6.3.3 余角和补角（题型梳理） 2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

本讲义聚焦“余角和补角”核心知识点，系统梳理定义（两角和为90°互余、180°互补）、性质（同角等角的余角/补角相等），通过求余角、补角、综合计算、图形找角、方程应用五类题型，构建定义-性质-应用的学习支架。 资料以题型分类（典例+变式）为主线，新知梳理表格化呈现，思维进阶补充易错点。培养数学思维（推理意识、运算能力），如方程求角体现模型意识，图形题提升几何直观。课中助教师分层教学，课后供学生查漏补缺，强化知识应用。

6.3.3 余角和补角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】求一个角的余角 3 【题型2】求一个角的补角 4 【题型3】余角和补角的综合计算 6 【题型4】找出图形中互余或互补的角 7 【题型5】利用一元一次方程求余角或补角 10 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、余角和补角的定义 1．余角： （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），我们就说这两个角互为余角，称其中的一个角是另一个角的余角． （2）示例：如下图，∠1+∠2＝90°，则说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互为余角． 2．补角： （1）定义：：一般地，如果两个角的和等于180°（平角），我们就说这两个角互为补角，称其中一个角是另一个角的补角． （2）示例：如下图，∠3+∠4＝180°，则说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互为补角． 二、余角和补角的性质： （1）同角（等角）的余角相等． （2）同角（等角）的补角相等． 注：“同角”指的是同一个角，“等角”指的是度数相等的角；“同角”一定是“等角”，但“等角”不一定是“同角”． xix   提升方法技能 思 维 进 阶 （1）一个角的余角（补角）可以有多个，但它们的度数都相等． （2）若两个角互余，则这两个角一定是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角、一个钝角． （3）当互补的两个角有公共顶点和一条公共边，且不重叠时，这两个角又称为邻补角．互补的角不一定是邻补角，但邻补角一定互补． （4）余角、补角是成对出现的，单独一个角不能称为余（补）角，三个或更多的角也不能称为余（补）角． （5）两个角是否互余（或互补），只与这两个角的度数有关，与它们的位置无关． xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】求一个角的余角 典例 （2024秋•靖西市期末）若∠A＝60°，则∠A的余角是 　　 度． 【答案】30． 【分析】利用余角的概念求解即可． 【解答】解：∠A的余角＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：30． 方法点拨 利用余角的性质求一个角的余角 余角的性质：同角（等角）的余角相等． （1）若∠1+∠2＝90°∠1+∠3＝90°∠2＝∠3 （2）若∠1+∠2＝90°∠3+∠4＝90°，且∠2＝∠3∠1＝∠4 【变式1】　（2024秋•仁寿县期末）已知∠A＝55°，则它的余角的大小是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由余角定义得∠A的余角为90°减去55°即可． 【解答】解：∵∠A＝55°， ∴它的余角是90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°， 故答案为：35°． 【变式2】　（2025春•都昌县期末）31°28′的余角等于　　 ． 【答案】58°32′． 【分析】根据余角的定义求解即可． 【解答】解：90°﹣31°28′＝58°32′． 即31°28′的余角等于58°32′． 故答案为：58°32′． 【变式3】　（2025春•光明区期末）50°的余角度数为　40　 °． 【答案】40． 【分析】根据余角定义解答即可． 【解答】解：50°的余角为：90°﹣50°＝40°． 故答案为：40． 【题型2】求一个角的补角 典例 （2025春•普宁市期末）已知∠A＝40°，那么∠A的补角的度数是（　　） A．50° B．70° C．140° D．160° 【答案】C 【分析】根据补角定义计算即可． 【解答】解：∵∠A＝40°， ∴∠A的补角的度数为：180°﹣40°＝140°． 故选：C． 方法点拨 利用补角的性质求一个角的补角 补角的性质：同角（等角）的补角相等． （1）若∠1+∠2＝180°∠1+∠3＝180°∠2＝∠3． （2）若∠1+∠2＝180°∠3+∠4＝180°，且∠2＝∠3∠1＝∠4． 【变式1】　（2025•甘肃模拟）若∠A＝30°，则∠A的补角为（　　） A．60° B．70° C．150° D．170° 【答案】C 【分析】根据互为补角的两个角的和是180°计算即可． 【解答】解：若∠A＝30°，则∠A的补角为180°﹣30°＝150°， 故选：C． 【变式2】　（2025春•普宁市校级月考）已知∠1与∠2互补，∠1＝120°，则∠2＝　　 ． 【答案】60°． 【分析】若两角的和为180°，则称这两个角互补，据此解答即可． 【解答】解：∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠1 ＝180°﹣120° ＝60°， 即∠2的度数为60°． 故答案为：60°． 【变式3】　（2025春•济阳区期末）已知一个角是50°，则这个角的补角是　　 °． 【答案】130． 【分析】根据互补的两个角的和是180°计算即可． 【解答】解：已知一个角是50°，则这个角的补角是180°﹣50°＝130°， 故答案为：130． 【题型3】余角和补角的综合计算 典例 （2025春•菏泽月考）已知∠A与∠B互补，∠B与∠C互余．若∠A＝120°，则∠C的度数是 　　 ． 【答案】30° 【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°求出∠B，再根据互为余角的两个角的和等于90°求出∠C的度数即可． 【解答】解：∵∠A与∠B互补，∠B与∠C互余． ∴∠A+∠B＝180°，∠B+∠C＝90°， ∵∠A＝120°， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝30°． 故答案为：30°． 【变式1】　（2024秋•海港区期末）一个角补角是它的余角的4倍，这个角的度数是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的4倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果． 【解答】解：设这个角的度数是x， 则180°﹣x＝4（90°﹣x）， 解得x＝60°． 答：这个角的度数是60°． 故答案为：60°． 【变式2】　（2025春•青羊区校级月考）一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数是　　 ． 【答案】45°． 【分析】设这个角的度数为x，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，再根据题意列出方程，求出x的值即可． 【解答】解：设这个角的度数为x，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x． 依题意得：90°﹣x（180°﹣x）， 解得x＝45°， 故答案为：45°． 【变式3】　（2025•建邺区一模）一个角比它的余角大10°，则这个角的补角等于 　　 °． 【答案】见试题解答内容 【分析】设这个角为x°，则这个角的补角为（180﹣x）°，余角为（90﹣x）°，根据题意列等式求解即可． 【解答】解：设这个角为x°，则这个角的补角为（180﹣x）°， 由题意得：x﹣10＝90﹣x， 解得x＝50， ∴180﹣x＝180﹣50＝130， ∴这个角的补角等于130°． 故答案为：130． 【题型4】找出图形中互余或互补的角 典例 （2025春•安次区校级月考）下列角中，可能与30°角互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互余的两个角的和是90°判断即可． 【解答】解：与30°角互余的角的度数是90°﹣30°＝60°， 由图得可能是B， 故选：B． 方法点拨 （1）两个角互补或互余，这两个角的位置可以相邻，也可以不相邻，关键是看这两个角的度数之和是否为90°或180°． （2）寻找图形中互补或互余的角，可以用等角转化寻找，确保不重复，不遗漏． 【变式1】　（2024秋•满洲里市期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，据此逐项判断即可． 【解答】解：A、∠α+∠β＝45°+60°＝105°，则A不符合题意； B、∠α+∠β＝45°+30°＝75°，则B不符合题意； C、∠α+∠β不一定是90°，则C不符合题意； D、∠α+∠β＝90°，则D符合题意； 故选：D． 【变式2】　（2025春•龙岗区期末）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，∠α与∠β互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，由此即可判断． 【解答】解：A、∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，因此∠α与∠β互余，故A符合题意； B、∠α+∠β＝45°+30°＝75°，故B不符合题意； C、由余角的性质推出∠α＝∠β，∠α与∠β不一定互余，故C不符合题意； D、∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，因此∠α+∠β＝105°，故D不符合题意． 故选：A． 【变式3】　（2025春•漳浦县期中）下列四个图形中，∠1和∠2互为余角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余角定义进行判断即可． 【解答】解：A．∠1和∠2是对顶角，故选项A不符合题意； B．∠1和∠2是邻补角，故选项B不符合题意； C．观察图可得：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∠1和∠2互为余角，故选项C符合题意； D．∠1和∠2不互为余角，故选项D不符合题意． 故选：C． 【题型5】利用一元一次方程求余角或补角 典例 （2025春•西安期末）一个角的余角比它的补角的多12°，求这个角的度数． 【答案】27°． 【分析】设这个角的度数为x°，根据两角互余，两角互补的性质分别表示这个角的余角和补角，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设这个角的度数为x°， 由题意得：（90﹣x）（180﹣x）＝12， 解得x＝27， 答：这个角的度数为27°． 方法点拨 利用方程求角 设一个角的度数为x，则它的余角为90°－x，它的补角为180°－x．再根据题目所给的条件列方程求解． 【变式1】　（2025春•西安期中）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是180°，求这个角的度数． 【答案】72°． 【分析】设这个角的度数为x°，分别表示它的余角和补角，根据题意列方程即可． 【解答】解：设这个角的度数为x°， 由题意得：4（90﹣x）+（180﹣x）＝180， 解得x＝72， 答：这个角的度数为72°． 【变式2】　（2024秋•凉州区期末）一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角的度数． 【答案】75°． 【分析】设这个角为α，根据题意列出方程90°﹣α20°，求解即可． 【解答】解：设这个角为α， 根据题意得90°﹣α20°， 解得α＝75°， 即这个角的度数为75°． 【变式3】　（2024秋•普陀区校级期末）已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数． 【答案】45°． 【分析】设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可． 【解答】解：设这个角的度数为x， 由题意得：180°﹣x＝3（90°﹣x）， 解得：x＝45°， 答：这个角为45°． 学科网（北京）股份有限公司 $$