2025年安徽省中考数学二轮复习专题突破课件---二次函数综合

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数综合核心考点，覆盖与直线、三角形、四边形、图形变换、面积、圆的六大综合类型，严格对接中考说明，分析各考点权重，归纳常考题型，结合2024年浙考集区月考等真题及模拟题，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“典例精讲+真题训练+素养提升”模式，如通过典例解析二次函数与图形面积综合题，示范坐标法与方程思想，培养抽象能力和推理意识。提供解题模板与易错点分析，帮助学生掌握分类讨论等技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率与学生得分率。

二次函数综合 类型一　二次函数与直线的综合 典例1　(2024春·谢家集区月考) 已知点(0，1)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，且该抛物线的对称轴为直线x=1. (1)求b和c的值； (2)当-≤x≤时，求函数值y的取值范围，并说明理由； (3)设直线y=m(m＞0)与抛物线y=x2+bx+c交于A，B两点，与抛物线y=4(x+3)2交于C，D两点，求证：AB=2CD. (1)解：∵该抛物线的对称轴为直线x=1，∴1=-， ∴b=-2.∵点(0，1)在抛物线上，即1=02-2×0+c，∴c=1. (2)解：由(1)得抛物线的解析式为y=x2-2x+1，易知对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，∴当x=1时，函数有最小值，最小值为y=12-2+1=0.∵当-≤x≤时，1--1=，且离对称轴越远，y值越大，∴当x=时，y值最大，最大值为y=-2×+1=.综上，当-≤x≤时，y的取值范围为0≤y≤. (3)证明：由题意，若整理得(x-1)2=m，解得x1=1+，x2=1-，∴AB=|x1-x2|=2；若 整理得4(x+3)2=m，解得x1=-3+，x2=-3-，∴CD=|x1-x2|=， ∴AB=2CD. 类型二　二次函数与三角形的综合 典例2　已知抛物线y=ax2+c过点(-2，2)，(4，5).点P(m，0)是x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点A，点F是y轴上一点，其纵坐标为2，连接 AF. (1)求抛物线的解析式； (2)试判断线段AF与AP的数量关系，并说明理由； (3)点Q(0，2m)是y轴上一点.设以A，P，F，Q为顶点的四边形的对角线的交点为H，是否存在点Q，使得S△APH=S△FQH？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)将(-2，2)，(4，5)代入y=ax2+c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+1. (2)AF=AP.理由：根据题意画出符合题意的大致图象如图所示. 过点F作FE⊥直线AP于点E.∵P(m，0)，F(0，2)，AP⊥x轴，∴A，E(m，2)，∴AP=m2+1，FE=m，EP=2，∴AE=AP-EP=m2+1-2=m2-1，∴AF=m2+1， ∴AP=AF. (3)存在.分两种情况讨论：①当点Q在点F上方时. ∵S△APH=S△FQH，∴S△QPF=S△APF，∴QF·OP=AP·OP，即(2m-2)m=m，∴2m-2=m2+1，解得 m1=2，m2=6. ②当点Q在线段OF上时.∵S△APH=S△FQH，∴S△QPF=S△AQP，∴QF·OP=AP·OP，∴(2-2m)m=m，∴2-2m=m2+1，解得m1=-4+2，m2=-4-2(舍去).综上可知，m的值是2或6或-4+2. 类型三　二次函数与四边形的综合 典例3　(2024·安徽模拟) 已知二次函数y1=x2-2(a+2)x+a2的图象顶点为A，二次函数y2=-x2+2(a-2)x-a2+8的图象顶点为B. (1)分别求出点A，B的坐标(用a表示)； (2)证明：函数y1与y2的图象相交于A，B两点； (3)当a=0时，点P，Q为y1图象上的动点，且点P在点A，B之间，P，Q两点的横坐标分别为t，t+4.作PM⊥x轴交y2于点M，QN⊥x轴交直线AB于点N，若四边形PMQN为平行四边形，求t的值. (1)解：y1=x2-2(a+2)x+a2的对称轴为直线x=a+2，由顶点坐标公式，则点A，化简为点A(a+2，-4a-4)；同理可得，点B(a-2，-4a+12). (2)证明：令y1=y2，得x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8，解得x1=a+2，x2=a-2，即两个函数的交点为点A，B. (3)解：当a=0时，则y1=x2-4x，顶点A(2，-4)；y2=-x2-4x+8，顶点B(-2，12).由点A，B的坐标得，直线AB的表达式为y=-4x+4.设点P(t，t2-4t)，点M(t，-t2-4t+8)，则PM=yM-yP=-2t2+8，则点Q，N的坐标分别为(t+4，t2+4t)，(t+4，-4t-12)，则QN=yQ-yN=t2+8t+12.∵四边形 PMQN 为平行四边形，∴PM=QN，∴t2+8t+12=-2t2+8，解得t1=-2，t2=-.当t=-2时，点Q为(-2+4，(-2)2+4×(-2))，即点Q(2，-4)，此时点Q与点A重合；点N((-2)+4，-4×(-2)-12)，即点N(-2，-4)，此时点N也与点A重合，故t=-2不合题意，舍去，即t=-. 类型四　二次函数与图形变换的综合 典例4　(2024·花都区模拟) 已知抛物线C1∶y=ax2-2ax-2，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为(4，2). (1)若抛物线C1过点A，求抛物线解析式； (2)若抛物线C1与直线OA只有一个交点，求a的值； (3)把抛物线C1沿直线OA方向平移t(t＞0)个单位(规定：射线OA方向为正方向)得到抛物线C2.若对于抛物线C2，当-2≤x≤3时，y随x的增大而增大，求t的取值范围. 解：(1)∵抛物线C1：y=ax2-2ax-2过点A，点A坐标为(4，2)，∴2=16a-8a-2，解得a=，∴抛物线解析式为y=x2-x-2. (2)∵点A坐标为(4，2)，∴直线OA的表达式为y=x.∵抛物线C1与直线OA只有一个交点，∴ax2-2ax-2=x有两个相等的解，即ax2-x-2=0有两个相等的解，∴Δ=0，即-4a×(-2)=0，解得a=或a=. (3)∵A(4，2)，∴抛物线C1沿直线OA方向平移t个单位相当于水平移动了t个单位再沿竖直方向移动了t个单位.∵抛物线C1：y=ax2-2ax-2的对称轴为直线x=-=1，∴抛物线C2的对称轴为直线x=1+t.当-2≤x≤3时，y随x的增大而增大，分两种情况： ①a＞0时，抛物线C2的对称轴为直线x=-2或在直线x=-2左侧，∴1+t≤-2，解得t≤-(舍去)； ②a＜0时，抛物线C2的对称轴为直线x=3或在直线x=3右侧，∴1+t≥3，解得t≥，故t的取值范围为t≥. 类型五　二次函数与图形面积的综合 典例5 如图，抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=6，OB=，点P为x轴下方的抛物线上一点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接AP，CP，求四边形AOCP 面积的最大值. 解：(1)∵抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，OA=6，OB=，∴A(-6，0)，B，∴可设抛物线解析式为y=a(x+6).∵当x=0时，y=-8，即C(0，-8)，∴6a×=-8，∴a=1，∴抛物线解析式为y=(x+6)=x2+x-8. (2)如图所示，连接AC，过点P作PD⊥x轴交AC于D，设直线AC的解析式为y=kx+b1， ∴解得 ∴直线AC的解析式为y=-x-8.设P，则D，∴PD=-t-8-=-t2-6t，∴S△APC=S△APD+S△CPD=PD·(xP-xA)+PD·(xC-xP)=PD·(xC-xA)=3PD=-3(t+3)2+27.∵-3＜0，∴当t=-3时，S△APC最大，最大为27.∵S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC，S△AOC=OA·OC=×6×8=24，∴S四边形AOCP=S△ACP+24，∴当S△APC最大时，S四边形AOCP最大，最大为27+24=51. 类型六　二次函数与圆的综合 典例6　 如图，二次函数y=x2-6x+8的图象与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴.点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与☉M相切，切点为T. (1)求点A，B的坐标； (2)若以☉M的切线PT为边长的正方形的面积与△PAB的 面积相等，且☉M不经过点(3，2)，求PM长的取值范围. 解：(1)令y=0，则x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4.∵点A在点B的左侧，∴A(2，0)，B(4，0). (2)由(1)知，抛物线对称轴为直线x=3.设P(m，m2-6m+8).∵PM⊥l，∴M(3，m2-6m+8).如图1，连接MT，则MT⊥PT，∴PT2=PM2-MT2=(m-3)2-r2，即以切线PT为边长的正方形的面积为(m-3)2-r2.过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则S△PAB=AB·PH=m2-6m+8，∴(m-3)2-r2=m2-6m+8.∵r＞0，∴r=1.假设☉M经过点N(3，2)，则有两种情况：①如图1，当点M在点N的上方，∴M(3，3)，∴m2-6m+8=3，解得m=5或1.∵m＞4，∴m=5. ②如图2，当点M在点N的下方，∴M(3，1)，∴m2-6m+8=1，解得m=3±.∵m＞4，∴m=3+.综上所述，PM=m-3=2或.∴当☉M不经过点N(3，2)时，PM长的取值范围为1＜PM＜＜PM＜2或PM＞2. 1.将二次函数y=-x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为( ) A.-或-3 B.-或-3 C.或-3 D.或-3 A 2.在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=x2-2mx+m2+m-1的顶点，将点P(0，-1)向左平移2个单位得到点Q.若抛物线与线段PQ只有一个公共点，则m需满足的条件是( ) A.-4≤m≤0且m≠-2 B.-4≤m≤0且m≠-1 C.m=0或-4 D.-1≤m≤0 B 3.边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2(a＜0)的图象上，则a的值为　 　.  - 4.把二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为y=a(x+2)2+(a-2)2，若b+c取最小值，则此时a=　 　.  　2　 5.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CO=h称拱高.当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型.已知这座桥的跨度L=16 m，拱高h=4 m. (1)如果设计成抛物线型，如图1，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； (2)如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径； (3)有一艘宽为12 m的货船，船舱顶部为方形，并高出水面1.8 m，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由. 解：(1)∵AB=16，∴A(-8，0)，B(8，0).∵h=4，∴C(0，4)，设抛物线的解析式为y=a(x+8)(x-8)，∴-64a=4，解得a=-，∴抛物线的解析式为y=-x2+4. (2)设圆心为O，连接OC交AB于E点，连接AO.∵AB=16，∴AE=8.∵h=4，∴DE=4.在Rt△AEO中，AO2=AE2+OE2，∴AO2=64+(OA-4)2，解得AO=10，∴该圆弧所在圆的半径为10 m. (3)①若桥为抛物线型时，当x=6时，y=.∵ m＜1.8 m， ∴货船不能顺利通过该桥. ②若桥为圆弧型时，设EG=6 m，过点G作FH⊥AB交弧BC于点F，过点O作OH⊥FH交于H点，连接OF，∴OH=EG=6 m.在Rt△OHF中，OF2=OH2+FH2，∴100=36+FH2，∴FH=8 m.∵GH=OE=6 m，∴FG=2 m.∵2 m＞1.8 m，∴货船能顺利通过该桥. 6.已知抛物线L1：y=a(x-3)2-5经过点(2，-4). (1)求L1的函数表达式及其顶点坐标； (2)若点A(m，y1)和B(n，y2)在抛物线L1上，且n-m=4，y1=y2. ①求A，B两点的坐标； ②将抛物线L1平移得到抛物线L2：y=a(x-3+k)2-5.当m≤x≤n时，抛物线L2的函数最大值为p，最小值为q，若p-q=6，求k的值. 解：(1)把点(2，-4)代入y=a(x-3)2-5，得-4=a(2-3)2-5，解得a=1，∴L1的函数表达式为y=(x-3)2-5，∴顶点坐标为(3，-5). (2)①由y1=y2，则有(m-3)2-5=(n-3)2-5，展开得m2-6m+9-5=n2-6n+9-5，即m2-6m=n2-6n，整理得m2-n2=6m-6n，即(m+n)(m-n)=6(m-n)，得m+n=6.∵n-m=4，∴m=1，n=5.∴A(1，-1)，B(5，-1). ②抛物线L2：y=(x-3+k)2-5的对称轴为直线x=3-k，顶点为(3-k，-5)，由①得1≤x≤5.分下列情况讨论：Ⅰ.当3-k≤1，即k≥2时，x=5时，函数最大值为p=(k+2)2-5；x=1时，函数最小值为q=(k-2)2-5，∴p-q=［(k+2)2-5］-［(k-2)2-5］=8k=6，解得k=＜2(舍去).Ⅱ.3-k≥5，即k≤-2时，x=1时，函数最大值为p=(k-2)2-5；x=5时，函数最小值为q=(k+2)2-5，∴p-q=［(k-2)2-5］-［(k+2)2-5］=-8k=6，解得k=-＞-2(舍去).Ⅲ.1＜3-k＜5，即-2＜k＜2时，x=3-k时，函数有最小值q=-5，若3-k-1≥5-(3-k)，即-2＜k≤0时，x=1时，函数有最大值p=(k-2)2-5，∴p-q=(k-2)2-5+5=(k-2)2=6，解得k1=2+(舍去)，k2=2-；若3-k-1≤5-(3-k)，即0＜k≤2时，x=5时，函数有最大值p=(k+2)2-5，∴p-q=(k+2)2-5+5=(k+2)2=6，解得k1=-2+，k2=-2-(舍去).综上，k的值为2-或-2+. 7.如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过A(-1，0)，B(5，3)两点，与y轴交于点C. (1)求该抛物线L的表达式； (2)抛物线L'与抛物线L关于直线BC对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线L'于点Q，点P，Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M，N.试探究是否存在一点P，使得四边形PQNM为长宽之比是1∶2的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)∵抛物线L：y=ax2+bx+3经过A(-1，0)，B(5，3)，∴解得∴抛物线L的表达式为y= -x2+x+3. (2)存在一点P，使得四边形PQNM为长宽之比是1∶2的矩形.∵B(5，3)，C(0，3)，∴直线BC为y=3，∴与抛物线L关于直线BC对称的抛物线L'的解析式为y=x2-x+3.设P，则Q(m，m2-m+3).∵点P，Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M，N.∴M(5-m，-m2+m+3)，N.∵四边形PQNM为长宽之比是1∶2的矩形，∴5-m-m=2[-(m2- m+3)]或(- m2+m+3)-(m2-m+3)=2(5-m-m)，整理得2m2-12m+5=0或m2-9m+10=0，解得m1=，m2=或m3=，m4=.∵P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，∴-1＜m＜，∴m=或m=，即点P的横坐标为. 8.(2024·天长市模拟)如图1，抛物线y=-x2+2x+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC. (1)求直线AC，BC的函数表达式； (2)如图2，P是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PO交BC于点Q，当的值最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点P作AC的平行线交抛物线的对称轴于点M，交直线BC于点D，抛物线对称轴与BC交于点N.若S△DMN=S△BOC，求MN的长. 解：(1)在y=-x2+2x+6中，令x=0，得y=6，∴C(0，6).令y=0，得0=-x2+2x+6，解得x=-2或x=6，∴A(-2，0)，B(6，0).设直线AC解析式为y=kx+b，把A(-2，0)，C(0，6)代入得解得∴直线AC解析式为y=3x+6.设直线BC解析式为y=k'x+b'，把B(6，0)，C(0，6)代入得解得∴直线BC解析式为y=-x+6. (2)过点P作PG∥OB交BC于点G，如图1.设P，在y=-x+6中，令y=-m2+2m+6得-m2+2m+6=-x+6，∴x=m2-2m，∴G(m2-2m，-m2+2m+6)，∴PG=m-=-m2+3m.∵PG∥OB，∴△PGQ∽△OBQ，∴.∵OB=6，∴=-m2+m=-(m-3)2+.∵-＜0， ∴当m=3时，取最大值；此时-m2+2m+6=-×32+2×3+6=， ∴当的值最大时，点P的坐标为. (3)过点D作DH⊥MN于点H，如图2.设P， 由y=-x2+2x+6可得，抛物线的对称轴为直线x=-=2. 由PM∥AC，设直线PM解析式为y=3x+t，将P代入得-m2+2m+6=3m+t，∴t=-m2-m+6，∴直线PM解析式为y=3x-m2-m+6.在y=3x-m2-m+6中，令x=2得y=-m2-m+12，∴M(2，-m2-m+12). 在y=-x+6中，令x=2，得y=4，∴N(2，4)，∴MN=4-m2+m-8，联立解得 ∴D， ∴DH=m2+m-2.∵S△DMN=S△BOC，∴×6×6，整理得(m2+2m-16)2=36，∴m2+2m-16=24或m2+2m-16=-24(无实数解，舍去)，∴m2+2m=40，∴-m2-m+12=-(m2+2m)+12=-×40+12=-8，∴M(2，-8)，∴MN=4-(-8)=12.故MN的长为12. 9.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-3，0)和B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，-3)，连接AC，点P是抛物线上一动点. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点P在第二象限时，连接PC交x轴于点E，连接PB. ①当PC平分∠ACO时(O为坐标原点)，求点E的坐标； ②记△BPE，△ACE的面积分别为S1，S2，若S1-S2=4，求点P的坐标； (3)如图2，当点P在第三象限时，过点P作PM⊥AC于点M，作PN∥AC交抛物线于点N，当PM=PN时，求点P的坐标. 解：(1)由题意得y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)，则-3a=-3，解得a=1，即抛物线的表达式为y=x2+2x-3. (2)①如图1，过点E作EF⊥AC于点F.∵PC平分∠ACO，∴EF=OE.∵∠CAO=45°，设EF=AF=OE=x， ∴AE=x，∴x+x=3，解得x=3-3，∴E(3-3，0). ②连接 PO，BC，设PB交y轴于点N.∵△ABC的面积为 6，而 S1-S2=4，∴△PBC的面积为10.设点P(t，t2+2t-3)，由点P，B的坐标得，直线PB的表达式为y=(t+3)(x-1)，则点N(0，-t-3)，则CN=-t，∴△PBC的面积=×CN×(xB-xP)=(-t)(1-t)=10，解得t=5(舍去)或-4，即点P(-4，5). (3)如图2，连接MN.∵PM=PN，∴△PMN是等腰直角三角形，过点P作y轴的平行线交直线AC于点T.由点A，C的坐标得，直线AC的函数表达式为 y=-x-3.设PT=2m，∴直线PN的函数表达式为 y=-x-3-2m，∴x2+2x-3=-x-3-2m，∴x2+3x+2m=0.设点P(t，t2+2t-3)，N(n，n2+2n-3)， T(t，-t-3)，∴|n-t|=m，∴(n-t)2=(n+t)2-4nt=m2. ∵n+t=-3，nt=2m，∴9-8m=m2，解得m=1或9(舍去). ∵PT=(-t-3)-(t2+2t-3)=-t2-3t=2，解得t=-1或-2，即点P(-1，-4)或(-2，-3). $$