，抛物线与x轴的公共点为A(m，0)，B(n，0)，那么 (1) 的解为x1=m，x2=n (2) 的解为x＜m或x＞n (3) 的解为m＜x＜n 28．已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 【答案】(1)；， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）利用的图象过点，，结合二次函数图象的对称性即可求出抛物线的对称轴，方程的解即为与直线的交点的横坐标，即可求解； （2）抛物线在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大，利用对称性求出点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为，利用函数增减性结合图象即可求解； （3）先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论； （4）先求出和对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，，其中，， ∴抛物线的对称轴为直线，与直线的交点为，， ∴方程的解为，， 故答案为：；，； （2）解：由图可知，又因为抛物线的对称轴为直线， ∴在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大， ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为， 又∵， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：由图可知当时，或， 由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． （4）解：由上知，当时，对应的自变量的值为或；当时，对应的自变量的值为或， 由图可知当时，对应的x的取值范围为或． 故答案为：或． 29．如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当x满足时，y的取值范围是 ． (4)当y满足时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （1）把代入可得点坐标，把函数解析式转化为顶点式可得顶点坐标； （2）把代入求出点、坐标，再结合图象解答即可求解； （3）求出的函数值，再结合顶点坐标预计函数的图象即可求解； （4）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：把代入得，， 解得：， ， 由图象可得，当时，，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （3）解：由前面可知抛物线的顶点坐标为： 故当时，y取得最小值为． 当时，， 结合函数图像可知，当时，． （4）解：令，则，即， 解得：，， 又， 故结合函数图象可知：当或时，． 30．小亮同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究： ①写出该函数的一条性质：_______； ②方程的解为：_______； ③若方程有四个实数根，则的取值范围是_______． (2)延伸思考： 将函数的图象经过平移可得到函数的图象，画出平移后的大致图象，并写出平移过程，再通过图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)①关于轴对称（答案不唯一）；②或；③ (2)图见解析；平移过程为：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象；且 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律写出平移的过程，画出函数的图象，根据图象即可得到结论． 【详解】（1）解：①由图象可得：关于轴对称；函数有最大值为0等；（答案不唯一）． ②由图象可得：或； ③由图象可得：当时，方程有四个实数根， 故答案为：①关于轴对称（答案不唯一）；②或；③； （2）解：图象如图所示， 平移过程为：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象， 由图象可得：当时， 自变量的取值范围为且． 题型8 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围 31．已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的性质，正确理解二次函数的性质是本题解题的关键． 由题求得抛物线的对称轴为直线，分类讨论，，，根据函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：原式变形为， 对称轴为， 二次函数当时，有最小值为4， ①当时， 当时，有最小值为4， ， 解得：,(舍去)， ②当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去）， 满足条件的m的值为或． 故答案为：；． 32．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键． 把代入中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合知区间的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可． 【详解】解：∵把代入中，得：, ∴， ∴函数解析式为：， ∵， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴， ∵， ∴，， ①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴， 解得：， 且， 则有， 解得：； ②当，即时，函数在处取得最大值， ∴， 解得：，这与矛盾，故不成立； 综上可得：． 故答案为： ． 33．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当自变量时，函数有最大值为10， ∴当即时，时取最大值，即， 解得， 当即时，号时取最大值，即， 则 ∵，方程没有实数根， 当时即，时取最大值，即， 解得 综上，的值为或， 故答案为：或． 34．已知抛物线．当时，函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，得到二次函数的最大值为，结合题意，得到且到1的距离小于等于到1的距离，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∴当时，函数值有最大值， ∵， ∴当时，， ∵当时，且， ∴且到1的距离小于等于到1的距离， ∵和关于直线对称， ∴； 故答案为：． 35．若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值． （1）根据，可得，再根据，即可求得的取值范围； （2）根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）， ， ， 当时，有最小值， 当时，有最大值， ，， ， 故答案为：． 题型9 利用二次函数的性质比较大小 解题策略：如图①，当a＞0，即抛物线开口向上时，点离对称轴越远，它的纵坐标越大； 如图②，当抛物线开口向下时，点离对称轴越近，它的纵坐标越大. 大招结论：设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. （简称：a大d大y越大，a小d小y越大） 36．已知抛物线上三点，，，则，，满足的大小关系式为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】先确定抛物线的对称轴，开口方向，再计算点与对称轴的距离，根据函数的增减性解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，增减性，开口，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向上， ∴点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵抛物线上三点，，， 且 ∴， 故答案为：． 37．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．由于二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，然后根据点，离对称轴的远近可判断和的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图象的开口向上， ∵抛物线经过点，，且， ∴点离对称轴的距离比点要远， ∴． 故答案为：． 38．抛物线，点，，，则、、的大小关系是（　　） A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．无法比较大小 【答案】A 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点都直线的远近得到、、的大小关系． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 、，， 点离直线最远，离直线最近， 而抛物线开口向上， ； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 题型10 二次函数与实际应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 39．如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃． (1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？ (2)当为多少米时，花圃的面积最大？ 【答案】(1)边的长应是20米 (2)当长为，花圃有最大面积． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，得到长方形花圃的长的代数式以及面积的代数式是解题的关键． （1）设的长为x米，则长为米且，根据其面积列出方程求解即可； （2）把（1）中用代数式表示的面积并运用配方法整理为，然后再根据二次函数的性质以及x的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：设的长为x米，则长为米且，即， 根据题意得：， 解得：或5（不合题意舍弃）. 答：边的长应是20米． （2）解：花圃的面积为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，花圃有最大面积，即当长为，花圃有最大面积． 40．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)出发时间时，点之间的距离等于 (2)面积的有最大值，此时时间是秒 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键． （1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可； （2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于， 依题意有， 即， 解得（不合题意舍去）． 答：出发时间时，点之间的距离等于； （2）依题意有， ， ∴面积的有最大值，此时时间是秒． 41．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答． （2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故设该抛物线的函数表达式为， ∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度， 即， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵该抛物线的函数表达式为， ∴设， 则， ∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为， ∴， ∴灯带总长度， ∵， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即， 故的长为． 42．某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 【答案】(1)， ；这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元； (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为元，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式． （1）依据题意，由这种台灯的售价应定为元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程求解； （2）依据题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元，根据总利润单件利润数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，这种台灯的售价应定为元， 每月台灯的销售量为：． 又每个台灯的利润为：， ， ， ， 舍去． 答：这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元． 故答案为：；． （2）要使每月的销售利润最大，售价应定为元．理由如下： 由题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，售价为元，取最大值，此时， 答：要使每月的销售利润最大，售价应定为元． 43．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 (3)1 【分析】本题考查的是二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）计算当时，y的值与比较即可得出答案； （3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，        设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得，         ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，   ∴球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 44．某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 【答案】(1)（或） (2)水柱不会打湿护栏花墙，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，再代入即可求解； （2）点的坐标为，代入函数解析式计算出函数值与2m的护栏花墙比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为． 设水柱所在抛物线的函数表达式为（为常数，）， 将代入，得， 解得， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）解：水柱不会打湿护栏花墙．． 理由：∵m，m， ∴m， 则点的坐标为． 当时，． ∵， ∴水柱不会打湿护栏花墙． 题型11 一元二次不等式恒成立问题 45．设二次函数（，是常数，），已知函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)若． ①求二次函数的表达式； ②自变量在时，有最大值，求的值． (2)求证：恒成立． 【答案】(1)①；②或； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数求函数解析式及二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①由题意，得到，两点坐标，代入，利用待定系数法，得到函数表达式； ②根据函数表达式，得到函数的对称轴和顶点坐标，开口方向，讨论当时，最大值在时取得，当时，最大值在上取得，从而求得值； （2）观察表格，可得到对称轴为，得到，从而证得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴将，代入得： ， 解得：， 该二次函数的表达式是； ②该二次函数的表达式是， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，当时，最大值在时取得， 把代入，得：， 解得：，符合题意； 当时，当时，最大值在上取得， 把代入，得：， 解得：（舍去）， 综上所求，的值为0或； （2）解：根据表格可知对称轴为直线，即 ， ∵，在二次函数上， ∴， ， 恒成立， 即恒成立． 46．已知二次函数表达式为． (1)用b表示二次函数图象的顶点坐标，并求出顶点纵坐标的最大值； (2)当时，恒成立，求b的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，顶点纵坐标有最大值为1； (2) 【分析】 （1）配成顶点式，可求得顶点坐标，再对顶点纵坐标配方，利用非负数的性质即可求解； （2）分类讨论，函数图象与轴有一个交点和没有交点时，的任意实数，都有成立，若函数图象与轴有两个交点，列出不等式即可求的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标， ∵， ∴顶点纵坐标有最大值为1； （2） 解：①二次函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当二次函数的图象与轴没有交点或只有1个交点时，总有成立，如图； 此时△，即， 解得； ②当二次函数的图象与轴有2个交点时，如图； △，可得或， ∵对称轴为直线， 观察图象，显然， 综上所述，对满足的任意实数，都使得成立，则． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标等知识，解题的关键是数形结合，分类列不等式解决问题． 题型12 用抛物线研究根与0的大小关系 47．对于关于x的方程x2＋（2m﹣1）x＋4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围， （1）两个正根； （2）有两个负根； （3）两个根都小于﹣1； （4）两个根都大于； （5）一个根大于2，一个根小于2； （6）两个根都在(0，2)内； （7）两个根有且仅有一个在(0，2)内； （8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内； （9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大； （10）一个根小于2，一个根大于4． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在符合此条件的；（4）；（5）；（6）不存在符合此条件的；（7）或；（8）不存在符合此条件的；（9）不存在符合此条件的；（10）． 【分析】先利用根的判别式求出方程有两实数根时的取值范围，再求出函数的对称轴，然后结合二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与轴的交点问题分别建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】当有两个实数根时， 其根的判别式，即， 解得或， 设， 则此二次函数的对称轴为，且其与轴的交点的横坐标即为方程的根， （1）当方程有两个正根时， 则当时，，且二次函数的对称轴大于0， 即，解得， 又 或， ； （2）当方程有两个负根时， 则当时，，且二次函数的对称轴小于0， 即，解得， 又 或， ； （3）当方程的两个根都小于时， 则当时，，且二次函数的对称轴小于， 即，此不等式组无解， 则不存在符合此条件的； （4）当方程的两个根都大于时， 则当时，，且二次函数的对称轴大于， 即，解得， 又 或， ； （5）当方程的一个根大于2，一个根小于2时， 则当时，， 即，解得， 又 或， ； （6）当方程的两个根都在内时， 则当和时，，且二次函数的对称轴在内， 即，解得， 又 或， 不存在； （7）当方程的两个根有且仅有一个在内时， 则当时的值与时的值的乘积小于0， 即，解得或， 又 或， 或； （8）当方程的一个根在内，另一个根在内时， 则当时，；当时，；当时，；当时，， 即，此不等式组无解， 则不存在符合此条件的； （9）当方程有一个正根，一个负根且正根绝对值较大时， 则当时，，且二次函数的对称轴大于0， 即，此不等式组无解， 则不存在符合此条件的； （10）当方程的一个根小于2，一个根大于4时， 则当和时，， 即，解得， 又 或， ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组、根的判别式、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与轴的交点问题等知识点，将一元二次方程的根的问题与二次函数联系起来是解题关键． 题型13 二次函数与一次函数综合 图示： 常规方法：先根据题目已知条件求出抛物线与一次函数解析式，设点P的横坐标为m，则可根据点在抛物线上用含有m的式子表示出点P的纵坐标，同理可表示点Q的坐标，由此可用含m的式子表示PQ的长，再根据二次函数的性质求得最值. 48．如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，正确求出函数表达式是关键． （1）把分别代入抛物线和一次函数解析式，求出，，即可得到答案； （2）设点的坐标为，则，得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）设点的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 49．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 题型14 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 50．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 51．已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时的坐标和S的最大值； 【答案】(1)是直角三角形 (2)，的最大值为8， 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据二次函数解析式求出点A，B，C的坐标，表示出，，的长度，根据勾股定理求出，，，利用勾股定理逆定理可得结论； （2）根据A，C的坐标可得出直线的解析式，由点P的坐标表示出点Q的坐标，根据可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． 当时，， 当时，， 则或， ，，， ，，， ，，， ∴， 是直角三角形，且． （2）解：设直线的解析式的解析式为：， ∵直线过点， ， ， 解得：， 直线的解析式的解析式为：， ∵点是抛物线在第一象限部分上的点， ∴， ∵轴，交直线于点Q， ∴， ， ， ， 即S关于m的函数关系式为， 当时，的最大值为8，此时． 题型15 一次函数与将军饮马综合 52．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴，上的一个动点，求的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合，求二次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，勾股定理等，掌握相关知识是解题的关键． （1）将点的坐标的代入关系式求出的值，可得答案； （2）分别求出点，点的坐标，再判断的最小值，然后根据勾股定理求出答案； 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得：， 故抛物线的表达式为； （2）解：由，令，则， ∴点的坐标为． 令，则， 解得：， ∴点的坐标为， ， 连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， ∵关于抛物线的对称轴对称， ， ， 在中，， ∴的最小值为． 53．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是线段上不与点O、A重合的点，过点E作轴，交抛物线于点P，交于点D，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段的长度取得最大值时，请求出的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段的长度取最大值时的点D，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点，，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移3个单位，向下平移3个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为，代入得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 在上截取， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 54．如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； (3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)点时，的值最大为， 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设，设的解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，再求出点C的坐标，进而可得出，代入即可求出a的值，进而可求出点B的坐标，再当时，求的面积是否为15进而可得出点B 的另一个坐标． （3）做点O的对称点，连接交对称轴于点P，则，有，当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，利用待定系数法求得直线的直线方程为，当时求得，则点时，的值最大，并利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解： 抛物线经过点， ∴设抛物线为： 抛物线过，且它的对称轴为． 解得： ∴抛物线为：； （2）解：设， 设的解析式为：， 则， 解得：， 则 的解析式为：， 当时，则， 解得：， 侧， ∴ ∵ ∴， 解得：或或或（舍去）， 此时点，或， 当时，则直线为，平行于x轴 此时， ，满足题意， 综上：则或或或． （3）解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图， 则， ∴， 当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值， 设直线的直线方程为， 则，解得， ∴直线的直线方程为， 当时，， 那么，点时，的值最大，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、等面积法、对称的性质、三角形三边关系和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉二次函数的性质和对称性． 题型16 二次函数存在性问题（周长/面积） 55．如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，且满足． (1)求的值及点的坐标； (2)直线上方的抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)直线上方的抛物线上不存在一点，使得，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，求二次函数解析式，解直角三角形等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先求出点C坐标，可得的长，再解直角三角形得到的长，则可得到点B的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，进而求出点A坐标即可； （2）求出直线解析式为；过点P作轴交于D，连接，设，则，可得；求出，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （2）解：直线上方的抛物线上不存在一点，使得，理由如下： 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点P作轴交于D，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴原方程无解， ∴直线上方的抛物线上不存在一点，使得． 56．如图，已知直线与抛物线相交于A、C两点，与y轴交于点E， 抛物线与y轴交于点N，其顶点为D．若连接， (1)直接写出点A、N的坐标，A（_______，_______）；N(________，_______）． (2)求直线的函数关系式； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标； (4)在对称轴上是否存在一点M，使的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2,0；0,12 (2) (3)， (4)存在，，周长的最小值为 【分析】对于（1），令求出x值可得点A的坐标，令求出y的值可得点N的坐标； 对于（2），根据可得，过点C作交x轴于点F，再根据说明，然后根据求出，进而得出点C的坐标，最后根据待定系数法求出直线关系式； 对于（3），先过点P作轴，交于点G，设点，即可得点G，再根据得出二次函数，然后结合自变量取值范围讨论最大值即可； 对于（4），先求出，再根据的周长等于，要求周长最小即求最小，作点N关于对称轴的对称点C，可得，根据“两点之间线段最短”可知，接下来根据勾股定理解答即可. 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴点. 当时，， ∴； 故答案为：2，0；0，12； （2）解：∵， ∴， 即. 过点C作，交x轴于点F， ∵， ∴， ∴ ∵点， ∴， ∴， ∴. 当时，， 即点. 将点A,C代入直线的关系式，得 ， 解得， 所以直线关系式； （3）解：先过点P作轴，交于点G， 设点，则点， ∴， ∴ . ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 即当时，， ∴点； （4）解：存在， ∵点，， ∴， 根据勾股定理，得. 的周长等于，要求周长最小即求最小， ∵点，点关于对称轴对称， ∴， 可知， 当点M是对称轴与直线的交点时，即时，， 即点. 在中，， 根据勾股定理，得， 所以周长的最小值是. 当点时，周长的最小值是. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标，求一次函数的关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理，根据轴对称求最大值，学会用坐标差表示线段长是解题的关键. 题型17 二次函数存在性问题（角度） 57．如图，对称轴为直线的抛物线过点和点．且与轴交于点． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)点为抛物线第三象限部分上的一点，点是坐标平面内一点点与点不重合，过点作轴交直线于点，请直接写出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标； (3)设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，，； (3)存在，，． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，勾股定理，三角形的外心，圆周角定理，正确作出图形是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为．把，代入，待定系数法求二次函数解析式，进而求得，待定系数法求得直线的解析式； （2）设，则，，当时，有最大值为2，此时，进而分情况讨论，结合图形，即可求解； （3）取点，则，为等腰直角三角形，由可知，继而根据，设，勾股定理即可求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）设抛物线的解析式为． 把，代入得： 解得： 所以抛物线解析式为． 令，则， 所以． 设直线的解析式为，把，代入得： 解得： 所以直线的解析式为． （2）设， 则， ， ∴当时，有最大值为2 此时， ∵， ∴轴， 又∵ ∴ 如图所示，当时， ∴ ∴，则在轴上， ∴ ； 当时，，则轴或轴， ∵点． ∴ 或； 综上所述， ，，； （3）在轴上存在点，使 如图， ∵ ∴ 取点，则， ∴为等腰直角三角形， 以为圆心为半径作圆，则 设， ∵， ∴， 解得：或 ∴符合题意的点的坐标：，． 58．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点 或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 题型18 二次函数存在性问题（特殊三角形） 59．如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 60．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 61．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)①；②存在，，． 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案；②分和两种情况进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）①设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②存在． ∵ ∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形． 当时， ∵轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点F的纵坐标为3，把代入， 得， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 当时，如图：作于点G， 则， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴． 综上所述，符合条件的点F的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 题型19 二次函数存在性问题（特殊四边形） 62．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． (1)因为抛物线与x轴相交，所以可令，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式； (2)根据P点在上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； (3)此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标． 【详解】（1）解：令，得 ， 解得或， ∴， 将C点的横坐标代入得 ， ∴， ∴设直线的函数解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的函数解析式是； （2）设P点的横坐标为， 则P、E的坐标分别为，， ∵P点在E点的上方， ∴， 由，对称轴，抛物线开口向下， ∴当时，PE的最大值为； （3）(3)存在4个这样的点F，分别是，． ①如图1， 连接C与抛物线和y轴的交点， ∴轴， ∴，， ∴F点的坐标是； ②如图2， ，A点的坐标为， ∴F点的坐标为； ③如图3， 此时C，G两点的纵坐标互为相反数， ∴G点的纵坐标为3，代入抛物线中，得 ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴直线与x轴的交点F的坐标为； ④如图4， 同③可求出F的坐标为， ∴符合条件的F点共有4个，为，，． 63．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∴与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 64．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 题型20 二次函数与几何综合 65．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 66．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 67．抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； （2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案； （3）设，设直线解析式为，利用待定系数法可得，进而可得；求出直线解析式为，得到，同理可得，进一步可得，则，根据，可得，据此可得，，，即直线解析式为． 【详解】（1）解：联立，解得或， ∴； （2）解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或； （3）解：设， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（此时的面积相等，不符合题意）， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 68．已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 【答案】(1)； (2)对称轴为直线时，的值最大，最大值为． 【分析】（1）把代入与中，得，，两式相加可得． （2）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入与中，得 ，， 得． （2） 解：如图：      ∵， ∴， ∴将抛物线L为，直线为， ∵抛物线L向左平移， ∴抛物线P为， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M， ∴， ∵直线与抛物线L的对称轴交于点B， ∴， ∵点M在点B的下方， ∴． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优06 二次函数章末20题型归类 题型1 待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 1．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … 有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②当时，x的取值范围是或；③方程的根为0和2；④抛物线的对称轴为直线；其中正确的 ．（填序号） 2．选择最优解法，设出下列二次函数的表达式： （1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为 ． （2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为 ． （3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为 ． 3．已知二次函数的图象过三点，那么此二次函数图象的对称轴是直线 ． 4．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 题型2 函数图像的综合判断 1）根据抛物线的开口方向判断二次项系数的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断一次项系数的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断常数项的正负性. 4）根据一次函数经过象限，判断一次项系数的正负性. 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（    ） A．B．C．D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 7．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C．D． 8．已知函数和，它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C． D． 题型3 二次函数的图像与系数的关系 9．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确结论的本数为 （填序号） 10．已知抛物线经过第四象限点，下列四个结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④．其中正确的结论是 ．（只填序号） 11．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．有以下四个结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④点一定在此抛物线上．其中正确的结论是 ．（填序号） 12．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为 ． ①； ②； ③；④；⑤时， 13．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有 （填序号） 题型4 根据二次函数的性质求取值范围 14．已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知抛物线过点，，若抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是 ． 19．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是 ． 20．抛物线的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式． 21．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； (2)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 题型5 二次函数与几何变换 1）平移变换 2）对称变换 22．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 23．阅读以下材料，解答问题． 规定：两个函数的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”，例如：函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”． (1)若二次函数与二次函数互为“函数”，则二次函数的表达式为____________； (2)若二次函数与二次函数(为非零常数)互为“函数”，且二次函数的最大值为，请求出二次函数的表达式． 24．已知抛物线．请按照要求写出符合条件的抛物线的解析式． （1）若抛物线与关于轴对称，则= ； （2）若抛物线与关于轴对称，则= ； （3）若抛物线与关于坐标原点对称，则= ； （4）若抛物线是由绕着点P（1，0）旋转180°后所得，则= ． 题型6 二次函数与一次函数交点问题 求两函数图像交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 25．如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 26．已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题． (1)方程的解为______； (2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______； (3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值． 27．已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中． (1)当 时，求两个函数图象的交点坐标． (2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围． (3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点． ①当轴时，求 的最小值； ②当轴时，求 的最小值． 题型7 二次函数与不等式问题 如图，抛物线与x轴的公共点为A(m，0)，B(n，0)，那么 (1) 的解为x1=m，x2=n (2) 的解为x＜m或x＞n (3) 的解为m＜x＜n 28．已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 29．如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当x满足时，y的取值范围是 ． (4)当y满足时，x的取值范围是 ． 30．小亮同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究： ①写出该函数的一条性质：_______； ②方程的解为：_______； ③若方程有四个实数根，则的取值范围是_______． (2)延伸思考： 将函数的图象经过平移可得到函数的图象，画出平移后的大致图象，并写出平移过程，再通过图象直接写出当时，自变量的取值范围． 题型8 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围 31．已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 32．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 33．已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则 ． 34．已知抛物线．当时，函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围是 ． 35．若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是 ； （2）的值为 ． 题型9 利用二次函数的性质比较大小 解题策略：如图①，当a＞0，即抛物线开口向上时，点离对称轴越远，它的纵坐标越大； 如图②，当抛物线开口向下时，点离对称轴越近，它的纵坐标越大. 大招结论：设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. （简称：a大d大y越大，a小d小y越大） 36．已知抛物线上三点，，，则，，满足的大小关系式为 ．（用“”连接） 37．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： ．（填“”，“”或“”） 38．抛物线，点，，，则、、的大小关系是（　　） A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．无法比较大小 题型10 二次函数与实际应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 39．如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃． (1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？ (2)当为多少米时，花圃的面积最大？ 40．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 41．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 42．某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 43．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 44．某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 题型11 一元二次不等式恒成立问题 45．设二次函数（，是常数，），已知函数值和自变量的部分对应值如下表所示： … … … … (1)若． ①求二次函数的表达式； ②自变量在时，有最大值，求的值． (2)求证：恒成立． 46．已知二次函数表达式为． (1)用b表示二次函数图象的顶点坐标，并求出顶点纵坐标的最大值； (2)当时，恒成立，求b的取值范围． 题型12 用抛物线研究根与0的大小关系 47．对于关于x的方程x2＋（2m﹣1）x＋4﹣2m＝0，求满足下列条件的m的取值范围， （1）两个正根； （2）有两个负根； （3）两个根都小于﹣1； （4）两个根都大于； （5）一个根大于2，一个根小于2； （6）两个根都在(0，2)内； （7）两个根有且仅有一个在(0，2)内； （8）一个根在(﹣2，0)内，另一个根在(1，3)内； （9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大； （10）一个根小于2，一个根大于4． 题型13 二次函数与一次函数综合 图示： 常规方法：先根据题目已知条件求出抛物线与一次函数解析式，设点P的横坐标为m，则可根据点在抛物线上用含有m的式子表示出点P的纵坐标，同理可表示点Q的坐标，由此可用含m的式子表示PQ的长，再根据二次函数的性质求得最值. 48．如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 49．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 题型14 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 50．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 51．已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为S，求S关于的函数关系式，并求使S最大时的坐标和S的最大值； 题型15 一次函数与将军饮马综合 52．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴，上的一个动点，求的最小值； 53．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是线段上不与点O、A重合的点，过点E作轴，交抛物线于点P，交于点D，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段的长度取得最大值时，请求出的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段的长度取最大值时的点D，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 54．如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； (3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 题型16 二次函数存在性问题（周长/面积） 55．如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，且满足． (1)求的值及点的坐标； (2)直线上方的抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．如图，已知直线与抛物线相交于A、C两点，与y轴交于点E， 抛物线与y轴交于点N，其顶点为D．若连接， (1)直接写出点A、N的坐标，A（_______，_______）；N(________，_______）． (2)求直线的函数关系式； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标； (4)在对称轴上是否存在一点M，使的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． 题型17 二次函数存在性问题（角度） 57．如图，对称轴为直线的抛物线过点和点．且与轴交于点． (1)求此抛物线及直线的解析式； (2)点为抛物线第三象限部分上的一点，点是坐标平面内一点点与点不重合，过点作轴交直线于点，请直接写出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标； (3)设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 58．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型18 二次函数存在性问题（特殊三角形） 59．如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 60．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 61．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F． ①求的边上的高的最大值； ②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 题型19 二次函数存在性问题（特殊四边形） 62．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 63．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 64．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型20 二次函数与几何综合 65．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 66．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 67．抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 68．已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$